人教B版 (2019)必修 第二册5.3.4 频率与概率学案

频率与概率

最新课程标准

结合实例，会用频率估计概率．

知识点　频数与频率

一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为.不难看出，此时也有0≤P(A)≤1.

状元随笔　

(1)正确理解频率与概率之间的关系

随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动的幅度越来越小．我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率．

(2)概率与频率的区别与联系：

基础自测

1.已知样本10，8，10，8，6，13，11，10，12，7，9，8，12，9，11，12，9，10，11，10，那么频率为0.2的范围是(　　)

A．5.5～7.5　　 B．7.5～9.5

C．9.5～11.5    D．11.5～13.5

2．将一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是30和0.25，则n为(　　)

A．120    B．160

C．60     D．90

3．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　)

A．概率为

B．频率为

C．频率为8

D．概率接近于8

4．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．

题型1　用频率估计概率[教材P111例4]

例1　为了了解某次数学考试全校学生的得分情况，

数学老师随机选取了若干名学生的成绩，并以[50，60)，[60，70)，…，[90，100]为分组，作出了如图所示的频率分布直方图．从该学校中随机选取一名学生，估计这名学生该次数学考试成绩在[90，100]内的概率．

【解析】　由频率分布直方图可以看出，所抽取的学生成绩中，在[90，100]内的概率为0.01×(100－90)＝0.1.

因为由样本的分布可以估计总体的分布，所以全校学生的数学得分在[90，100]内的频率可以估计为0.1.

根据用频率估计概率的方法可知，随机选取一名学生，这名学生该次数学考试成绩在[90，100]内的概率可以估计为0.1.

教材反思

随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．

跟踪训练1　李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：

经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)．

(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．

先由表中的数据算出频率，再估计出概率．

题型2　频率分布直方图的应用[经典例题]

例2　(1)在某次赛车中，50名参赛选手的成绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和18)，将比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18].其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13，15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为(　　)

A．39　　B．35

C．15    D．11

(2)某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1 400万元的年度销售任务．已知这200名销售员去年的销售额都在区间[2，22](单位：百万元)内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2，6)，[6，10)，[10，14)，[14，18)，[18，22]，并绘制出如下的频率分布直方图．

①求a的值，并计算完成年度任务的人数；

②用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；

③现从②中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率．

状元随笔　(1)弄清频率分布直方图中横、纵轴的意义，可知x应为前4组数据的频率和，y表示15～16和16～17两组频数的和．

(2)各小长方形面积之比即为频率比，可求第二小组频率；由频率＝可求样本容量；频率即为达标率．

方法归纳

频率分布直方图的意义

(1)频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各组内频率大小．

(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.

(3)频数/相应的频率＝样本容量．

跟踪训练 2　某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(　　)

A．90    B．75

C．60    D．45

5．3.4　频率与概率

新知初探·自主学习

[基础自测]

1．解析：共20个数据，频率为0.2，在此范围内的数据有4个，只有在11.5～13.5范围内有4个数据：13，12，12，12，故选D.

答案：D

2．解析：由题意知，＝0.25，所以n＝30×4＝120.

答案：A

3．解析：做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故＝为事件A的频率．

答案：B

4．解析：设共进行了n次试验，

则＝0.02，解得n＝500.

答案：500

课堂探究·素养提升

跟踪训练1　解析：总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645，根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成绩在各个段上的频率依次为：≈0.067，≈0.282，≈0.403，≈0.140，≈0.096，≈0.012.

用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：

(1)将“90分以上”记为事件A，则P(A)≈0.067；

(2)将“60分～69分”记为事件B，则P(B)≈0.140；

(3)将“60分以上”记为事件C，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.

例2　【解析】　(1)由频率分布直方图知成绩在[15，18]内的频率为(0.38＋0.32＋0.08)×1＝0.78，所以成绩在[13，15)内的频率为1－0.78＝0.22，则成绩在[13，15)内的选手有50×0.22＝11(人)，即这50名选手中获奖的人数为11，故选D.

【解析】(2)①∵(0.02＋0.08＋0.09＋2a)×4＝1，∴a＝0.03，

∴完成年度任务的人数为2×0.03×4×200＝48.

②第1组应抽取的人数为0.02×4×25＝2，

第2组应抽取的人数为0.08×4×25＝8，

第3组应抽取的人数为0.09×4×25＝9，

第4组应抽取的人数为0.03×4×25＝3，

第5组应抽取的人数为0.03×4×25＝3，

③在②中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为A1，A2，A3；第5组有3人，记这3人分别为B1，B2，B3.

从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共有15个基本事件，

获得此奖励的2名销售员在同一组所包含的基本事件有6个，

故所求概率P＝＝.

【答案】　(1)D　(2)略

跟踪训练2　解析：产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.

答案：A.