2021-2022学年山东省济宁市兖州区高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省济宁市兖州区高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，则在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为(       )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据组合的定义即可求解．

【详解】∵集合A有6个元素，∴在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为．

故选：B．

2．已知，那么函数在处的瞬时变化率为（       ）

A． B．－1 C．0 D．1

【答案】D

【分析】结合瞬时变化率的概念以及导数的概念即可求出结果.

【详解】因为，则，所以函数在处的瞬时变化率为，

故选：D.

3．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（       ）

A．120种 B．360种 C．420种 D．540种

【答案】C

【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果.

【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色.

若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色，

此时不同的涂色方案有种；

若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色，

余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种；

若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种；

综上，不同的涂色方案有：种.

故选：C.

4．下面四图是某三次函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据导函数的符号决定原函数的单调性逐一判断即可.

【详解】对于A、B，二次函数的符号是先正后负再正，原函数应先增后减再增，故A、B错误；

对于C，导数变号的地方是单调性发生变化的地方，C不满足；

对于D，符合导函数的符号与原函数的单调性的关系；

故选：D

5．从5名男同学和3名女同学中任选2名同学，在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先求出都是同性别的同学事件数，以及都是男同学的事件数，再根据条件概率的求法求解即可.

【详解】记事件A：“选到的都是同性别同学”；

事件B：“选到的都是男同学”；

故选：C.

6．有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为5%，乙厂生产的次品率为10%，丙厂生产的次品率为15%，生产出来的产品混放在一起．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的50%、20%、30%，任取一件产品，则取得产品为次品的概率是（       ）

A．0.08 B．0.09 C．0.10 D．0.11

【答案】B

【分析】利用相互独立事件的概率公式直接求解即可

【详解】因为甲厂生产的次品率为5%，乙厂生产的次品率为10%，丙厂生产的次品率为15%，甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的50%、20%、30%，

所以任取一件产品，则取得产品为次品的概率是

，

故选：B

7．已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为：

则a，b的值分别为（       ）A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【分析】利用分布列的性质：概率之和为，再利用期望公式求出，以及，建立关于和的方程进行求解.

【详解】依题意得：，

解得：

又，；

故选：A.

8．已知，，，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，利用导数可求得单调性，由单调性可得，利用所得不等式化简整理即可得到大小关系.

【详解】令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，即，

由得：，，即；

由得：，，即；

综上所述：.

故选：D.

二、多选题

9．如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（       ）

A．（2，0）是的极大值点

B．在上是减函数

C．当时，取得极大值

D．在上是增函数，在上是减函数

【答案】CD

【分析】根据导函数的图象，判断出导函数的正负，从而可求出函数的单调区间和极值，进而可进行判断

【详解】由导函数的图象可得，当或时，，

当或时，，

所以在和上为增函数，在和上为减函数，

所以当和为函数的极小值点，为函数的极大值点，

所以A错误，B错误，D正确，

由导函数的图象可得，当时，取得极大值，所以C正确，

故选：CD

10．下列说法正确的是（       ）

A．空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作56个平面

B．平面内有10条直线，它们最多有90个交点

C．以正方体的顶点为顶点的三棱锥有70个

D．平面内有两组平行线，一组有5条，另一组有4条，这两组平行线相交，可以构成60个平行四边形

【答案】AD

【分析】本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，只要对每一个选项进行判断即可

【详解】对于A，一个平面对应着从8个点中取出3个点的一个组合，故可以作个不同的平面，故A正确；对于B，每一条线都可以与另外的9条线相交，最多就有9个交点，但都重复了一次，所以最多共有个交点，故B不正确；对于C，首先从8个顶点中选4个，共有 种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，所以满足条件的结果有 个，故C不正确；对于D，先从第一组5条平行线中任选2条作为平行四边形的一组对边，有 种取法，再从另一组4条平行线中任选2条作为平行四边形的另一组对边，有 种取法，所以可以构成 个平行四边形，故D正确

故选：AD

11．设函数的定义域为，的导函数为，若在上单调，则称函数为“函数”．下列函数中，是“函数”的有（       ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】首先确定各选项中函数的定义域，求导后判断是否单调即可得到结果.

【详解】对于A，定义域为，，则在定义域内单调递增；是“函数”；

对于B，定义域为，，则在定义域内单调递减，是“函数”；

对于C，定义域为，，则在上单调递减，在上单调递增，不是“函数”；

对于D，定义域为，，

；

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

不是“函数”.

故选：AB.

12．下列命题中，正确的命题是（       ）

A．若随机变量，且，则

B．若随机变量，且，，则

C．若，，则

D．某人在次射击中，击中目标的次数为，若，则此人最有可能次击中目标

【答案】ABD

【分析】由正态分布曲线的对称性可知A正确；由二项分布方差和期望公式可构造方程组求得，知B正确；由可知C错误；由二项分布概率公式可构造不等式，由此可解得的值，得到概率最大时的取值，则知D正确.

【详解】对于A，，，，A正确；

对于B，，，解得：，，B正确；

对于C，，，C错误；

对于D，，，

，令，解得：，

当时，最大，即此人最有可能次击中目标，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．函数在处的切线方程为______．

【答案】

【分析】首先对求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据直线的点斜式方程求解即可.

【详解】，

则在处的切线的斜率为，又，，

切线方程为：，即：.

故答案为：.

14．在的展开式中，含的项的系数是________.

【答案】-15.

【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数即可写出含的项，则可得到答案.

【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数,

所以含的项为.

所以展开式中，含的项的系数是-15.

15．“烂漫的山花中，我们发现你．自然击你以风雪，你报之以歌唱．命运置你于危崖，你馈人间以芬芳．不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强．你是崖畔的桂，雪中的梅．”这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山．受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有5名志愿者要到3个学校参加支教活动，要求每校至少安排一个人，且其中的小李和小王不在一起，那么不同的安排方案共有______种．（用数字作答）

【答案】114

【分析】先将5人分为3组，每组至少1人，有两种分法：1，2，2或1，1，3，然后分到3个学校，求出方法数，再减去小李和小王在一起的方法数即可

【详解】先求出小李和小王不受限制的方法：

将5人分为3组，每组至少1人，有两种分法：1，2，2或1，1，3，

当为1，2，2时，有种安排方案，

当为1，1，3时，有种安排方案，

当小李和小王在一起时，若小李和小王分在3人组，则有种方案，若小李和小王分在2人组，则有，

所以所求的不同的安排方案共有种，

故答案为：114

四、双空题

16．甲、乙、丙三人投篮命中率分别为，，，现三人各投篮一次，记三人命中的总次数为X，则至少有一人命中的概率为______，______．（结果用最简分数表示，第一空2分，第二空3分）

【答案】          1.75

【分析】根据相互对立事件概率及相互独立事件的概率公式可求至少有一人命中的概率；

先求出随机变量的取值情况及相应的概率，然后结合期望公式可求．

【详解】解：由题意得，至少有一人命中的概率，

由题意得的可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

．

故答案为：，.

五、解答题

17．袋子中有个大小相同但编号不同的小球，其中个白球，个黑球．每次从袋子中随机摸出个球，摸出的球不再放回，共摸球两次．

(1)设“第次摸到白球”，“第次摸到黑球”．求和，结果用分数表示；

(2)设随机变量为两次摸球中摸到白球的个数，求的分布列和．

【答案】(1)，

(2)分布列见解析；

【分析】（1）分别计算得到，由条件概率公式可求得结果；

（2）分别求得所有可能取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得结果.

【详解】(1)由题意知：，，，

，

(2)由题意知：所有可能的取值为，

，，；

的分布列为：

.

18．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子．设小正方形的边长为xcm，盒子容积为．

(1)求函数的解析式，并写出定义域；

(2)当小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？

【答案】(1)，

(2)当小正方形的边长为时，盒子容积最大

【分析】（1）结合图形，用x表示出长方体的长、宽、高，然后由体积公式可得函数，再由长、宽、高都大于0可得定义域；

（2）求导，利用导数讨论函数单调性，然后可得最值.

【详解】(1)盒子的长为，宽为，高为，

所以，盒子容积，

由，得，

所以定义域为．

(2)，，

，

在上，，单调递增；

在上，，单调递减．

所以，当时，取到最大值．       

所以，当小正方形的边长为时，盒子容积最大．

19．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．

条件①：展开式中倒数第3项的二项式系数为15；

条件②：展开式中只有第4项的二项式系数最大；

条件③：展开式中各项的二项式系数和比系数和多63．

问题：已知二项式，其中，若______，

(1)求n的值；

(2)求展开式中含的项；

(3)设二项展开式中各项的系数为，其中，求．（参考数据：）

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）选择条件①结合即可求出结果；选择条件②结合二项式系数的性质即可求出结果；选择条件③结合即可求出结果；       

（2）求出展开式的通项公式，令，进而可求出结果；

（3）因为展开式各项的系数与展开式各项的系数完全相同，构造，进而令和，从而可求出结果.

【详解】(1)选择条件①：

展开式中倒数第3项的二项式系数为，

而，所以，

因为，所以．

选择条件②：

因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以展开式中有7项，

所以．       

选择条件③：

展开式中各项的二项式系数和为，各项的系数和为，

所以，       

因为，所以．

(2)展开式的通项为，．

由，得．

所以展开式中含的项为

(3)由（1）知，，所以．

因为展开式各项的系数与展开式各项的系数完全相同，

所以令，则

，

，

所以，，

即

20．下表称为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是我国古代数学伟大成就之一．

杨辉三角中，我们称最上面一行为第0行，第1行有2个数，第2行有3个数，…，第10行有11个数．

(1)求杨辉三角中第10行的各数之和；

(2)求杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和．

【答案】(1)1024

(2)560

【分析】（1）根据杨辉三角数字的规律计算即可

（2）根据杨辉三角数字的规律计算即可

【详解】(1)杨辉三角中第10行的各数之和为

．

(2)杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为

．

21．核酸检测是诊断新冠病毒感染的重要手段，首先提取人的唾液或咽拭子样本，如果样本中有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．检测时既可以逐个化验，也可以将样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，需要再对各个样本逐个化验；若混合样本呈阴性，则各个样本均为阴性．现有4例疑似病例，疑似病例核酸检测呈阳性的概率均为．

(1)若，求至多有1个疑似病例样本化验结果为阳性的概率；

(2)如果逐个化验，需要化验4次．为了减少化验次数，可以考虑采用4例样本混合在一起进行化验，当p在什么范围时，混合化验能减少化验次数？

【答案】(1)

(2)当时，4例混合化验能减少化验次数

【分析】（1）根据题意计算即可

（2）根据题意，混合化验的次数是1次或者5次，分别求出其对应的概率，计算混合化验的期望，使期望值小于4即可

【详解】(1)解：（1）设4例疑似病例中化验结果为阳性的病例数为X，

则，       

所以，至多有1个疑似病例样本化验结果为阳性的概率为

(2)设4例混合化验的化验次数为Y，则Y可取1，5．       

，

，

所以，．

要使化验次数减少，须有，       

即．

因为，解得．

所以，当时，4例混合化验能减少化验次数．

22．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明；

(3)若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据正负可得单调性；

（2）由（1）可知，可知需证，将不等式转化为；令，利用导数可求得，由此可得结论；

（3）设，将已知不等式转化为，从而可构造函数，知在上单调递增，即恒成立；采用分离变量的方法得到，利用导数可求得在上的最大值，根据可求得结果.

【详解】(1)由题意得：定义域为，；

当时，，，在上恒成立，

在上单调递增；

当时，令，解得：，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减；

综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)由（1）知：；

要证，只需证，即证；

设，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，；

又，，即.

(3)不妨设，则由得：，

即，

令，则在上单调递增，

在上恒成立，

即，又，；

令，则，

令，解得：（舍）或，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，，解得：；

的取值范围为.