2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中数学试题(含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中数学试题(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM={1,3}，则( )
A. 2∈MB. 3∈MC. 4∉MD. 5∉M
2.已知命题p:∃x∈R，x2−x+2≤0，则p的否定为
( )
A. ∃x∈R，x2−x+2>0B. ∀x∉R，x2−x+2>0
C. ∀x∈R，x2−x+2≤0D. ∀x∈R，x2−x+2>0
3.设函数f(x)=1−x2,x⩽1,x2+x−2,x>1,则f(1f(2))的值为
( )
A. 1516B. −2716C. 89D. 18
4.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. fx= x2，gx= x2B. fx=1，gx=x0
C. fx=x,x≥0−x,x<0,gt=tD. fx=x+1，gx=x2−1x−1
5.下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈0,+∞使得fx1−fx2x1−x2<0”成立的是
．( )
A. fx=−x2−2x+1B. fx=x−1x
C. fx=x+1D. fx=−2x
6.“函数fx=xa在0,+∞上单调递减”是“函数gx=x4−a+1x是偶函数”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则a2x+b2y≥a+b2x+y，当且仅当ax=by时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x+91−2x(0( )
A. 11B. 25C. 121D. 169
8.高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数y=x称为高斯函数，其中x表示不超过实数x的最大整数，当x∈−1,5,3时，函数y=x−22的值域为
( )
A. −1,0B. −2,1,0C. 2,−1,0D. −2,−1,0
9.已知集合M={1,2,3,4}，N={−2,2}，下列结论成立的是
( )
A. N⊆MB. M∪N=MC. M∩N=ND. M∩N={2}
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10.下列命题为真命题的是( )
A. ∀x∈R，x2+x+1>0
B. 当ac>0时，∃x∈R，ax2+bx−c=0
C. f0=0是函数fx为奇函数的充要条件
D. 若a>0，d>c>0，则dc11.若函数f(x)=x(x+1)(x−a)为奇函数，则
( )
A. a=1B. f(x)的定义域为(−1,1)
C. f(x)的值域是RD. f(x)在R上是增函数
12.对任意x，y，x2+y2−xy=1，则
．( )
A. x+y≤1B. x+y≥−2C. x2+y2≤2D. xy≤1
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”书法大赛，高一(1)班共有32名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有12人提交了隶书作品，有8人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有2人，没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书作品和行书作品的有__________人．
14.已知f(x)定义域为[−1,1]，值域为[0,1]，且f(−x)−f(x)=0，写出一个满足条件的f(x)的解析式是__________．
15.已知fx+1=x2−x+1，则当x>1时，gx=fxx−1的最小值为__________．
16.设函数fx=2023x+12+x2025x2+1−3≤x≤3的最大值为M，最小值为m，则M+m=______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知函数fx= 3−x+1 x+2的定义域为集合A，集合B=xx−2x+3>0．
(1)求集合A；
(2)求∁RA∪B．
18.(本小题12.0分)
已知集合A=xx−6x−2<0，B=xx2−4x<0．
(1)求∁RA∪B．
(2)已知集合C=xm+1请从①C⊆C∩B，②∁RC⊇∁RB，③“x∈C”是“x∈B”的充分不必要条件中选一个填入(2)中横线处进行解答．
19.(本小题12.0分)
已知函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的函数，且f12=25，f13=310．
(1)利用定义判断函数fx在−1,1上的单调性；
(2)解不等式fx−1+fx<0．
20.(本小题12.0分)
某地区上年度电价为0.8元/(kW·h)，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间，而用户期望电价为0.4元/(kW·h).经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h).记本年度电价下调后电力部门的收益为y(单位：元)，实际电价为x(单位：元/(kW·h)).(收益=实际电量×(实际电价−成本价))
(1)当k=0.2a时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
(2)当k=0.4a时，求收益y的最小值．
21.(本小题12.0分)
已知二次函数fx=ax2+bx+c．
(1)若fx>0的解集为x−3(2)已知b=4，a>c，若fx≥0对于一切实数x恒成立，并且存在x0∈R，使得ax02+bx0+c=0成立，求4a2+c22a−c的最小值．
22.(本小题12.0分)
函数fx=x2+3a+1x+cx+aa,c∈R．
(1)当a=0时，是否存在实数c，使得fx为奇函数；
(2)当a=1，c=−3时，求函数fx=x2+3a+1x+cx+a在区间1,2上的值域．
(3)函数fx的图象过点1,3，且fx的图象与x轴负半轴有两个交点，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了元素与集合的关系，补集的运算，属于基础题．
【解答】
解：因为全集U={1,2,3,4,5}，∁UM={1,3}，
所以M={2,4,5}，
所以2∈M，A选项正确．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求．
解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题p:∃x∈R，x2−x+2≤0的否定为∀x∈R,x2−x+2>0，
故选：D
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了求分段函数的函数值，属基础题.直接代值计算即可．
【解答】
解：f(x)=1−x2,x⩽1,x2+x−2,x>1,
则f(2)=22+2−2=4，
则f(1f(2))=f(14)=1−(14)2=1516，
故选A．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据同一函数的判定方法，结合函数的定义域和对应关系，逐项判定，即可求解．
解：A中，函数fx= x2的定义域为R，函数gx= x2的定义域为[0,+∞),
则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以A不正确；
B中，函数fx=1的定义域为R，函数gx=x0的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不正确；
C中，函数fx=x,x≥0−x,x<0和gt=t=t,t≥0−t,t<0 ，
则两函数的定义域相同且对应关系也相同，所以两个函数不是同一函数，所以C正确；
D中，函数fx=x+1的定义域为R，函数gx=x2−1x−1的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以D不正确．
故选：C．
5.【答案】A
【解析】【分析】根据单调性的定义知函数在在(0,+∞)上为减函数，然后逐项分析即可．
解：根据题意，“对任意的x1,x2∈(0,+∞)，使得fx1−fx2x1−x2<0”，
则函数f(x)在(0,+∞)上为减函数．
对于选项A，f(x)=−x2−2x+1为二次函数，其开口向下且对称轴为x=−1，
所以f(x)在(0,+∞)上递减，符合题意；
对于选项B，f(x)=x−1x，因为y=x在(0,+∞)上递增，y=−1x在(0,+∞)上递增，
所以由单调性的性质知，f(x)在(0,+∞)上递增，不符合题意；
对于选项C，f(x)=x+1为一次函数，所以f(x)在(0,+∞)上递增，不符合题意；
对于选项D，fx=−2x在(0,+∞)上单调递增，不符合题意．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】通过求解函数fx和gx符合条件的 a的取值，即可得出结论．
解：由题意，
在fx=xa中，
当函数在0,+∞上单调递减时，a<0，
在gx=x4−a+1x中，函数是偶函数，
∴g−x=−x4−a+1−xgx=x4−a+1xgx=g−x，解得：a=−1，
∴“函数fx=xa在0,+∞上单调递减”是“函数gx=x4−a+1x是偶函数”的必要不充分条件，
故选：B．
7.【答案】B
【解析】【分析】根据提供的权方和不等式公式可求答案．
解：因为f(x)=2x+91−2x=42x+91−2x，由权方和不等式可得42x+91−2x≥2+322x+1−2x=25，
当且仅当22x=31−2x，即x=15时，等号成立；
故选：B
8.【答案】D
【解析】【分析】利用高斯函数定义结合分段函数求值域即可．
解：x∈(−1.5,3]，则−1.75当−1.75当0≤x−22≤0.5时，y=x−22=0，所以函数y=x−22的值域为{−2,−1,0}．
故选：D
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的包含关系的判断，解题的关键是熟练掌握集合的基本运算，属于基础题．
由M={1,2,3,4}，N={−2,2}，则可知，−2∈N，但是−2∉M，则N⊈M，M∪N={1,2,3,4,−2}≠M，M∩N={2}≠N，从而可判断．
【解答】
解：A、由M={1,2,3,4}，N={−2,2}，可知−2∈N，但是−2∉M，则N⊈M，故A错误；
B、M∪N={1,2,3,4,−2}≠M，故B错误；
C、M∩N={2}≠N，故C错误；
D、M∩N={2}，故D正确．
故选：D．
10.【答案】AB
【解析】【分析】根据判别式判断不等式的解集和二次方程的根判断选项AB，根据特例法判断选项C，作差法判断D．
解：对于A：由Δ=1−4=−3<0，故∀x∈R，x2+x+1>0为真命题；
对于B：由题设Δ=b2+4ac>0，故∃x∈R，ax2+bx−c=0为真命题；
对于C：对于奇函数f(x)=1x，显然f(0)不存在，必要性不成立，为假命题；
对于D：dc−d+ac+a=ad−ccc+a，因为a>0，d>c>0，所以ad−ccc+a>0，则dc>d+ac+a，为假命题．
故选：AB
11.【答案】AC
【解析】【分析】由(x+1)(x−a)≠0且函数为奇函数求出a的值，再代入检验，从而求出函数的定义域，即可判断A、B、D，求出x>0且x≠1时函数的值域，结合f0=0，即可判断C．
解：对于函数f(x)=x(x+1)(x−a)，则(x+1)(x−a)≠0，解得x≠−1且x≠a，
因为函数f(x)=x(x+1)(x−a)为奇函数，所以a=1，
此时f(x)=x(x+1)(x−1)定义域为−∞,−1∪−1,1∪1,+∞，
且f−x=−x(−x+1)(−x−1)=−x(x+1)(x−1)=−f(x)，即fx为奇函数，符合题意，故 A正确，B错误，D错误；
又f(x)=x(x+1)(x−1)=xx2−1，
当x=0时f0=0，当x≠0且x≠±1时fx=1x−1x，
又函数gx=x−1x在0,+∞上单调递增，且gx∈R，又g1=0，
所以当x>0且x≠1时x−1x∈−∞,0∪0,+∞，则fx∈−∞,0∪0,+∞，
所以fx∈R，即f(x)的值域是R，故 C正确；
故选：AC
12.【答案】BCD
【解析】【分析】对于AB，利用ab≤a+b22≤a2+b22，结合已知可求出x+y的范围进行判断，对于C，利用ab≤a+b22≤a2+b22，结合已知可求出x2+y2的范围进行判断，对于D，利用基本不等式判断．
解：ab≤a+b22≤a2+b22(a,b∈R)，当且仅当a=b时取等号，
对于AB，由x2+y2−xy=1可变形为，x+y2−1=3xy≤3x+y22，解得−2≤x+y≤2，
当且仅当x=y=−1时，x+y=−2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以 A错误，B正确；
对于C，由x2+y2−xy=1可变形为x2+y2−1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，
当且仅当x=y=±1时取等号，所以 C正确；
对于D，因为x2+y2−xy=1≥2xy−xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=±1时取等号，所以 D正确．
故选：BCD．
13.【答案】2
【解析】【分析】作出Venn图，由图分析可得．
解：作出Venn图，如图，设同时提交隶书作品和行书作品的有x人，
则20+12+8−32=2+4+x，解得x=2．
故答案为：2．
14.【答案】f(x)=|x|，x∈[−1,1](答案不唯一)
【解析】【分析】根据题意可得f(x)为[−1,1]的偶函数，且值域为[0,1]，写出满足条件的一个函数即可．
解：因为f(x)定义域为[−1,1]，且f(−x)−f(x)=0，
所以f(−x)=f(x)，
所以f(x)为[−1,1]的偶函数，
又因为值域为[0,1]，
所以函数f(x)=|x|，x∈[−1,1]满足题意．
故答案为：f(x)=|x|，x∈[−1,1](答案不唯一)
15.【答案】1
【解析】【分析】先利用换元法得到fx=x2−3x+3，进而得到gx=(x−1)+1x−1−1，再利用基本不等式求解．
解：因为fx+1=x2−x+1，令t=x+1，则x=t−1，
所以ft=t−12−t−1+1=t2−3t+3，
所以fx=x2−3x+3．
所以当x>1时，gx=f(x)x−1=x2−3x+3x−1=(x−1)2−x+2x−1，
=(x−1)+1x−1−1≥1=2 (x−1)⋅1x−1−1=1，
当且仅当x−1=1x−1，即x=0时，等号成立，
故答案为：1
16.【答案】4046
【解析】【分析】化简函数fx=2023+x2025+4046xx2+1，设gx=x2025+4046xx2+1−3≤x≤3，可得函数gx在−3,3上为奇函数，进而得到gxmax+gxmin=0，进而求解即可．
解：fx=2023x+12+x2025x2+1=2023+x2025+4046xx2+1−3≤x≤3，
设gx=x2025+4046xx2+1−3≤x≤3，定义域关于原点对称，
由g−x=−x2025+4046−x−x2+1=−x2025+4046xx2+1=−gx，知函数gx为奇函数，
因为M=2023+gxmax，m=2023+gxmin，
所以M+m=4046+gxmax+gxmin=4046．
故答案为：4046．
17.【答案】解：(1)
因为函数fx= 3−x+1 x+2的定义域为集合A，
则A=x3−x≥0x+2>0=x−2(2)
B=xx−2x+3>0=xx<−3或x>2，
又A=x−23，
所以∁RA∪B=xx≤−2或x>2．

【解析】【分析】(1)根据函数定义域求解集合A即可；
(2)解一元二次不等式求解集合B，然后利用补集和并集运算求解即可．
18.【答案】解：(1)
因为A=xx−6x−2<0=x2B=xx2−4x<0=x0所以A∪B=x0(2)
选①，因为C⊆C∩B，所以C⊆B，
若C=⌀，则2m−1≤m+1，解得m≤2；
若，则2m−1>m+1m+1≥02m−1≤4，解得2综上，m≤52．
选②，因为∁RC⊇∁RB，所以C⊆B，
若C=⌀，则2m−1≤m+1，解得m≤2；
若，则2m−1>m+1m+1≥02m−1≤4，解得2综上，m≤52．
选③，“x∈C”是“x∈B”的充分不必要条件，所以C是B的真子集，
若C=⌀，则2m−1≤m+1，解得m≤2；
若，则2m−1>m+1m+1≥02m−1≤4且等号不能同时成立，解得2综上，m≤52．

【解析】【分析】(1)根据分式不等式化简集合A，根据一元二次不等式化简集合B，然后利用并集和补集运算求解即可；
(2)选①，由C⊆C∩B得C⊆B，然后根据C=⌀和分类求解范围即可；
选②，由∁RC⊇∁RB得C⊆B，然后根据C=⌀和分类求解范围即可；
选③，由“x∈C”是“x∈B”的充分不必要条件得C为B的真子集，然后根据C=⌀和分类求解范围即可．
19.【答案】解：(1)
解：由题意可得f13=310.f12=25，即13a+b1+132=31012a+b1+122=25，解得b=0a=1,
所以fx=x1+x2，设−1fx1−fx2=x11+x12−x21+x22=x1−x21−x1x21+x121+x22，
因为−10，1+x12>0,1+x22>0，
所以fx1−fx2<0，即fx1所以函数fx 在区间−1,1单调递增．
(2)
因为函数fx=x1+x2为奇函数，
所以f(−x)=−f(x)，
∵f(x−1)+f(x)<0，
∴f(x−1)<−f(x)=f(−x)，
∵f(x)是定义在(−1,1)上的增函数，
∴−1所以不等式的解集为(0,12)．

【解析】【分析】(1)根据题意由f13=310.f12=25求解；然后利用函数的单调性定义证明；
(2)根据函数fx=x1+x2为奇函数，且定义在(−1,1)上的增函数，将fx−1+fx<0转化为f(x−1)<−f(x)=f(−x)求解．
20.【答案】解：(1)由题意知下调电价后用电量为kx−0.4+a，
电力部门的收益为y=(kx−0.4+a)(x−0.3)(0.55≤x≤0.75)；
当k=0.2a时，得
{(0.2ax−0.4+a)(x−0.3)⩾[a×(0.8−0.3)](1+20％)0.55⩽x⩽0.75,
整理得x2−1.1x+0.3≥00.55≤x≤0.75，
解此不等式组得0.60≤x≤0.75，
答：当电价最低定为0.6元/kw⋅h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．
(2)当k=0.4a时，y=(0.4ax−0.4+a)(x−0.3)=a(0.4x−0.4+1)(x−0.3)．
令t=x−0.4，由0.55≤x≤0.75，得0.15≤t≤0.35，
因为a>0，所以y=a(0.4t+1)(t+0.1)=a(0.04t+t+0.5)⩾a(2 0.04t·t+0.5)=0.9a，当且仅当t=0.2时取等号，所以收益y的最小值是0.9a．
【解析】本题主要考查函数解析式、函数模型的应用，基本不等式求最值，属于中档题．
(1)根据题意，容易得到本年度电价下调后电力部门的收益y(单位：元)关于实际电价x的函数解析式，进而得到k=0.2a时，y关于x的关系式y=0.2ax−0.4+ax−0.3，依据题意得到关于x的不等式0.2ax−0.4+ax−0.3⩾a0.8−0.3×1+20％，注意0.55⩽x⩽0.75，解之即可得到x的取值范围，进而得到x的最小值；
(2)k=0.4a时，y=(0.4ax−0.4+a)(x−0.3)=a(0.4x−0.4+1)(x−0.3)，令t=x−0.4，则可得y=a(0.04t+t+0.5)，由基本不等式求最值即可．
21.【答案】解：(1)
因为fx>0的解集为{x∣−3所以a<0−3+4=−ba−3×4=ca，所以
所以函数f(x)=−ax2+ax+15a=−a(x−12)2+614a，
所以函数fx=ax2+bx+c的单调递减区间为−∞,12．
(2)
当b=4时，fx=ax2+4x+c，因为fx≥0对于一切实数x恒成立，
所以a>0Δ=42−4ac≤0，则a>0ac≥4,
因为存在x0∈R，使得ax02+bx0+c=0成立，所以42−4ac≥0，即ac≤4，
而ac≥4所以有ac=4，因为a>0，a>c，
所以4a2+c22a−c=2a−c2+4ac2a−c=2a−c+162a−c≥2 2a−c⋅162a−c=8，
当且仅当2a−c=162a−c时取等号，即当a=1+ 3,c=2 3−2取等号，
所以4a2+c22a−c的最小值为8．

【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式的解集得二次方程的根，然后利用韦达定理找到a,b,c的关系，利用二次函数单调性即可求解；
(2)根据二次函数恒成立及二次方程有解得a>0，ac=4，对所求式子变形，利用基本不等式即可求解最小值．
22.【答案】解：(1)
当a=0时，fx=x2+x+cx，
因为fx+f−x=x2+x+cx+x2−x+c−x=2≠0，
所以不存在实数c，使得fx为奇函数．
(2)
当a=1,c=−3时，fx=x2+4x−3x+1=(x+1)−6x+1+2，
令x+1=t，则t∈2,3，因为y=t在t∈2,3为增函数，y=−6t+2在t∈2,3为增函数，
所以由单调性性质知y=t−6t+2，t∈2,3为增函数，所以1≤y≤3，
所以函数fx在区间1,2上的值域为1,3．
(3)
因为函数fx的图象过点1,3，所以1+3a+1+ca+1=3，所以c=1，
所以fx=x2+3a+1x+1x+a，且x≠−a，
因为fx的图象与x轴负半轴有两个交点，则3a+12−4>0−3a+1<0−a2+3a+1⋅−a+1≠0,
所以a−1或a13a>−13a≠−1且a≠12，所以1312，
所以实数a的取值范围(13,12)∪(12,+∞)．
【解析】【分析】(1)根据奇函数定义求解即可；
(2)换元后利用函数单调性求解值域即可；
(3)根据fx的图象与x轴负半轴有两个交点，列不等式组求解即可．