1．三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题，求某一边的最小值.2.多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解.3.若物体受包括弹力、摩擦力在内的四个力平衡，可以把弹力、摩擦力两个力合成一个力(又称“全反力”)，该力方向固定不变(与弹力夹角正切值为μ)，从而将四力平衡变成三力平衡，再用图解法求解．

1.(2020·四川泸州市一诊)如图1所示，三根不可伸长的轻绳一端共同系于O点，A端和B端分别固定在墙壁和地面上，某同学用水平方向的力拉绳OC，三绳绷紧后，OB绳竖直，OC绳水平，OA绳与竖直墙面夹角θ＝30°.三根绳能承受的最大拉力均为300 N，为保证三根轻绳都不被拉断，则人对OC绳的水平拉力最大不能超过(　　)

图1

A．100 N B．150 N C．150 N D．300 N

答案　B

解析　对结点O受力分析，如图所示，

由边角关系可知OA绳中的拉力最大，由平衡条件得：FC＝FAsin θ

只要OA不被拉断，则三根轻绳都不被拉断，则FA≤300 N，解得：FC≤150 N，选项B正确．

2.(2019·贵州毕节市适应性监测(三))如图2所示，一安装有滑轮的斜面M置于粗糙的水平地面上，P、Q两物体用轻绳连接并跨过滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)，P悬于空中，Q在斜面上处于静止状态(与Q相连的轻绳与斜面平行)．当用沿斜面向上的恒力推Q时，M、Q仍恰好静止不动，则有(　　)

图2

A．Q受到的摩擦力大小不变，方向变化

B．Q受到的摩擦力可能变大

C．Q受到的拉力变小

D．M受到水平地面的摩擦力方向始终向左

答案　B

解析　在没用沿斜面向上的推力推物体Q时，对P、Q和M整体受力分析，可知水平方向不受力，因此刚开始地面和斜面M之间没有摩擦力；当用沿斜面向上的力推Q时，P、Q和M仍静止不动，对整体受力分析，可知整体受到竖直向下的重力、地面支持力、沿斜面向上的推力以及沿水平面向右的摩擦力，故D错误．在整个过程中物体P保持静止，对物体P受力分析可知绳上的拉力FT＝mPg，因此绳上的拉力不变，Q受到的拉力也不变，C错误．对物体Q受力分析，当物体Q受到的静摩擦力沿斜面向下时有FT＝mQgsin θ＋Ff1，当作用外力F时有FT＋F＝mQgsin θ＋Ff2，可知静摩擦力可能增大；当物体Q受到的静摩擦力沿斜面向上时有FT＋Ff1＝mQgsin θ，作用外力F时，FT＋Ff2＋F＝mQgsin θ，可知静摩擦力可能减小，故A错误，B正确．

3.(2020·福建厦门双十中学第二次月考)如图3，轻杆上端可绕固定的水平光滑轴转动，下端固定一质量为m的小球搁在质量为2m的木板M上，木板置于光滑水平地面上，杆与竖直方向成30°角，球与木板间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．为将木板向右水平拉出，水平拉力F至少等于(　　)

图3

A.mg B.mg C.mg D.mg

答案　B

解析　当刚好将木板向右水平拉出时，对球受力分析如图所示，根据平衡条件有：Ff＝FTsin θ，FTcos θ＋FN＝mg且Ff＝μFN，代入数据得：FT＝mg，FN＝mg，Ff＝mg；对木板受力分析知：F＝Ff′＝Ff＝mg，故选项B正确．

4.(2019·河南开封市模拟)课堂上，老师准备了“∟”形光滑木板和三个完全相同、外表面光滑的匀质圆柱形积木，要将三个积木按图4所示(截面图)方式堆放在木板上，则木板与水平面夹角θ的最大值为(　　)

图4

A．30° B．45° C．60° D．90°

答案　A

解析　θ取0°时，下面两圆柱之间将会分开，无法稳定，应适当增大θ以保持系统稳定，此时下面两圆柱之间有弹力；当下面两圆柱之间的弹力恰好为0时，对应的θ为最小值；继续增大θ，右圆柱和上圆柱之间弹力减小，若θ太大，此两圆柱将分开，当上圆柱和右圆柱之间的弹力恰好为0，对应的θ为最大值．临界情况为θmax时，左边两圆柱的圆心连线在竖直方向上，保证上圆柱只受到两个力的作用恰好处于平衡状态，此时上圆柱与右圆柱间相互接触且无弹力，可得θ＝30°.故A正确，B、C、D项错误．

5．(2019·湖南娄底市下学期质量检测)如图5所示，竖直面光滑的墙角有一个质量为m、半径为r的均匀半球体物块A，现在A上放一密度和半径与A相同的球体B，调整A的位置使得A、B保持静止状态，已知A与地面间的动摩擦因数为0.5，则A球球心距墙角的最远距离是(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)

图5

A. B．2r C. D.

答案　C

解析　由题意知，B的质量为2m，对A、B整体，地面对A的支持力为：FN＝3mg，当地面对A的摩擦力达到最大静摩擦力时，A球球心距墙角的距离最远，分别对A、B受力分析，如图所示；

根据平衡条件得：FNAB＝，FNBAcos θ＝μFN，

又FNAB＝FNBA，

解得：tan θ＝，则A球球心距墙角的最远距离为：x＝2rcos θ＋r＝r，故C正确，A、B、D错误．

6.(2019·陕西西安市高三一模)质量为m＝10 kg的木箱置于水平地面上，它与地面间的动摩擦因数μ＝，g取10 m/s2，受到一个与水平方向成θ角斜向上的拉力F，如图6所示．为使木箱做匀速直线运动，拉力F的最小值以及此时θ分别是(　　)

图6

A．50 N　30° B．50 N　60°

C. N　30° D. N　60°

答案　A

解析　木箱受重力mg、支持力FN、摩擦力Ff、拉力F四个力作用，设FN与Ff的合力F′与竖直方向夹角为α，tan α＝＝μ＝，则α＝30°，如图所示．则当拉力F与F′垂直时，拉力最小，此时θ＝30°，Fmin＝mgsin α＝mgsin 30°＝50 N，故选A.

7.如图7所示，在两个人一推一拉作用下物体匀速上滑，设两人用力大小相同，均为F.已知物体与斜坡间的动摩擦因数为μ＝，推力F与斜坡平行，拉力F与斜坡成α角，斜坡与水平面的夹角为β，下列说法正确的是(　　)

图7

A．当α＝30°，F有最大值

B．当α＝45°，F有最小值

C．当α＝30°，F有最小值

D．当α＝45°，F有最大值

答案　C

解析　对物体受力分析，在垂直于斜面方向上，由平衡条件得：FN＋Fsin α＝mgcos β，在平行于斜面方向上：Fcos α＋F－mgsin β－μFN＝0，解得：F＝，cos α＋μsin α＝cos α＋sin α＝sin (60°＋α)，则当α＝30°时，cos α＋μsin α最大，F最小，故选C.