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【解析版】2022学年北京市海淀区九年级上期末数学试卷
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这是一份【解析版】2022学年北京市海淀区九年级上期末数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（ ）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根
C． 没有实数根 D． 无法确定是否有实数根
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． 长方体 B． 正方体 C． 圆柱 D． 圆锥
4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（ ）
A． 1 B． 2 C． 4 D． 8
6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A． y1＜0＜y2 B． y2＜0＜y1 C． y1＜y2＜0 D． y2＜y1＜0
7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（ ）
A． B． C． 1 D． 2
8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（ ）
A． 线段EF B． 线段DE C． 线段CE D． 线段BE
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为 cm2．（结果保留π）
10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为 m．
11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为 ．
12．对于正整数n，定义F（n）=，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．
（1）求：F2（4）= ，F2015（4）= ；
（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是 ．
三、解答题（共13小题，满分72分）
13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1．
14．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE．
15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值．
16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值．
20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；
质量档次 1 2 … x … 10
日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50
单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若AB=，AD=2，求线段PC的长．
22．阅读下面材料：
小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．
请回答：
（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明计算：OC= ；tan∠AOD= ；
解决问题：
如图3，计算：tan∠AOD= ．
23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．
（1）求代数式mn的值；
（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；
（3）若反比例函数y=的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．
24．如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．
（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；
（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．
①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；
②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．
25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．
定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，则S=mn为图形W的测度面积．
例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4
（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．
①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= ；
②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= ；
（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的最大值为 ；
（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．
2022学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（ ）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根
C． 没有实数根 D． 无法确定是否有实数根
考点： 根的判别式．
分析： 求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可．
解答： 解：x2﹣3x﹣5=0，
△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）=29＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选A．
点评： 本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
考点： 锐角三角函数的定义．
分析： 直接根据三角函数的定义求解即可．
解答： 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，
∴sinA==．
故选A．
点评： 此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：
正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边：斜边=a：c．
3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． 长方体 B． 正方体 C． 圆柱 D． 圆锥
考点： 由三视图判断几何体．
分析： 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
解答： 解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．
故选：D．
点评： 本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 概率公式．
分析： 由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：∵六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，
∴抽到的座位号是偶数的概率是：=．
故选C．
点评： 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（ ）
A． 1 B． 2 C． 4 D． 8
考点： 位似变换．
专题： 计算题．
分析： 根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可．
解答： 解：∵C1为OC的中点，
∴OC1=OC，
∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴=，B1C1∥BC，
∴=，
∴=，
即=
∴A1B1=2．
故选B．
点评： 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A． y1＜0＜y2 B． y2＜0＜y1 C． y1＜y2＜0 D． y2＜y1＜0
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣，y2=﹣，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小．
解答： 解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，
∴y1=﹣，y2=﹣，
∵x1＜0＜x2，
∴y2＜0＜y1．
故选B．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（ ）
A． B． C． 1 D． 2
考点： 垂径定理；全等三角形的判定与性质．
分析： 根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案．
解答： 解：∵OD⊥AC，AC=2，
∴AD=CD=1，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO=∠OFE=90°，
∵OE∥AC，
∴∠DOE=∠ADO=90°，
∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，
∴∠DAO=∠EOF，
在△ADO和△OFE中，
，
∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴OF=AD=1，
故选C．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（ ）
A． 线段EF B． 线段DE C． 线段CE D． 线段BE
考点： 动点问题的函数图象．
分析： 作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论．
解答： 解：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G．
由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；
由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd＞时，DE有最小值，故B正确；
∵CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；
由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；
故选：B．
点评： 本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为 3π cm2．（结果保留π）
考点： 扇形面积的计算．
专题： 压轴题．
分析： 知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出．
解答： 解：由S=知
S=×π×32=3πcm2．
点评： 本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S=．
10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为 24 m．
考点： 相似三角形的应用．
分析： 根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．
解答： 解：设这栋建筑物的高度为xm，
由题意得，=，
解得x=24，
即这栋建筑物的高度为24m．
故答案为：24．
点评： 本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．
11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为 x1=﹣2，x2=1 ．
考点： 二次函数的性质．
专题： 数形结合．
分析： 根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．
解答： 解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．
故答案为x1=﹣2，x2=1．
点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．
12．对于正整数n，定义F（n）=，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．
（1）求：F2（4）= 37 ，F2015（4）= 26 ；
（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是 6 ．
考点： 规律型：数字的变化类．
专题： 新定义．
分析： 通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可．
解答： 解：（1）F2（4）=F（F1（4））=F（16）=12+62=37；
F1（4）=F（4）=16，F2（4）=37，F3（4）=58，
F4（4）=89，F5（4）=145，F6（4）=26，F7（4）=40，F8（4）=16，
通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此F2015（4）=26；
（2）由（1）知，这些数字7个一个循环，F4（4）=89=F18（4），因此3m=18，所以m=6．
故答案为：（1）37，26；（2）6．
点评： 本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键．
三、解答题（共13小题，满分72分）
13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可．
解答： 解：原式=﹣1+﹣1+2=．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE．
考点： 相似三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．
解答： 证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠ADC=∠BEC，
而∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE．
点评： 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质．
15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值．
考点： 一元二次方程的解．
专题： 计算题．
分析： 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值．
解答： 解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，
则原式===3．
点评： 此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式．
考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 计算题．
分析： 由于抛物线平移前后二次项系数不变，则可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式．
解答： 解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，
把点A（0，3），B（2，3）分别代入得，解得，
所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；
（2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标．
解答： 解：
（1）把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，
∴点A坐标为（2，4），
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）∵AC⊥OC，
∴OC=2，
∵A、B关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣2，﹣4），
∴B到OC的距离为4，
∴S△ABC=2S△ACO=2××2×4=8，
∴S△OPC=8，
设P点坐标为（x，），则P到OC的距离为||，
∴×||×2=8，解得x=1或﹣1，
∴P点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）．
点评： 本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标、在（2）中求得P点到OC的距离是解题的关键．
18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
考点： 解直角三角形；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： （1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，则S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．
解答： 解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴sinA==，
而BC=8，
∴AB=10，
∵D是AB中点，
∴CD=AB=5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，
∴AC==6，
∵D是AB中点，
∴BD=5，S△BDC=S△ADC，
∴S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，
∴BE==，
在Rt△BDE中，cos∠DBE===，
即cos∠ABE的值为．
点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．
19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值．
考点： 根的判别式；根与系数的关系．
专题： 计算题．
分析： （1）由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；
（2）利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可．
解答： 解：（1）由已知得：m≠0且△=（m+2）2﹣8m=（m﹣2）2＞0，
则m的范围为m≠0且m≠2；
（2）方程解得：x=，即x=1或x=，
∵x2＜0，∴x2=＜0，即m＜0，
∵＞﹣1，
∴＞﹣1，即m＞﹣2，
∵m≠0且m≠2，
∴﹣2＜m＜0，
∵m为整数，
∴m=﹣1．
点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0．
20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；
质量档次 1 2 … x … 10
日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50
单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；
（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．
解答： 解：（1）由题意，得
y=（100﹣5x）（2x+4），
y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；
答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；
（2）∵y=﹣10x2+180x+400，
∴y=﹣10（x﹣9）2+1210．
∵1≤x≤10的整数，
∴x=9时，y最大=1210．
答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元．
点评： 本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若AB=，AD=2，求线段PC的长．
考点： 切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线；
（2）首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r，则可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长．
解答： （1）证明：连接OC．
∵AD与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴FA⊥BC．
∵FA经过圆心O，
∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，
∴∠COF=2∠BAF．
∵∠PCB=2∠BAF，
∴∠PCB=∠COF．
∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，
∴∠OCE+∠PCB=90°．
∴OC⊥PC．
∵点C在⊙O上，
∴直线PC是⊙O的切线．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2．
∴BE=CE=1．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=，
∴．
设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r．
在Rt△OCE中，∠OEC=90°，
∴OC2=OE2+CE2．
∴r2=（3﹣r）2+1．
解得，
∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．
∴△OCE∽△CPE，
∴．
∴．
∴．
点评： 此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
22．阅读下面材料：
小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．
请回答：
（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明计算：OC= ；tan∠AOD= 5 ；
解决问题：
如图3，计算：tan∠AOD= ．
考点： 相似形综合题．
分析： （1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；
（2）连接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；
（3）如图，连接AE、BF，则AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=，在Rt△AOF中，可以求出OF=，故可求得tan∠AOD．
解答： 解：（1）如图所示：
线段CD即为所求．
（2）如图2所示连接AC、DB、AD．
∵AD=DE=2，
∴AE=2．
∵CD⊥AE，
∴DF=AF=．
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△DBO．
∴CO：DO=2：3．
∴CO=．
∴DO=．
∴OF=．
tan∠AOD=．
（3）如图3所示：
根据图形可知：BF=2，AE=5．
由勾股定理可知：AF==，AB==．
∵FB∥AE，
∴△AOE∽△BOF．
∴AO：OB=AE：FB=5：2．
∴AO=．
在Rt△AOF中，OF==．
∴tan∠AOD=．
点评： 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键．
23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．
（1）求代数式mn的值；
（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；
（3）若反比例函数y=的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．
考点： 反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质．
专题： 综合题；数形结合；分类讨论．
分析： （1）只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；
（2）将点B的坐标代入y=（x﹣1）2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；
（3）可先求出直线y=x与反比例函数y=交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题．
解答： 解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A（1，4）、B（m，n），
∴k=mn=1×4=4，
即代数式mn的值为4；
（2）∵二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，
∴n=（m﹣1）2=m2﹣2m+1，
∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n
=mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n
=4n+2×4﹣4n
=8，
即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；
（3）设直线y=x与反比例函数y=交点分别为C、D，
解，得：
或，
∴点C（﹣2，﹣2），点D（2，2）．
①若a＞0，如图1，
当抛物线y=a（x﹣1）2经过点D时，
有a（2﹣1）2=2，
解得：a=2．
∵|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，
∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；
②若a＜0，如图2，
当抛物线y=a（x﹣1）2经过点C时，
有a（﹣2﹣1）2=﹣2，
解得：a=﹣．
∵|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，
∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣．
综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣．
点评： 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．
24．如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．
（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；
（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．
①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；
②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．
考点： 几何变换综合题．
分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出即可；
（2）①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD．求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；
②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME=，AM=FM，解直角三角形求出FM即可．
解答： 解：（1）AD+DE=4，
理由是：如图1，
∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，
∴AD+DE=BC=4；
（2）①补全图形，如图2，
设DE与BC相交于点H，连接AE，
交BC于点G，
∵∠ADB=∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠BDC，
在△ADE与△BDC中，
，
∴△ADE≌△BDC，
∴AE=BC，∠AED=∠BCD．
∵DE与BC相交于点H，
∴∠GHE=∠DHC，
∴∠EGH=∠EDC=90°，
∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，
∴EF=CB=4，EF∥CB，
∴AE=EF，
∵CB∥EF，
∴∠AEF=∠EGH=90°，
∵AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AFE=45°，
∴AF==4；
②如图2，过E作EM⊥AF于M，
∵由①知：AE=EF=BC，
∴∠AEM=∠FME=，AM=FM，
∴AF=2FM=EF×sin=8sin．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．
25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．
定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，则S=mn为图形W的测度面积．
例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4
（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．
①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= 1 ；
②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= 1 ；
（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的最大值为 2 ；
（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．
考点： 圆的综合题．
分析： （1）由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可；
②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可；
（2）先确定正方形有最大测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解．
（3）分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可．
解答： 解：（1）①如图3，
∵OA=OB=1，点A，B在坐标轴上，
∴它的测度面积S=|OA|•|OB|=1，
故答案为：1．
②如图4，
∵AB⊥x轴，OA=OB=1．
∴AB=，OC=，
∴它的测度面积S=|AB|•|OC|=×=1，
故答案为：1．
（2）如图5，图形的测度面积S的值最大，
∵四边形ABCD是边长为1的正方形．
∴它的测度面积S=|AC|•|BD|=×=2，
故答案为：2．
（3）设矩形ABCD的边AB=4，BC=3，由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上，
当A，B或B，C都在x轴上时，
如图6，图7，
矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=12．
当顶点A，C都不在x轴上时，如图8，过点A作直线AH⊥x轴于点E，过C点作CF⊥x轴于点F，过点D作直线GH∥x轴，分别交AE，CF于点H，G，则可得四边形EFGH是矩形，
当点P，Q与点A，C重合时，|x1﹣x2|的最大值为m=EF，|y1﹣y2|的最大值为n=GF．
图形W的测度面积S=EF•GF，
∵∠ABC+∠CBF=90°，∠ABC+∠BAE=90°，
∴∠CBF=∠BAE，
∵∠AEB=∠BFC=90°，
∴△AEB∽△BFC，
∴===，
设AE=4a，EB=4b，（a＞0，b＞0），则BF=3a，FC=3b，
在RT△AEB中，AE2+BE2=AB2，
∴16a2+16b2=16，即a2+b2=1，
∵b＞0，
∴b=，
在△ABE和△CDG中，
∴△ABE≌△CDG（AAS）
∴CG=AE=4a，
∴EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a，
∴图形W的测度面积S=EF•GF=（4b+3a）（3b+4a）=12a2+12b2+25a=12+25=12+25，
当a2=时，即a=时，测度面积S取得最大值12+25×=，
∵a＞0，b＞0，
∴＞0，
∴S＞12，
综上所述：测度面积S的取值范围为12≤S≤．
点评： 本题主要考查了阅读材料题，涉及新定义，三角形相似，三角形全等的判定与性质，勾股定理及矩形，正方形等知识，解题的关键是正确的确定矩形|x1﹣x2|的最大值，|y1﹣y2|的最大值．
2022学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（ ）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根
C． 没有实数根 D． 无法确定是否有实数根
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． 长方体 B． 正方体 C． 圆柱 D． 圆锥
4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（ ）
A． 1 B． 2 C． 4 D． 8
6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A． y1＜0＜y2 B． y2＜0＜y1 C． y1＜y2＜0 D． y2＜y1＜0
7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（ ）
A． B． C． 1 D． 2
8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（ ）
A． 线段EF B． 线段DE C． 线段CE D． 线段BE
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为 cm2．（结果保留π）
10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为 m．
11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为 ．
12．对于正整数n，定义F（n）=，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．
（1）求：F2（4）= ，F2015（4）= ；
（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是 ．
三、解答题（共13小题，满分72分）
13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1．
14．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE．
15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值．
16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值．
20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；
质量档次 1 2 … x … 10
日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50
单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若AB=，AD=2，求线段PC的长．
22．阅读下面材料：
小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．
请回答：
（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明计算：OC= ；tan∠AOD= ；
解决问题：
如图3，计算：tan∠AOD= ．
23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．
（1）求代数式mn的值；
（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；
（3）若反比例函数y=的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．
24．如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．
（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；
（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．
①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；
②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．
25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．
定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，则S=mn为图形W的测度面积．
例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4
（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．
①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= ；
②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= ；
（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的最大值为 ；
（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．
2022学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（ ）
A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根
C． 没有实数根 D． 无法确定是否有实数根
考点： 根的判别式．
分析： 求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可．
解答： 解：x2﹣3x﹣5=0，
△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）=29＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选A．
点评： 本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
考点： 锐角三角函数的定义．
分析： 直接根据三角函数的定义求解即可．
解答： 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，
∴sinA==．
故选A．
点评： 此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：
正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边：斜边=a：c．
3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． 长方体 B． 正方体 C． 圆柱 D． 圆锥
考点： 由三视图判断几何体．
分析： 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
解答： 解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．
故选：D．
点评： 本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 概率公式．
分析： 由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：∵六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，
∴抽到的座位号是偶数的概率是：=．
故选C．
点评： 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（ ）
A． 1 B． 2 C． 4 D． 8
考点： 位似变换．
专题： 计算题．
分析： 根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可．
解答： 解：∵C1为OC的中点，
∴OC1=OC，
∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴=，B1C1∥BC，
∴=，
∴=，
即=
∴A1B1=2．
故选B．
点评： 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A． y1＜0＜y2 B． y2＜0＜y1 C． y1＜y2＜0 D． y2＜y1＜0
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣，y2=﹣，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小．
解答： 解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣的图象上的两点，
∴y1=﹣，y2=﹣，
∵x1＜0＜x2，
∴y2＜0＜y1．
故选B．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（ ）
A． B． C． 1 D． 2
考点： 垂径定理；全等三角形的判定与性质．
分析： 根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案．
解答： 解：∵OD⊥AC，AC=2，
∴AD=CD=1，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO=∠OFE=90°，
∵OE∥AC，
∴∠DOE=∠ADO=90°，
∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，
∴∠DAO=∠EOF，
在△ADO和△OFE中，
，
∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴OF=AD=1，
故选C．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（ ）
A． 线段EF B． 线段DE C． 线段CE D． 线段BE
考点： 动点问题的函数图象．
分析： 作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论．
解答： 解：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G．
由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；
由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd＞时，DE有最小值，故B正确；
∵CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；
由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；
故选：B．
点评： 本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为 3π cm2．（结果保留π）
考点： 扇形面积的计算．
专题： 压轴题．
分析： 知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出．
解答： 解：由S=知
S=×π×32=3πcm2．
点评： 本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S=．
10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为 24 m．
考点： 相似三角形的应用．
分析： 根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．
解答： 解：设这栋建筑物的高度为xm，
由题意得，=，
解得x=24，
即这栋建筑物的高度为24m．
故答案为：24．
点评： 本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．
11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为 x1=﹣2，x2=1 ．
考点： 二次函数的性质．
专题： 数形结合．
分析： 根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．
解答： 解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．
故答案为x1=﹣2，x2=1．
点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．
12．对于正整数n，定义F（n）=，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．
（1）求：F2（4）= 37 ，F2015（4）= 26 ；
（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是 6 ．
考点： 规律型：数字的变化类．
专题： 新定义．
分析： 通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可．
解答： 解：（1）F2（4）=F（F1（4））=F（16）=12+62=37；
F1（4）=F（4）=16，F2（4）=37，F3（4）=58，
F4（4）=89，F5（4）=145，F6（4）=26，F7（4）=40，F8（4）=16，
通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此F2015（4）=26；
（2）由（1）知，这些数字7个一个循环，F4（4）=89=F18（4），因此3m=18，所以m=6．
故答案为：（1）37，26；（2）6．
点评： 本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键．
三、解答题（共13小题，满分72分）
13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可．
解答： 解：原式=﹣1+﹣1+2=．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE．
考点： 相似三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．
解答： 证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠ADC=∠BEC，
而∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE．
点评： 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质．
15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值．
考点： 一元二次方程的解．
专题： 计算题．
分析： 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值．
解答： 解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，
则原式===3．
点评： 此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式．
考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 计算题．
分析： 由于抛物线平移前后二次项系数不变，则可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式．
解答： 解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，
把点A（0，3），B（2，3）分别代入得，解得，
所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；
（2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标．
解答： 解：
（1）把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，
∴点A坐标为（2，4），
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）∵AC⊥OC，
∴OC=2，
∵A、B关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣2，﹣4），
∴B到OC的距离为4，
∴S△ABC=2S△ACO=2××2×4=8，
∴S△OPC=8，
设P点坐标为（x，），则P到OC的距离为||，
∴×||×2=8，解得x=1或﹣1，
∴P点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）．
点评： 本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标、在（2）中求得P点到OC的距离是解题的关键．
18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
考点： 解直角三角形；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： （1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，则S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．
解答： 解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴sinA==，
而BC=8，
∴AB=10，
∵D是AB中点，
∴CD=AB=5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，
∴AC==6，
∵D是AB中点，
∴BD=5，S△BDC=S△ADC，
∴S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，
∴BE==，
在Rt△BDE中，cos∠DBE===，
即cos∠ABE的值为．
点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．
19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值．
考点： 根的判别式；根与系数的关系．
专题： 计算题．
分析： （1）由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；
（2）利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可．
解答： 解：（1）由已知得：m≠0且△=（m+2）2﹣8m=（m﹣2）2＞0，
则m的范围为m≠0且m≠2；
（2）方程解得：x=，即x=1或x=，
∵x2＜0，∴x2=＜0，即m＜0，
∵＞﹣1，
∴＞﹣1，即m＞﹣2，
∵m≠0且m≠2，
∴﹣2＜m＜0，
∵m为整数，
∴m=﹣1．
点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0．
20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；
质量档次 1 2 … x … 10
日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50
单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；
（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．
解答： 解：（1）由题意，得
y=（100﹣5x）（2x+4），
y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；
答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；
（2）∵y=﹣10x2+180x+400，
∴y=﹣10（x﹣9）2+1210．
∵1≤x≤10的整数，
∴x=9时，y最大=1210．
答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元．
点评： 本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若AB=，AD=2，求线段PC的长．
考点： 切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线；
（2）首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r，则可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长．
解答： （1）证明：连接OC．
∵AD与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴FA⊥BC．
∵FA经过圆心O，
∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，
∴∠COF=2∠BAF．
∵∠PCB=2∠BAF，
∴∠PCB=∠COF．
∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，
∴∠OCE+∠PCB=90°．
∴OC⊥PC．
∵点C在⊙O上，
∴直线PC是⊙O的切线．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2．
∴BE=CE=1．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=，
∴．
设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r．
在Rt△OCE中，∠OEC=90°，
∴OC2=OE2+CE2．
∴r2=（3﹣r）2+1．
解得，
∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．
∴△OCE∽△CPE，
∴．
∴．
∴．
点评： 此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
22．阅读下面材料：
小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．
请回答：
（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明计算：OC= ；tan∠AOD= 5 ；
解决问题：
如图3，计算：tan∠AOD= ．
考点： 相似形综合题．
分析： （1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；
（2）连接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；
（3）如图，连接AE、BF，则AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=，在Rt△AOF中，可以求出OF=，故可求得tan∠AOD．
解答： 解：（1）如图所示：
线段CD即为所求．
（2）如图2所示连接AC、DB、AD．
∵AD=DE=2，
∴AE=2．
∵CD⊥AE，
∴DF=AF=．
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△DBO．
∴CO：DO=2：3．
∴CO=．
∴DO=．
∴OF=．
tan∠AOD=．
（3）如图3所示：
根据图形可知：BF=2，AE=5．
由勾股定理可知：AF==，AB==．
∵FB∥AE，
∴△AOE∽△BOF．
∴AO：OB=AE：FB=5：2．
∴AO=．
在Rt△AOF中，OF==．
∴tan∠AOD=．
点评： 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键．
23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．
（1）求代数式mn的值；
（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；
（3）若反比例函数y=的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．
考点： 反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质．
专题： 综合题；数形结合；分类讨论．
分析： （1）只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；
（2）将点B的坐标代入y=（x﹣1）2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；
（3）可先求出直线y=x与反比例函数y=交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题．
解答： 解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A（1，4）、B（m，n），
∴k=mn=1×4=4，
即代数式mn的值为4；
（2）∵二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，
∴n=（m﹣1）2=m2﹣2m+1，
∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n
=mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n
=4n+2×4﹣4n
=8，
即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；
（3）设直线y=x与反比例函数y=交点分别为C、D，
解，得：
或，
∴点C（﹣2，﹣2），点D（2，2）．
①若a＞0，如图1，
当抛物线y=a（x﹣1）2经过点D时，
有a（2﹣1）2=2，
解得：a=2．
∵|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，
∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；
②若a＜0，如图2，
当抛物线y=a（x﹣1）2经过点C时，
有a（﹣2﹣1）2=﹣2，
解得：a=﹣．
∵|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，
∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣．
综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣．
点评： 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．
24．如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．
（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；
（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．
①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；
②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．
考点： 几何变换综合题．
分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出即可；
（2）①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD．求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；
②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME=，AM=FM，解直角三角形求出FM即可．
解答： 解：（1）AD+DE=4，
理由是：如图1，
∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，
∴AD+DE=BC=4；
（2）①补全图形，如图2，
设DE与BC相交于点H，连接AE，
交BC于点G，
∵∠ADB=∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠BDC，
在△ADE与△BDC中，
，
∴△ADE≌△BDC，
∴AE=BC，∠AED=∠BCD．
∵DE与BC相交于点H，
∴∠GHE=∠DHC，
∴∠EGH=∠EDC=90°，
∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，
∴EF=CB=4，EF∥CB，
∴AE=EF，
∵CB∥EF，
∴∠AEF=∠EGH=90°，
∵AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AFE=45°，
∴AF==4；
②如图2，过E作EM⊥AF于M，
∵由①知：AE=EF=BC，
∴∠AEM=∠FME=，AM=FM，
∴AF=2FM=EF×sin=8sin．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．
25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．
定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，则S=mn为图形W的测度面积．
例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4
（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．
①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= 1 ；
②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= 1 ；
（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的最大值为 2 ；
（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．
考点： 圆的综合题．
分析： （1）由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可；
②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可；
（2）先确定正方形有最大测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解．
（3）分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可．
解答： 解：（1）①如图3，
∵OA=OB=1，点A，B在坐标轴上，
∴它的测度面积S=|OA|•|OB|=1，
故答案为：1．
②如图4，
∵AB⊥x轴，OA=OB=1．
∴AB=，OC=，
∴它的测度面积S=|AB|•|OC|=×=1，
故答案为：1．
（2）如图5，图形的测度面积S的值最大，
∵四边形ABCD是边长为1的正方形．
∴它的测度面积S=|AC|•|BD|=×=2，
故答案为：2．
（3）设矩形ABCD的边AB=4，BC=3，由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上，
当A，B或B，C都在x轴上时，
如图6，图7，
矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=12．
当顶点A，C都不在x轴上时，如图8，过点A作直线AH⊥x轴于点E，过C点作CF⊥x轴于点F，过点D作直线GH∥x轴，分别交AE，CF于点H，G，则可得四边形EFGH是矩形，
当点P，Q与点A，C重合时，|x1﹣x2|的最大值为m=EF，|y1﹣y2|的最大值为n=GF．
图形W的测度面积S=EF•GF，
∵∠ABC+∠CBF=90°，∠ABC+∠BAE=90°，
∴∠CBF=∠BAE，
∵∠AEB=∠BFC=90°，
∴△AEB∽△BFC，
∴===，
设AE=4a，EB=4b，（a＞0，b＞0），则BF=3a，FC=3b，
在RT△AEB中，AE2+BE2=AB2，
∴16a2+16b2=16，即a2+b2=1，
∵b＞0，
∴b=，
在△ABE和△CDG中，
∴△ABE≌△CDG（AAS）
∴CG=AE=4a，
∴EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a，
∴图形W的测度面积S=EF•GF=（4b+3a）（3b+4a）=12a2+12b2+25a=12+25=12+25，
当a2=时，即a=时，测度面积S取得最大值12+25×=，
∵a＞0，b＞0，
∴＞0，
∴S＞12，
综上所述：测度面积S的取值范围为12≤S≤．
点评： 本题主要考查了阅读材料题，涉及新定义，三角形相似，三角形全等的判定与性质，勾股定理及矩形，正方形等知识，解题的关键是正确的确定矩形|x1﹣x2|的最大值，|y1﹣y2|的最大值．
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