19、20届长沙四大名校概率统计解答题教师版

这是一份19、20届长沙四大名校概率统计解答题教师版，共100页。教案主要包含了独立性检验+二项分布等内容，欢迎下载使用。

核心考法一：二项分布
【2019届师大附中第4次月考-理】
19.（本小题满分12分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价。阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：
阶梯级别
第一阶梯水量
第二阶梯水量
第三阶梯水量
月用水量范围
（单位：立方米）



从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：

（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值。









【2019届长郡中学第2次月考-理】
19.（本小题满分12分）为增强学生体质，长郡中学组织体育社团，某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团，每人只能从两个社团中选择其中一个社团，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团，掷出点数为5或6的人参加篮球社团，掷出点数小于5的人参加足球社团.
（1）求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率；
（2）用分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数，记随机变量为和之差的绝对值，求随机变量的分布列与数学期望.




















【2019届师大附中第10次月考-理】
19.（本小题满分12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计，这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，， ， ，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；

男
女
合计
网购迷

20

非网购迷
45


合计


100
（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：

网购总次数
支付宝支付次数
银行卡支付次数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.
附：观测值公式：
临界值表：

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
















【2019届长郡中学第8次月考即十四校高三联考第一次考试-理】
19.（本小题满分12分）我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）.
（1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；
（2）设表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求的分布列与数学期望.















【2019届长沙市一中第4次月考-理】
19.（本小题满分12分）2018年亚洲运动会将英雄联盟作为竞技项目，这代表电子竞技得到了大众的认可.最近英雄联盟全球总决赛正在火热进行，其中中国RNG战队是最受世界关注和欢迎的战队，数据统计从2016年以来RNG战队共参加大型比赛131局，获胜92局，以这131局的战绩估计接下来RNG战队比赛每局胜利的概率（胜利的概率保留小数点后2位有效数字）.
（1）在比赛开始前，RNG战队成员A、B、C、D、E、F需要进行赛前宣言，若这6人随机站成一排宣言，求A、B排在中间两个位置，且预备队员F排在两边的概率；
（2）若RNG战队成功进入2019年全球总决赛，与另外一个战队争夺总冠军，比赛采取5局3胜制.求全球总决赛进行的局数X的分布列和期望.


























【2019届长沙市一中第6次月考-理】
20.（本小题满分12分）某医疗器械研发生产企业经过科技创新成功研发了某型号的高端智能电磁超声检测仪.自2017年批量生产并投放市场以来，该企业为确保产品质量，决定产品质量检测由第三方检测机构检测，依据国际标准检测质量指标（Z）来衡量该款电磁超声检测仪的质量.当时，产品为优等品；当时，产品为一等品；当时，产品为二等品（时为合格品）.第三方检测机构在企业自2017年以来生产的该型号的产品中随机抽取500件，并绘制了这500件产品的质量指标（Z）的统计条形图如下：










用随机抽取的500件电磁超声检测仪作为样本（将频率视为概率），估计该企业生产该仪器的质量情况.
（1）随机抽取4件该款电磁超声检测仪，求至少有1件优等品的概率；
（2）现有某市医疗机构计划在2019年由政府采购20件该型号电磁超声检测仪供该市甲级医院使用.已知每件产品成本为60万元，售价会根据第三方检测机构的检测结果进行调节.第三方检测机构提供两种检测产品质量的方案：抽样检测和全部检测.政府、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：
①每件产品的检测费用4万元由企业承担；
②方案一：抽样检测，从20件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则政府按每件100万元购买；若检测出2件为优等品，则政府按每件90万元购买；若检测出1件或0件为优等品，则政府按每件80万元购买；
③方案二：全部检测，将20件产品逐一检测，检测出来的所有二等品，政府按每件60万元购买，其余产品按每件100万元购买.
（I）记方案一中企业的收益费用为X万元，求X的分布列及数学期望E（X）；
（II）若以企业收益费用的期望作为依据，你认为企业应该选择何种方案进行检测？




































【2019届长沙市一中第8次月考-理】
19.（本题满分12分）2019年是中华人民共和国成立70周年.为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[20，30），[30，40）…，[70，80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）现从年龄在[20，30），[30，40），[40，50）内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用X表示年龄在[30，40）内的人数，求X的分布列和数学期望；
（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在[30，50）的概率为P（X=k）（k=0，1，2…，20）.当P（X=k）最大时，求k的值.









【2020届师大附中第5次月考-理】
十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
（ⅰ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
（ⅱ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
附：参考数据与公式，若，则
①；
②；
③.































【2020届长郡中学第5次月考-理】
为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分.根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率为；现记“该选手在回答完个问题后的总得分为”.
（1）求且的概率；
（2）记，求的分布列，并计算数学期望.


















【2020届长沙一中第6次月考-理】
某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为.
（1）若出现故障的机器台数为，求的分布列；
（2）该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？
（3）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值。











核心考法二：超几何分布
【2019届长郡中学第3次月考-理】
19.（本小题满分12分）某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：min）进行调查，结果如下：
t






男同学人数
7
11
15
12
2
1
女同学人数
8
9
17
13
3
2
若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”
（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？
（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4名同学参加读书日宣传活动.
（i）求抽取的4名同学中既有男同学又有女同学的概率；
（ii）记抽取的“读书迷”中男生人数为X,求X的分布列和数学期望.



















【2019届长沙市一中第2次月考-理】
20.（本小题满分12分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生的选考方案待确定.例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案.
某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：

（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？
（2）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的18名学生中随机选出2名，试求在选取的2名学生中恰有1名男生的条件下两名学生的选考方案中都含有历史学科的概率；
（3）从选考方案确定的8名男生中随机选出4名，设随机变量表示所选4人中选考方案完全相同的人数（若有2组2人选考方案完全相同，则=2），求的分布列及数学期望.







































核心考法三：正态分布
【2019届雅礼中学第4次月考-理】
20.（本小题满分12分）习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：










（1）求400名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）；
（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数（千步)的人数（结果四舍五入保留整数）；
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元.求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，
则,











































【2019届长郡中学第9次月考-理】
19.（本小题满分12分）为了迎接2019年全国文明城市评比，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查.每一位市民有且仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示：
组别
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
25
100
200
250
225
100
50
（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
（ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为：
获赠的随机话费（单位：元）
20
40
概率


现市民小王要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望.
附：①；
②若，则





核心考法四：离散型随机变量
【2019届师大附中第7次月考-理】
19. (本小题满分12分)在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手（1号至6号）登台演出，由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出3名。
（1）求同学甲选中3号且同学乙未选中3号选手的概率；
（2）设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X，求X的分布列和数学期望。


















【2019届长郡中学第5次月考-理】
19.（本小题满分12分）某市县乡教师流失现象非常严重，为了县乡孩子们能接受良好教育，某市今年要为两所县乡中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要1万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要3万元，已知现在该市县乡中学无多余教师，为决策应招聘多少县乡教师搜集并整理了该市50所县乡中学在过去三年内的教师流失数，得到如表的频数分布表：
流失教师数
6
7
8
9
频数
10
15
15
10
以这50所县乡中学流失教师数的频率代替一所县乡中学流失教师数发生的概率，记表示两所县乡中学在过去三年共流失的教师数，表示今年两所县乡中学招聘的教师数.为保障县乡孩子教育不受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘短缺的教师。
（1）求的分布列；
（2）若要求，确定的最小值；
（3）以两所县乡中学未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据，在=15与=16之中选一种，应选用哪种?





【2019届长郡中学第6次月考-理】
19.（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（1） 求X的分布列； （2）若要求，确定的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在=19与=20之中选其一，应选用哪个？




【2019届长沙市一中第7次月考-理】
20.（本题满分12分）为了整顿食品的安全卫生问题，食品监督部门对某食品厂生产甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了1件，如下是测量数据的茎叶图（单位：毫克）.





规定：当食品中的有害微量元素的含量在[0，10]时为一等品，在（10，20]时为二等品，20以上为劣质品.
（1）用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个，求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率；
（2）每生产一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣质品亏损20元.根据上图统计得到甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率.若分别从甲、乙食品中各抽取1件，设这两件食品给该厂带来的盈利为X，求随机变量X的分布列和数学期望.



【2020届师大附中第4次月考-理】
某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p（0.7≤p≤0.9）.
（1）任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及；
（2）将（1）中的取得最大值时中的值作为B种树苗自然成活的概率.该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.
①求一棵B种树苗最终成活的概率；
②若每棵B树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了使在B种树苗上的获利均值不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？


















核心考法五：独立性检验
【独立性检验+超几何分布】
【2019届长郡中学第7次月考-理】
19.（本小题满分12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间.根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：

将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”
（I）求的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550，650），[750，850）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？

属于“高消费群”
不属于“高消费群”
合计
男生



女生



合计



（参考公式：，其中）

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.0828

































【2019届长沙市一中第3次月考-理】
19.（本小题满分12分）同程旅游随机调查了年龄在[20，70]（单位：岁）内的1250人的购票情况，其中50岁以下（不包含50岁）的有900人，50岁以上（包含50岁）的有350人，由调查数据的统计结果显示，有80%的人参与网上购票，网上购票人数的频率分布直方图如下图所示.








（1）已知年龄在[30，40），[40，50），[50，60）的网上购票人数成等差数列，求a，b的值；
（2）根据题目数据填写列联表，并根据填写数据判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为网上购票与年龄有关系？
附：

0.010
0.005
0.001

6.635
7.879
10.828

50岁以下
50岁以上
总计
参与网上购票



不参与网上购票



总计









（3）为鼓励大家网上购票，该平台常采用购票就发放酒店入住代金券的方法进行促销，具体做法如下：年龄在[30，50）岁的每人发放20元，其余年龄段的每人发放50元，先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访调查，求此3人获得代金券的金额总和X的分布列和数学期望.






























【2020届雅礼中学第4次月考-理】
某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为了制订适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查，调查过程分随机问卷调查、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷调查阶段，，两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回，在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对至岁的人群，按比例随机抽取了份，进行数据统计，具体情况如表：
组别
年龄
组统计结果
组统计结果
经常使用单车
偶尔使用单车
经常使用单车
偶尔使用单车

人
人
人
人

人
人
人
人

人
人
人
人
（1）先用分层抽样的方法从上述人中按“年龄是否达到岁”抽出一个容量为的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到岁”的被抽个体分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.
①求这人中“年龄达到岁且偶尔使用单车”的人数；
②为听取对发展共享单车的建议，调查小组专门组织所抽取的“年龄达到岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会，会后共有份礼品赠送给其中人，每人一份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员中有且仅有人来自组，求组这人中得到礼品的人数的分布列和数学期望；
（2）从统计数据可直观得出“经常使用单车与年龄达到岁有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄应该取还是？请通过比较的观测值的大小加以说明.
（参考公式：，其中）

















【2020届雅礼中学第5次月考-理】
为响应“文化强国建设”号召，并增加学生们对古典文学的学习兴趣，雅礼中学计划建设一个古典文学熏陶室.为了解学生阅读需求，随机抽取名学生做统计调查.统计显示，男生喜欢阅读古典文学的有人，不喜欢的有人；女生喜欢阅读古典文学的有人，不喜欢的有人.
（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？
（2）为引导学生积极参与阅读古典文学书籍，语文教研组计划牵头举办雅礼教育集团古典文学阅读交流会.经过综合考虑与对比，语文教研组已经从这人中筛选出了名男生代表和名女生代表，其中有名男生代表和名女生代表喜欢古典文学.现从这名代表中任选名男生代表和名女生代表参加交流会，记为参加交流会的人中喜欢古典文学的人数，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
参考数据：































【独立性检验+二项分布】
【2019届师大附中第3次月考-理】
18.（本小题满分12分）某职称晋级评定机构对某次参加专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分（满分100分）及以上者晋级成功，否则晋级失败。

（Ⅰ）求图中的值；
（Ⅱ）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？

晋级成功
晋级失败
合计
男
16


女


50
合计



（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望。
参考公式：，其中。

0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025

0.780
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024




























【2019届师大附中第6次月考-理】
20.（本题满分12分）中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备。某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人。这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：
分数a





人数
20
55
105
70
50
参加自主招生获得通过的概率
0.9
0.8
0.6
0.5
0.4
（1） 填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？








优等生
非优等生
总计
学习大学先修课程



没有学习大学先修课程



总计








（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率。
①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；
②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为，求。
参考数据：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
参考公式：，其中。
























【2019届雅礼中学第10次月考-理】
20. （本小题满分12分）在最新公布的湖南新高考方案中，“3+1+2”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门， 后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分。相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求。双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1〜6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：
序号
选科情况
序号
选科情况
序号
选科情况
序号
选科情况
1
134
11
236
21
156
31
235
2
235
12
234
22
235
32
236
3
235
13
145
23
245
33
235
4
145
14
135
24
235
34
135
5
156
15
236
25
256
35
156
6
245
16
236
26
156
36
236
7
256
17
156
27
134
37
156
8
235
18
236
28
235
38
134
9
235
19
145
29
246
39
235
10
236
20
235
30
156
40
245
（1）双超中学规定:每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）。已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？
（2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有99%的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关。
附：

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

（3）某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了 1门的考生报名。现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备高校专业报名资格的人数为，用样本的频率估计概率，求的分布列与期望。



























【2020届长沙一中第3次月考-理】
中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，分数为（满分100分），并且都参加了高校的自主招生考试，结果如下表所示：
分数





人数
20
55
105
70
50
参加高校
自主招生获得通过的频率
0.9
0.8
0.6
0.5
0.4
（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？


优等生
非优等生
总计
学习大学先修课程



没有学习大学先修课程



总计



（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学先修课程并且都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习参加高校自主招生获得通过的频率作为今年参加大学先修课程学习参加高校自主招生获得通过的概率.
①在今年参加大学先修课程的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；
②设今年全校参加大学先修课程的学生获得高校自主招生通过的人数为，求.
参考数据：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
参考公式：，其中.



















核心考法六：决策分析
【2019届师大附中第1次月考-理】
19.（本小题满分12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元。现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：
送餐单数
38
39
40
41
42
甲公司天数
10
10
15
10
5
乙公司天数
10
15
10
10
5
（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；
（2）假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：
（i）求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
（ii）小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？ 说明你的理由。


















【2019届师大附中第2次月考-理】
19.（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品，当时，产品为三级品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：（以下均视频率为概率）
A配方的频数分配表：
指标值分组




频数
10
30
40
20
B配方的频数分配表：
指标值分组





频数
5
15
25
30
25
（1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C发生的概率；
（2）若两种新产品的利润率与质量指标值k满足如下关系：
其中，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？








【2019届雅礼中学第3次月考-理】
20.（本小题满分12分）十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：
污水量






频率
0.3
0.44
0.15
0.1
0.005
0.005
将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立.
（1）求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；
（2）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：
方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；
方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；
方案三：不采取措施.
试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由.









【2019届雅礼中学第5次月考-理】
20.（本小题满分12分）2018年12月18日，庆祝改革开放40周年大会在北京召开.习近平在会上强调“改革开放40年来，民营企业蓬勃发展，民营经济从小到大、由弱变强，在稳定增长、促进创新、增加就业、改善民生等方面发挥了重要作用，成为推动经济社会发展的重要力量.支持民营企业发展，是党中央的一贯方针，这一点丝毫不会动摇。”在习近平总书记讲话的鼓舞下，长沙某民营商场与某跨国生产厂家甲、乙签署了合作协议.商场邀请甲、乙两个厂家进场试销10天，两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元.分别记录其10天内的销售件数，得到如下频数表：
甲厂家销售件数频数表
销售件数
38
39
40
41
42
天数
2
4
2
1
1
乙厂家销售件数频数表
销售件数
38
39
40
41
42
天数
1
2
2
4
1
（1）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求一天销售量大于40而另一天销售量小于40的概率；
（2）若将频率视作概率，回答以下问题：
①记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
②商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由.





【2019届雅礼中学第6次月考-理】
20. （本小题满分12分）某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润(万元)的概率分布列如表所示：

110
120
170
P
a
0.4

且的期望万元;若投资乙项目一年后可获得的利润(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为和，若乙项目产品价格一年内调整的次数(次数)与的关系如表所示：

（1）求的值；
（2）求的分布列；
（3）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求的取值范围.






【2019届雅礼中学高三上学期入学考试-理】
20.（本小题满分12分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg按1kg计算）需再收5元。该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：
包裹重量（单位：kg）
1
2
3
4
5
包裹件数
43
30
15
8
4
公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：
包裹件数范围
0~100
101~200
201~300
301~400
401~500
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
天数
6
6
30
12
6
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率。
（Ⅰ）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101~400之间的概率；
（Ⅱ）（i）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
（ii）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用。目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元。公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？






































【2019届长郡中学第10次月考-理】
20.（本小题满分12分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：
包裹重量（单位：kg）
1
2
3
4
5
包裹件数
43
30
15
8
4
公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：
包裹件数范围
0~100
101~200
201~300
301~400
401~500
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
天数
6
6
30
12
6
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101~400之间的概率；
（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？





































【2019届长沙市一中第9次月考-理】
19.（本小题满分12分）依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.







（1）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；
（2）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响，则亏损1000万元.现此企业有如下三种应对方案：
方案
防控等级
费用（单位：万元）
方案一
无措施
0
方案二
防控1级灾害
40
方案三
防控2级灾害
100
试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由.







【2020届师大附中第3次月考-理】
某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年大流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率；
（2）若水的年入流量X与其蕴含的能量y（单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：
年入流量X
6
8
10
12
14
蕴含的能量y
1.5
2.5
3.5
5
7.5
用最小二乘法求出y关于X的线性回归方程；（回归方程系数用分数表示）
（3）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X



发电机最多
可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
附：回归方程系数公式：，.

















【2020届雅礼中学第1次月考-理】
某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：

（1）将去年的消费金额超过元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取人，求至少有位消费者，其去年的消费金额超过元的概率；
（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：
会员等级
消费金额
普通会员

银卡会员

金卡会员

预计去年消费金额在内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在内的消费者都将会申请办理金卡会员.消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额.
该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：
方案：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励元.
方案：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有个白球、个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为，则可获得元奖励金；若摸到红球的总数为，则可获得元奖励金；其他情况不给予奖励.规定每位普通会员均可参加次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.
以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由
















【2020届雅礼中学第2次月考-理】
由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，个人依次进行，每人必须在分钟内完成，否则派下一个人.个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.根据以往次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图.

（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为，求、的值，并分别求出甲、乙在分钟内解开密码锁的频率；
（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在分钟内解开密码锁的概率为，各人是否解开密码锁相互独立.
①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.
②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，不需要说明理由.






































【2020届长郡中学第3次月考-理】
十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，我省某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植脐橙，并利用互联网电商进行销售，为了更好销售，现从该村的脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：

（1）按分层抽样方法从质量落在，的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量至少有一个不小于400克的概率；
（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100 000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：
A.所有脐橙均以7元/千克收购；
B.低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益较好的方案.
（参考数据：）














































核心考法七：函数导数最值
【2019届师大附中第5次月考-理】
19.（本小题满分12分）某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品。检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测。设每个水果为不合格品的概率都为，且各个水果是否为不合格品相互独立。
（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求取最大值时的值；
（Ⅱ）现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以（Ⅰ）中确定的作为的值。已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付元的赔偿费用（）。
（i）若不对该箱余下的水果作检验,这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付 的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？















【2019届雅礼中学第2次月考-理】
20.（本小题满分12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温低于区间[20，25），需求量为350瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
4
14
36
21
10
5
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值，最大值为多少？













【2019届雅礼中学第7次月考-理】
20. (本小题满分12分)已知等10所高校举行自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为.
（1）如果该同学10所高校的考试都参加，恰有所通过的概率为，当为何值时，取得最大值；
（2）若，该同学参加每所高校考试所需的费用均为元，该同学决定按顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，否则，继续参加其它高校的考试，求该同学参加考试所需费用的分布列及数学期望.































【2019届雅礼中学第9次月考-理】
20.（本小题满分12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.
某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本， 每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为
（i )试运用概率统计的知识，若，试求关于的函数关系式；
（ii )若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.
参考数据：




































【2020届长沙一中第2次月考-理】
长沙某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕.根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温（单位：℃）有关，如果最高气温不低于25℃，需求量为600桶；如果最高气温（单位：℃）位于区间，需求量为400桶；如果最高气温低于20℃，需求量为200桶.为了确定今年九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温（℃）






天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求九月份这种冰激凌一天的需求量（单位：桶）的分布列；
（2）设九月份一天销售这种冰激凌的利润为（单位：元），当九月份这种冰激凌一天的进货量（单位：桶）为多少时，的均值取得最大值？










核心考法八：茎叶图直方图
【2019届长郡中学第1次月考-理】
19.（本小题满分12分）某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1 400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为，并绘制出如下的频率分布直方图.
（1）求的值，并计算完成年度任务的人数；
（2）用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；
（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.















【2019届长郡中学第4次月考-理】
20.（本小题满分12分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.

（1）求出，的值；
（2）求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；
（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率。













【2019届长沙市一中第10次月考-理】
20.（本小题满分12分）从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）组成一个样本，且将纤维长度超过315mm的棉花定为一级棉花.设计了如下茎叶图：








（1）根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论（不必计算）；
（2）从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，求其中恰有3根一级棉花的概率；
（3）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取1根，求其中一级棉花根数X的分布列及数学期望.













【2020届师大附中第2次月考-理】
某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：
质量指标值m
m<185
185≤m<205
m≥205
等级
三等品
二等品
一等品
从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：

（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？
（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；
（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？













核心考法九：数列结合
【2020届长郡中学第1次月考-理】
为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐.某位教师设计了一名为「肩手左右」的游戏，方案如下：
游戏准备：
选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏.教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片。游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面都打印有相同的“右”字。
游戏进行：
一「轮」游戏（一「轮」游戏包含多「次」游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字。两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片，就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”。相反，小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片，就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”。最先完成指令动作的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一「次」。
游戏评价：
为了方便描述问题，约定：对于每「次」游戏，若小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分，乙得分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得分，若甲、乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分.当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本「轮」游戏，并判定得分高的小朋友获胜.现假设“甲小朋友能正确完成一「次」游戏中的指令动作的概率为，乙小朋友能正确完成一「次」游戏中的指令动作的概率为”，一「次」游戏中甲小朋友的得分记为.
（1）求的分布列；
（2）若甲小朋友、乙小朋友在一「轮」游戏开始时都赋予4分，表示“甲小朋友的当前累计得分为时，本‘轮’游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则，，，其中，，.假设，.
（ⅰ）证明：为等比数列；
（ⅱ）求，并根据的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一「次」游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一「次」游戏中的指令动作的概率为0.6”的假设.








【2020届长沙一中第5次月考-理】
某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标来衡量产品的质量.当时，产品为优等品；当时，产品为一等品；当时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率.

（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；
（2）已知每件成本1000元.现某人决定购买80件该产品.购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为元，求的分布列与数学期望；
（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动.客户根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上进行，已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.机器人开始在第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从第格到第格，），若掷出反面，机器人向前移动两格（从第格到第格，），直到机器人移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束.若机器人停在“胜利大本营”，则可获得优惠券.设机器人移到第格的概率为，试证明是等比数列，并解释此方案能否为销售该款产品助力.