专题12 定弦定角构造辅助圆-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）

专题12      定弦定角构造辅助圆

【专题导入】

1.（1）如图1，A,B,C,D,E都是⊙O上的点，已知∠A=55°，则∠B=____°，∠C=_____°.

                                         图1

（2）思考：如图2，已知∠A=∠B=∠C，试问A,B,C三点在什么图形上？

【答案】（1）55    55；

（2）在以DE为弦，且DE所对的圆心角为2∠A的圆弧上.

【方法点睛】*常用的角度：90°.

90°角所对的弦为直径.

【例1】问题提出：

（1）如图1，已知线段AB，试在线段外确定一点P，使得PA⊥PB，画出满足条件的点P的位置（尺规作图，保留作图痕迹）.

                 图1

问题探究：

（2）如图2，在矩形ABCD中，AD=12，AB=10，且在矩形内部存在一动点P，使得PD⊥PC，连接BP，试求BP的最小值.

【解析】（1）如图所示，⊙O即为所求轨迹.

（2）如图所示，点P在半圆O上运动，连接BO，交⊙O于点P，此时点BP取得最小值.

BO==13.

BP=BO-OP=13-5=8.

同步练习1.如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为______.

提示：点E是动点，点F也随着E的移动而移动，不变的是∠AFC=_____°，

∠AFC所对的边AC的长度也不变，由此得出点F的轨迹是__________________.

【解析】如图，△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆.

当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，
∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长.

易得AC=4，∠ACG=30°，

即所对的圆心角为60°.

的长为=π

【例2】如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为　　．

【解析】∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，

∵∠PAB＝∠ACP，

∴∠PAC+∠ACP＝60°，

∴∠APC＝120°，

∴点P的运动轨迹是，

当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：

此时PA＝PC，OB⊥AC，

则AD＝CDAC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD∠ABC＝30°，

∴PD＝，BDAD，

∴PB＝BD﹣PD．

【专题过关】

1.如图，点D在半圆O上，半径OB=，AD=10，点C在上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC=90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（　　）

A.5  B.6  C.7   D.8

【答案】D

【解析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．

∵DH⊥AC，
∴∠AHD=90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M，H，B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD==12，
BM==13.
∴BH的最小值为BM-MH=13-5=8．

2.如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．当α=360°时，若AB=4，请直接写出点O经过的路径长．

 

【解析】连接AO，如图所示：

∵AC=AF，CO=OF，
∴AO⊥CF，
∴∠AOC=90°，
∴点O在以AC为直径的圆上运动，
∵α=360°，
∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，
∵AC=AB=×4=8，
∴点O经过的路径长为：πd=8π．

3.（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=_____°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是______．

【解析】（1）如图1，∵AB=AC，AD=AC，

∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=45°.
故答案是：45.

（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
 

∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴点A、B、C、D共圆.
∴∠BDC=∠BAC，
∵∠BDC=25°，
∴∠BAC=25°.

（3）如图3，在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，

∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，

∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO=AB=1，
在Rt△AOD中，OD===.
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值=OD-OH=-1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）

4.如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O交BM于N，则线段AN的最小值为　   　．

【答案】-1

【解析】如图1，连接CN，

∵CM是⊙O的直径，
∴∠CNM=90°，
∴∠CNB=90°，
∴点N在以BC为直径的⊙O′上，
∵⊙O′的半径为1，

∴当点O′、N、A共线时，AN最小，如图2，
在Rt△AO′C中，∵O′C=1，AC=2，
∴O′A==，
∴AN=AO′-O′N=-1，
即线段AN长度的最小值为-1．

5. 如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，AE=CD，连接AD，BE交于点P．
（1）求证：∠APB=120°；

（2）若等边三角形ABC的边长为2，CP的最小值是多少？

【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°．
在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS）．
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠CAD+∠BAD=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°．∴∠BPD=∠ABE+∠BAD=60°．

∴△ABD≌△BCE（SAS）．∴∠BAD=∠CBE．
∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠ABC=60°．∴∠APB=120°．
∴点P的运动轨迹是点O为圆心，半径为OA的弧AB，且∠AOB=120°．
如图所示，连接CO．

∵OA=OB，CA=CB，OC=OC，∴△AOC≌△BOC（SSS）．
∴∠OAC=∠OBC，∠ACO=∠BCO=30°．
∵∠AOB+∠ACB=180°，∴∠OAC+∠OBC=180°．∴∠OAC=∠OBC=90°．
∵AB＝2，∴OB＝r＝2．
∴CO＝==4．∴OP=2
∴PC的最小值为OC-r=4−2=2．故答案为：2．

【专题提升】

6. 已知以AB为直径的圆O，C为的中点，P为上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连结BD，若AB=6，求BD的最小值.

【解析】如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC=90°，连接AC，BC，BQ．

∵⊙O的直径为AB，C为的中点，
∴∠APC=45°，
又∵CD⊥CP，
∴∠DCP=90°，
∴∠PDC=45°，∠ADC=135°，
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，
又∵AB=6，C为的中点，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC=3，
∴△ACQ中，AQ=3，
∴BQ==3，
∵BD≥BQ-DQ，
∴BD的最小值为3-3．

7.如图1，在正方形ABCD中，AB=4，点E,F是线段DC,AD上的动点且EC=FD.连接BE,CF交于点G.

（1）求∠BGC的度数；

（2）连接DG，求DG的最小值.

（3）如图2，若点I是△BCG的内心，求ID的最小值.

                    图1

                   图2

【解析】（1）由△BCE≌△CDF易得∠BGC=90°.

（2）∵∠BGC=90°，所对的边BC是定长，

∴点G在以BC为直径的圆弧上运动（具体轨迹为个圆）.

取BC中点O，连接DO，交圆弧于点H.

此时HD即为GD的最小值.

HD=OD-OH=-OH=2-2.

（3）∵点I为△BGC的内心，∠BGC=90°.

连接BI,CI，易得∠BIC=135°.

如图，故点I在以K为圆心，KB为半径的圆弧上运动（具体轨迹为个圆）.

其中△BKC是等腰直角三角形，∠BKC=90°.

连接KD，交⊙K于点I，此时ID取最小值.

过点K作DC的垂线，与DC延长线交于点L.

连接KC，易得△KLC是等腰直角三角形，

KL=CL=BC=2.

DL=DC+CL=6.

KD==2.

ID=KD-IK=KD-BK=KD-BC=2-2.