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2021-2022学年广东省茂名市五校联盟高二（创新班）上学期期末联考数学试题含解析
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这是一份2021-2022学年广东省茂名市五校联盟高二（创新班）上学期期末联考数学试题含解析，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省茂名市五校联盟高二（创新班）上学期期末联考
数学试题
一、单选题
1．设集合，，则=（ ）
A．{x|2
【分析】解不等式得到，进而求出，，进而求出.
【详解】由对数函数定义域得：，解得：或，所以，由，解得：或，则，从而，，从而
故选：B
2．设，则z的虚部为（ ）
A．1 B．i C．－1 D．－i
【答案】A
【分析】设复数,通过复数相等即可得到答案.
【详解】法一：设复数，化简得，
，所以，所以；
法二：设复数，，所以.
故选：A.
3．某工厂12名工人某天生产同-类型零件，生产的件数分别是10，15，12，16，17，12，15，13，11，14，16，17，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A．11 B．12 C．15.5 D．16
【答案】D
【分析】先个数据按从小到大的顺序排列，再由百分位数的定义可得找出第个数即可求解.
【详解】这组数据按从小到大的顺序排列为10，11，12，12，13，14，15，15，16，16，17，17.
因为，所以这组数据的第70百分位数是第个数为16，
故选：D.
4．已知曲线C：y=cos2x，曲线E：，则下面结论正确的是（ ）
A．把C上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，再向左平移个单位长度得到曲线E
B．把C.上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，再向右平移个单位长度得到曲线E
C．把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后，再向右平移个单位长度得到曲线E
D．把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后，再向左平移个单位长度得到曲线E
【答案】B
【分析】利用三角函数图象的伸缩变换和平移变换，结合诱导公式分析每一个选项即得解.
【详解】A. 把C上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后得到，再向左平移个单位长度得到曲线，故该选项错误；
B. 把C上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后得到，再向右平移个单位长度得到曲线，故该选项正确；
C. 把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后得到，再向右平移个单位长度得到曲线，故该选项错误；
D. 把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后得到，，再向左平移个单位长度得到曲线，故该选项错误.
故选：B
5．已知数列的前n项和为，满足(n∈N).记为数列在区间(m∈N)内的项的个数，则数列的前100项的和为（ ）
A．315 B．319 C．314 D．316
【答案】B
【分析】由数列递推公式求出数列的通项，再根据给定条件求出的各个值，然后求和作答.
【详解】，，则当时，，于是得，即，
而，即，因此，数列是首项为1，公比为4的等比数列，，
因为数列在区间(m∈N)内的项的个数，则有，，
，，
所以数列的前100项的和为.
故选：B
6．在三角形ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，已知，且a，b，c是公差为－2的等差数列，则三角形ABC的最小角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合正弦定理、余弦定理、等差数列的性质等知识求得正确答案.
【详解】依题意，
由正弦定理得，
，，
，，
所以，所以或，
即或（舍去）.
由于是公差为的等差数列，所以，
所以是最小的边，是最小的角.
.
由正弦定理得，
，
由余弦定理得，
，解得，
所以.
故选：D
7．已知椭圆与双曲线具有相同焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，设，利用椭圆、双曲线的定义以及余弦定理可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】设点为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，设，
由椭圆和双曲线的定义可得，解得，，
由余弦定理可得
，
所以，，即，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值是.
故选：B.
8．已知定义在R上的函数，其导函数为，若，且当x≥0时，，则不等式的解集为（ ）
A．(－∞，) B．(，+∞) C．(－∞，) D．(，+∞)
【答案】D
【分析】构造函数，研究构造函数的性质，利用诱导公式转化函数，利用构造函数单调性解不等式即可.
【详解】令，则，又，∴，故.∴为定义在R上的偶函数；当x≥0时，，∴在[0，+∞)上单调递增，又∵为偶函数，故在(－∞，0]上单调递减，由，∴得，解得，∴不等式的解集为(，+∞).故选:D.
二、多选题
9．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．的单调递增区间为(－∞，1)
B．在处的切线方程为y=1
C．若方程有两个不相等的实数根，则
D．的极大值点为(1，1)
【答案】BC
【分析】由函数的定义域，可判定A不正确；根据导数的几何意义求得切线方程，可判定B正确；利用导数求得函数的单调性与极值，结合图象可判定C正确；根据极值点的定义，可判定D不正确.
【详解】由题意，函数的定义域为，所以A不正确；
又由，所以，，
所以在的切线方程为，即，所以B正确；
令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
又由当时，；当时，，
要使得方程有两个不相等的实数根，如图所示，则，所以C正确；
其中是函数的极大值点，所以D不正确.
故选：BC.
10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题(如7被3除余1，1被2除余1).现有这样一个整除问题：将1到500这500个正整数中能被4除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，余下的数按从小到大的顺序排成一列构成数列，记数列的前n项和为An，数列的前项和为Bm，则下列说法正确的有（ ）
A．(n≤25，n∈N) B．(n≤25，n∈N)
C．数列共有476项 D．B200=21255
【答案】ABD
【分析】由能被4除余1且被5除余1的数即为能被4和5的最小公倍数除余1的数，可判断AB选项，注意到与的项数之和为500，B200等于数列的前211项和减A11，然后可解.
【详解】由题知，数列是以1为首项，20为公差的等差数列，故(n≤25，n∈N)，(n≤25，n∈N)，AB正确；
已知数列共有25项，所以数列共有475项，故C不正确；
数列的前211项和为，在将1到211的所有整数中，能被20除余1的数共11个，其余的数有200个.所以，，故D正确.
故选：ABD
11．抛物线C：的焦点为F，直线l过点F，斜率为k，k>0，且交抛物线C于A、B两点(点A在x轴的下方)，抛物线的准线为m，AA1⊥m交m于A1，BB1⊥m交m于B1，点E(1，3)，P为抛物线C上任一点，下列结论正确的有（ ）
A．若，则 B．的最小值为－2
C．若k=1，则|AB|=12 D．∠A1FB1=90°
【答案】ABD
【分析】作出图形，进而结合抛物线的定义和三角形相似判断A,B,D，再由焦点弦公式判断C，最后得到答案.
【详解】如图所示，易知：.
对A，延长BA交准线于Q，由并结合抛物线的定义可以设，由与相似可知，，设直线倾斜角为，则，则.A正确；
对B，容易判断点E在抛物线外，设点P在准线上的投影为点，由抛物线的定义可知，，则当三点共线时，其最小值为.B正确；
对C，设，易知直线l的斜率为1，将代入抛物线方程化简得：，则，由抛物线焦点弦公式可得：.C错误；
对D，由可知，，所以.D正确.
故选：ABD.
12．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BC，CD，CC1的中点，P是线段A1C1上的动点(含端点)，则下列说法正确的有（ ）
A．PM⊥BD
B．异面直线BP与AC所成角的取值范围是
C．PE与平面ABCD所成角正切值的最大值为
D．过EF作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】结合线线垂直、线线角、线面角、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】对于A，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，又BD平面ABCD，
所以AA1⊥BD，又AC⊥BD，且AC∩AA1=A，AC，AA1平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1，又PM平面ACC1A1，则PM⊥BD，故选项A正确；
在B中，当点P与线段A1C1的端点重合时，异面直线BP与AC所成角取得最小值为，
故异面直线BP与AC所成角的取值范围是，故B错误；
对于选项C，点P在平面ABCD上的射影N在AC上，连接NE，
故∠PEN即为PE与平面ABCD所成的角，由正方体的棱长为1，则PN=1，tan∠PEN=，
故EN的最小值即为E到直线AC的距离为，所以tan∠PEN的最大值为，故选项C正确；
对于选项D，设EF∩AC=H，因为正方体外接球的球心为正方体中心O，半径为R=，
过EF作该正方体外接球的截面，截面的面积最小者是直径过EF的圆面，
OH垂直于此圆面，设其半径为r，AC∩BD=Q，
因为OH2=OQ2+HQ2，所以r=R2－OH2=R2－OQ2－HQ2=，
截面面积为，所以D对.
故选：ACD
三、填空题
13．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点.当静止的小球从点A开始出发，沿60°角方向作直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为___________.
【答案】8
【分析】根据椭圆的光学性质和椭圆的定义即可求得答案.
【详解】如图，
根据题意，小球从点A出发，经椭圆反射经过点B继续前行，碰到点Q后回到点A，根据椭圆的定义，小球所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，因为，所以小球经过的路程为.
故答案为：8.
14．在平行四边形ABCD中，∠ADC=，CD=2，AD=4，E是CD中点，则___________.
【答案】-16
【分析】问题转化为，进而通过平面向量数量积的运算律和定义求得答案.
【详解】如图，
由题意，
.
故答案为：-16.
15．已知函数，函数(a∈R)有两个不等实根，则a的取值范围是____________.
【答案】或
【分析】将方程等价转化为和两个方程，通过数形结合思想即可得结果.
【详解】由可得或，
当时，，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
且，，，且，
作出函数的图象，易知有一个根，
故只需有一个根即可，由图可得或，
解得或，
即的取值范围是或，
故答案为：或.
四、双空题
16．如图1，在一个正方形S1S2S3S4内，有一个小正方形和四个全等的等边三角形.将四个等边三角形折起来，使S1、S2、S3、S4重合于点S，且折叠后的四棱锥S－ABCD的外接球的表面积是16π(如图2)，则四棱锥S－ABCD的体积是___________；若在四棱锥S－ABCD内放一个正方体，使正方体可以在四棱锥S－ABCD内任意转动，则正方体棱长的最大值为___________.
【答案】
【分析】（1）确定四棱锥S－ABCD的外接球球心的位置，进而根据外接球表面积求得正四棱锥棱长，由此可求其体积；
（2）先求得四棱锥S－ABCD的内切球的半径，那么在四棱锥S－ABCD内放一个正方体的体对角线不超过内切球直径时，便可以在四棱锥内部任意转动，由此可求得答案.
【详解】在图2中，连接AC，BD交于点O，
则是等腰直角三角形，
则O是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其为x，
则外接球的半径是OA=，
所以，，
因此SO=OA=,
故四棱锥S－ABCD的体积.
设四棱锥S－ABCD的内切球球心为Q，其半径为R，连接QD、QA、QB、QC、QS，
则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R，
求出四棱锥的表面积：，四棱锥的体积，
则 ，
设放入四棱锥S－ABCD内部的小正方体棱长为a，
则，故，
故a最大为，
故答案为：，.
五、解答题
17．从①cos2A+cosA=0；②sin2B－sin2A+sin2C一sinBsinC=0，③bsinA+cosB=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注：若选择多个条件，按第一个解答计分).在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若_______________.
(1)求角A的大小；
(2)若D是BC的中点，AD=1，求△ABC面积的最大值.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选条件①时，利用余弦的二倍角公式转化原式为2cos2A+cosA－1=0，求解即可
选条件②时，利用正弦定理转化原式为，结合余弦定理即得解；
选条件③时，利用正弦定理转化原式为sinBsinA+sinAcosB=sinC，再利用sinC=sin(A+B)，求解即可
（2）在△ACD和△BCD中分别使用余弦定理可得，，再结合cos∠ADC=－cos∠BDC，，利用均值不等式即得解
【详解】(1)选条件①时，cos2A+cosA=0；
得2cos2A+cosA－1=0，
解得cosA=或cosA=－1.
∵0
∴A=
选条件②时，sin2B－sin2A+sin2C一sinBsinC=0，
根据正弦定理：
得，
由余弦定理得：
∵0
利用正弦定理
得sinBsinA+sinAcosB=sinC=sin(A+B)，
化简得sinBsinA=cosAsinB.
∵0
∵0
在△ACD中，由余弦定理知，
，
在△BCD中，由余弦定理知，
∵∠ADC+∠BDC=
∴cos∠ADC=－cos∠BDC
即
化简得，，②
由①②，得，
∴，当且仅当b=c时，等号成立，
∴△ABC面积
∴△ABC面积的最大值为.
18．某蔬菜批发商经销某种新鲜蔬菜（以下简称蔬菜），购入价为200元/袋，并以300元/袋的价格售出，若前8小时内所购进的蔬菜没有售完，则批发商将没售完的蔬菜以150元/袋的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把蔬菜低价处理完，且当天不再购进）.该蔬菜批发商根据往年的销量，统计了100天蔬菜在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图.
（1）若某天该蔬菜批发商共购入6袋蔬菜，有4袋蔬菜在前8小时内分别被4名顾客购买，剩下2袋在8小时后被另2名顾客购买.现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则至少选中1人是以150元/袋的价格购买的概率是多少？
（2）以上述样本数据作为决策的依据.
（i）若今年蔬菜上市的100天内，该蔬菜批发商坚持每天购进6袋蔬菜，试估计该蔬菜批发商经销蔬菜的总盈利值；
（ii）若明年该蔬菜批发商每天购进蔬菜的袋数相同，试帮其设计明年的蔬菜的进货方案，使其所获取的平均利润最大.
【答案】（1）；（2）（i）元；（ii）该批发商明年每天购进蔬菜5袋，所获平均利润最大.
【解析】（1）通过列举分别求出“从6人中任选2人”和“至少选中1人是以150元/袋的价格购买”的基本事件个数，通过古典概型公式计算即可；
（2）（i）通过频数分布条形图进行估算即可；（ii）分别计算购进蔬菜4袋、5袋、6袋时的每天所获平均利润，比较大小即可.
【详解】（1）设这6人中花150元/袋的价格购买蔬菜的顾客为，
其余4人为，，，.
则从6人中任选2人的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共15个.
其中至少选中1人是以150元/袋的价格购买的基本事件有：，，，，，，，，，共9个.
至少选中1人是以150元/袋的价格购买的概率为.
（2）（i）该蔬菜批发商经销蔬菜的总盈利值为：（元）.
（ii）当购进蔬菜4袋时，每天所获平均利润为（元），
当购进蔬菜5袋时，每天所获平均利润为（元）
当购进蔬菜6袋时，每天所获平均利润为（元）
综上，该批发商明年每天购进蔬菜5袋，所获平均利润最大.
【点睛】本题考查了频数分布直方图、古典概型的计算公式以及期望的计算，属于基础题.
19．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，是以PA为斜边的等腰直角三角形，PA=，E，F分别是棱PA，PC的中点，M是棱BC上一点.
(1)求证：平面DEM⊥平面PAB；
(2)若直线MF与平面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角E－DM－F的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由平面PAD⊥平面ABCD，证得AB⊥平面PAD，得到AB⊥DE，再由PA⊥DE，证得DE⊥平面PAB ，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面DEM⊥平面PAB .
（2）取CD的中点N，连接MN，NF，由（1）证得NF⊥平面ABCD，得到∠FMN是直线MF与平面ABCD所成角，进而得到M是棱BC的中点，以D为坐标原点， DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求得平面EDM和平面DMF的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】(1)由是以PA为斜边的等腰直角三角形，，可得,
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=DA，AB⊥DA，
且AB平面ABCD，PD平面PDA，所以AB⊥平面PAD，PD⊥平面ABCD ，
又因为DE平面PAD，所以AB⊥DE，
在Rt中，DP=DA，E是棱PA的中点，可得PA⊥DE，
又由PA∩AB=A，PA，ABC平面PAB，所以DE⊥平面PAB ，
又因为DE平面DEM，所以平面DEM⊥平面PAB .
(2)解：取CD的中点N，连接MN，NF，则NF∥PD，NF=PD=2，
由（1）知PD⊥平面ABCD，所以NF⊥平面ABCD，
所以MF在平面ABCD的射影是MN，所以∠FMN是直线MF与平面ABCD所成角，
可得，解得，
所以，所以M是棱BC的中点，
以D为坐标原点， DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
可得，
设平面EDM的法向量为，
则，令，则，
设平面DMF的法向量为，
则，令，则，
所以，所以锐二面角E－DM－F的余弦值为.
20．设数列的前n项和为，且满足(n∈N).
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前2n项和为，若不等式对一切n∈N恒成立，求λ的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据及等比数列的定义即可求得答案；
（2）结合（1）求出，当n为奇数时用裂项法求出奇数项和，当n为偶数时用错位相减法求出偶数项和，最后结合数列的单调性求出答案.
【详解】(1)由题意， n=1时，，
n≥2时，， 所以，即，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，∴ .
(2)由（1）,,
当n为奇数时，,设数列的前2n项中奇数项的和为，
所以,
设数列的前2n项中偶数项的和为，
所以 , ,两式相减得：，整理得：，故，∴ ，
∴不等式对一切n∈N恒成立，即不等式对一切n∈N恒成立，易知为递增数列，
∴当n为偶数时，，当n为奇数时，，故，
所以λ的取值范围为.
21．动点P在圆E：上运动，定点F(1，0)，线段PF的垂直平分线与直线PE的交点为Q.
(1)求Q的轨迹C的方程；
(2)若M，N是轨迹C上异于H(1，)的两点，直线HM，HN的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=－1，HD⊥MN，D为垂足.是否存在定点S，使得|DS|为定值?若存在，请求出S点坐标及|DS|的值.若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，S(，)，
【分析】（1）连接QF，由椭圆的定义可得点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，进而可得结果；
（2）设出直线MN的方程并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出的表达式，并令其等于，可得一个方程，然后因式分解讨论因式为0的情况，并求出对应的定点，即可求解.
【详解】(1)连接QF，
根据题意，|QP|=|QF|，
则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|=2，
故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，
设其方程为
可知a=2，c=1，
∴，
所以点Q的轨迹C的方程为
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由题意可得直线MN的斜率存在，则可设直线MN的方程为，
代入椭圆方程可得：，
则，得，
且，
所以
由k1+k2=－1得：，
即，
当，直线
令x=1，则y=，显然过定点(1，)，舍去
当4k+m=0，直线y=kx一4k=k(x－4)，令x=4，
则y=0，直线过定点T(4，0)，
此时，，解得，存在直线过定点T(4，0).
当S为H，T的中点时，则S(，)，
此时
∴存在定点S(，)，使得为定值.
22．已知.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若对任意，≥0恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增；
(2).
【分析】(1)把代入，求出函数的定义域，再对求导，探讨导数值正负即可求解作答.
(2)求出的导函数，构造函数，利用导数讨论与时的值即可推理作答.
【详解】(1)当时，，的定义域为，求导得：，
令，x∈，则，即m(x)在上递增，而m(e)=0，
则当1e时，m(x)>0，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
(2)依题意，，
，，
令，，则，
则为上的增函数，，
当对，恒成立，即恒成立，
从而得在上单调递增，因对是递增的，则当时，，
所以当时，对任意，≥0恒成立，
当时，，，由零点存在性定理得，，使得，
而为上的增函数，则当x∈时，<0，即，在上单调递减，
从而当，，与对任意，≥0恒成立矛盾，即不合题意，
所以对任意，≥0恒成立，a的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨导函数值正负，以确定函数单调性、最值推理作答.
2021-2022学年广东省茂名市五校联盟高二（创新班）上学期期末联考
数学试题
一、单选题
1．设集合，，则=（ ）
A．{x|2
【分析】解不等式得到，进而求出，，进而求出.
【详解】由对数函数定义域得：，解得：或，所以，由，解得：或，则，从而，，从而
故选：B
2．设，则z的虚部为（ ）
A．1 B．i C．－1 D．－i
【答案】A
【分析】设复数,通过复数相等即可得到答案.
【详解】法一：设复数，化简得，
，所以，所以；
法二：设复数，，所以.
故选：A.
3．某工厂12名工人某天生产同-类型零件，生产的件数分别是10，15，12，16，17，12，15，13，11，14，16，17，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A．11 B．12 C．15.5 D．16
【答案】D
【分析】先个数据按从小到大的顺序排列，再由百分位数的定义可得找出第个数即可求解.
【详解】这组数据按从小到大的顺序排列为10，11，12，12，13，14，15，15，16，16，17，17.
因为，所以这组数据的第70百分位数是第个数为16，
故选：D.
4．已知曲线C：y=cos2x，曲线E：，则下面结论正确的是（ ）
A．把C上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，再向左平移个单位长度得到曲线E
B．把C.上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，再向右平移个单位长度得到曲线E
C．把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后，再向右平移个单位长度得到曲线E
D．把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后，再向左平移个单位长度得到曲线E
【答案】B
【分析】利用三角函数图象的伸缩变换和平移变换，结合诱导公式分析每一个选项即得解.
【详解】A. 把C上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后得到，再向左平移个单位长度得到曲线，故该选项错误；
B. 把C上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后得到，再向右平移个单位长度得到曲线，故该选项正确；
C. 把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后得到，再向右平移个单位长度得到曲线，故该选项错误；
D. 把C上各点横坐标缩短到原来倍(纵坐标不变)后得到，，再向左平移个单位长度得到曲线，故该选项错误.
故选：B
5．已知数列的前n项和为，满足(n∈N).记为数列在区间(m∈N)内的项的个数，则数列的前100项的和为（ ）
A．315 B．319 C．314 D．316
【答案】B
【分析】由数列递推公式求出数列的通项，再根据给定条件求出的各个值，然后求和作答.
【详解】，，则当时，，于是得，即，
而，即，因此，数列是首项为1，公比为4的等比数列，，
因为数列在区间(m∈N)内的项的个数，则有，，
，，
所以数列的前100项的和为.
故选：B
6．在三角形ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，已知，且a，b，c是公差为－2的等差数列，则三角形ABC的最小角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合正弦定理、余弦定理、等差数列的性质等知识求得正确答案.
【详解】依题意，
由正弦定理得，
，，
，，
所以，所以或，
即或（舍去）.
由于是公差为的等差数列，所以，
所以是最小的边，是最小的角.
.
由正弦定理得，
，
由余弦定理得，
，解得，
所以.
故选：D
7．已知椭圆与双曲线具有相同焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，设，利用椭圆、双曲线的定义以及余弦定理可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】设点为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，设，
由椭圆和双曲线的定义可得，解得，，
由余弦定理可得
，
所以，，即，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值是.
故选：B.
8．已知定义在R上的函数，其导函数为，若，且当x≥0时，，则不等式的解集为（ ）
A．(－∞，) B．(，+∞) C．(－∞，) D．(，+∞)
【答案】D
【分析】构造函数，研究构造函数的性质，利用诱导公式转化函数，利用构造函数单调性解不等式即可.
【详解】令，则，又，∴，故.∴为定义在R上的偶函数；当x≥0时，，∴在[0，+∞)上单调递增，又∵为偶函数，故在(－∞，0]上单调递减，由，∴得，解得，∴不等式的解集为(，+∞).故选:D.
二、多选题
9．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．的单调递增区间为(－∞，1)
B．在处的切线方程为y=1
C．若方程有两个不相等的实数根，则
D．的极大值点为(1，1)
【答案】BC
【分析】由函数的定义域，可判定A不正确；根据导数的几何意义求得切线方程，可判定B正确；利用导数求得函数的单调性与极值，结合图象可判定C正确；根据极值点的定义，可判定D不正确.
【详解】由题意，函数的定义域为，所以A不正确；
又由，所以，，
所以在的切线方程为，即，所以B正确；
令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
又由当时，；当时，，
要使得方程有两个不相等的实数根，如图所示，则，所以C正确；
其中是函数的极大值点，所以D不正确.
故选：BC.
10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题(如7被3除余1，1被2除余1).现有这样一个整除问题：将1到500这500个正整数中能被4除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，余下的数按从小到大的顺序排成一列构成数列，记数列的前n项和为An，数列的前项和为Bm，则下列说法正确的有（ ）
A．(n≤25，n∈N) B．(n≤25，n∈N)
C．数列共有476项 D．B200=21255
【答案】ABD
【分析】由能被4除余1且被5除余1的数即为能被4和5的最小公倍数除余1的数，可判断AB选项，注意到与的项数之和为500，B200等于数列的前211项和减A11，然后可解.
【详解】由题知，数列是以1为首项，20为公差的等差数列，故(n≤25，n∈N)，(n≤25，n∈N)，AB正确；
已知数列共有25项，所以数列共有475项，故C不正确；
数列的前211项和为，在将1到211的所有整数中，能被20除余1的数共11个，其余的数有200个.所以，，故D正确.
故选：ABD
11．抛物线C：的焦点为F，直线l过点F，斜率为k，k>0，且交抛物线C于A、B两点(点A在x轴的下方)，抛物线的准线为m，AA1⊥m交m于A1，BB1⊥m交m于B1，点E(1，3)，P为抛物线C上任一点，下列结论正确的有（ ）
A．若，则 B．的最小值为－2
C．若k=1，则|AB|=12 D．∠A1FB1=90°
【答案】ABD
【分析】作出图形，进而结合抛物线的定义和三角形相似判断A,B,D，再由焦点弦公式判断C，最后得到答案.
【详解】如图所示，易知：.
对A，延长BA交准线于Q，由并结合抛物线的定义可以设，由与相似可知，，设直线倾斜角为，则，则.A正确；
对B，容易判断点E在抛物线外，设点P在准线上的投影为点，由抛物线的定义可知，，则当三点共线时，其最小值为.B正确；
对C，设，易知直线l的斜率为1，将代入抛物线方程化简得：，则，由抛物线焦点弦公式可得：.C错误；
对D，由可知，，所以.D正确.
故选：ABD.
12．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BC，CD，CC1的中点，P是线段A1C1上的动点(含端点)，则下列说法正确的有（ ）
A．PM⊥BD
B．异面直线BP与AC所成角的取值范围是
C．PE与平面ABCD所成角正切值的最大值为
D．过EF作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】结合线线垂直、线线角、线面角、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】对于A，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，又BD平面ABCD，
所以AA1⊥BD，又AC⊥BD，且AC∩AA1=A，AC，AA1平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1，又PM平面ACC1A1，则PM⊥BD，故选项A正确；
在B中，当点P与线段A1C1的端点重合时，异面直线BP与AC所成角取得最小值为，
故异面直线BP与AC所成角的取值范围是，故B错误；
对于选项C，点P在平面ABCD上的射影N在AC上，连接NE，
故∠PEN即为PE与平面ABCD所成的角，由正方体的棱长为1，则PN=1，tan∠PEN=，
故EN的最小值即为E到直线AC的距离为，所以tan∠PEN的最大值为，故选项C正确；
对于选项D，设EF∩AC=H，因为正方体外接球的球心为正方体中心O，半径为R=，
过EF作该正方体外接球的截面，截面的面积最小者是直径过EF的圆面，
OH垂直于此圆面，设其半径为r，AC∩BD=Q，
因为OH2=OQ2+HQ2，所以r=R2－OH2=R2－OQ2－HQ2=，
截面面积为，所以D对.
故选：ACD
三、填空题
13．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点.当静止的小球从点A开始出发，沿60°角方向作直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为___________.
【答案】8
【分析】根据椭圆的光学性质和椭圆的定义即可求得答案.
【详解】如图，
根据题意，小球从点A出发，经椭圆反射经过点B继续前行，碰到点Q后回到点A，根据椭圆的定义，小球所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，因为，所以小球经过的路程为.
故答案为：8.
14．在平行四边形ABCD中，∠ADC=，CD=2，AD=4，E是CD中点，则___________.
【答案】-16
【分析】问题转化为，进而通过平面向量数量积的运算律和定义求得答案.
【详解】如图，
由题意，
.
故答案为：-16.
15．已知函数，函数(a∈R)有两个不等实根，则a的取值范围是____________.
【答案】或
【分析】将方程等价转化为和两个方程，通过数形结合思想即可得结果.
【详解】由可得或，
当时，，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
且，，，且，
作出函数的图象，易知有一个根，
故只需有一个根即可，由图可得或，
解得或，
即的取值范围是或，
故答案为：或.
四、双空题
16．如图1，在一个正方形S1S2S3S4内，有一个小正方形和四个全等的等边三角形.将四个等边三角形折起来，使S1、S2、S3、S4重合于点S，且折叠后的四棱锥S－ABCD的外接球的表面积是16π(如图2)，则四棱锥S－ABCD的体积是___________；若在四棱锥S－ABCD内放一个正方体，使正方体可以在四棱锥S－ABCD内任意转动，则正方体棱长的最大值为___________.
【答案】
【分析】（1）确定四棱锥S－ABCD的外接球球心的位置，进而根据外接球表面积求得正四棱锥棱长，由此可求其体积；
（2）先求得四棱锥S－ABCD的内切球的半径，那么在四棱锥S－ABCD内放一个正方体的体对角线不超过内切球直径时，便可以在四棱锥内部任意转动，由此可求得答案.
【详解】在图2中，连接AC，BD交于点O，
则是等腰直角三角形，
则O是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其为x，
则外接球的半径是OA=，
所以，，
因此SO=OA=,
故四棱锥S－ABCD的体积.
设四棱锥S－ABCD的内切球球心为Q，其半径为R，连接QD、QA、QB、QC、QS，
则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R，
求出四棱锥的表面积：，四棱锥的体积，
则 ，
设放入四棱锥S－ABCD内部的小正方体棱长为a，
则，故，
故a最大为，
故答案为：，.
五、解答题
17．从①cos2A+cosA=0；②sin2B－sin2A+sin2C一sinBsinC=0，③bsinA+cosB=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注：若选择多个条件，按第一个解答计分).在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若_______________.
(1)求角A的大小；
(2)若D是BC的中点，AD=1，求△ABC面积的最大值.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选条件①时，利用余弦的二倍角公式转化原式为2cos2A+cosA－1=0，求解即可
选条件②时，利用正弦定理转化原式为，结合余弦定理即得解；
选条件③时，利用正弦定理转化原式为sinBsinA+sinAcosB=sinC，再利用sinC=sin(A+B)，求解即可
（2）在△ACD和△BCD中分别使用余弦定理可得，，再结合cos∠ADC=－cos∠BDC，，利用均值不等式即得解
【详解】(1)选条件①时，cos2A+cosA=0；
得2cos2A+cosA－1=0，
解得cosA=或cosA=－1.
∵0
∴A=
选条件②时，sin2B－sin2A+sin2C一sinBsinC=0，
根据正弦定理：
得，
由余弦定理得：
∵0
利用正弦定理
得sinBsinA+sinAcosB=sinC=sin(A+B)，
化简得sinBsinA=cosAsinB.
∵0
∵0
在△ACD中，由余弦定理知，
，
在△BCD中，由余弦定理知，
∵∠ADC+∠BDC=
∴cos∠ADC=－cos∠BDC
即
化简得，，②
由①②，得，
∴，当且仅当b=c时，等号成立，
∴△ABC面积
∴△ABC面积的最大值为.
18．某蔬菜批发商经销某种新鲜蔬菜（以下简称蔬菜），购入价为200元/袋，并以300元/袋的价格售出，若前8小时内所购进的蔬菜没有售完，则批发商将没售完的蔬菜以150元/袋的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把蔬菜低价处理完，且当天不再购进）.该蔬菜批发商根据往年的销量，统计了100天蔬菜在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图.
（1）若某天该蔬菜批发商共购入6袋蔬菜，有4袋蔬菜在前8小时内分别被4名顾客购买，剩下2袋在8小时后被另2名顾客购买.现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则至少选中1人是以150元/袋的价格购买的概率是多少？
（2）以上述样本数据作为决策的依据.
（i）若今年蔬菜上市的100天内，该蔬菜批发商坚持每天购进6袋蔬菜，试估计该蔬菜批发商经销蔬菜的总盈利值；
（ii）若明年该蔬菜批发商每天购进蔬菜的袋数相同，试帮其设计明年的蔬菜的进货方案，使其所获取的平均利润最大.
【答案】（1）；（2）（i）元；（ii）该批发商明年每天购进蔬菜5袋，所获平均利润最大.
【解析】（1）通过列举分别求出“从6人中任选2人”和“至少选中1人是以150元/袋的价格购买”的基本事件个数，通过古典概型公式计算即可；
（2）（i）通过频数分布条形图进行估算即可；（ii）分别计算购进蔬菜4袋、5袋、6袋时的每天所获平均利润，比较大小即可.
【详解】（1）设这6人中花150元/袋的价格购买蔬菜的顾客为，
其余4人为，，，.
则从6人中任选2人的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共15个.
其中至少选中1人是以150元/袋的价格购买的基本事件有：，，，，，，，，，共9个.
至少选中1人是以150元/袋的价格购买的概率为.
（2）（i）该蔬菜批发商经销蔬菜的总盈利值为：（元）.
（ii）当购进蔬菜4袋时，每天所获平均利润为（元），
当购进蔬菜5袋时，每天所获平均利润为（元）
当购进蔬菜6袋时，每天所获平均利润为（元）
综上，该批发商明年每天购进蔬菜5袋，所获平均利润最大.
【点睛】本题考查了频数分布直方图、古典概型的计算公式以及期望的计算，属于基础题.
19．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，是以PA为斜边的等腰直角三角形，PA=，E，F分别是棱PA，PC的中点，M是棱BC上一点.
(1)求证：平面DEM⊥平面PAB；
(2)若直线MF与平面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角E－DM－F的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由平面PAD⊥平面ABCD，证得AB⊥平面PAD，得到AB⊥DE，再由PA⊥DE，证得DE⊥平面PAB ，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面DEM⊥平面PAB .
（2）取CD的中点N，连接MN，NF，由（1）证得NF⊥平面ABCD，得到∠FMN是直线MF与平面ABCD所成角，进而得到M是棱BC的中点，以D为坐标原点， DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求得平面EDM和平面DMF的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】(1)由是以PA为斜边的等腰直角三角形，，可得,
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=DA，AB⊥DA，
且AB平面ABCD，PD平面PDA，所以AB⊥平面PAD，PD⊥平面ABCD ，
又因为DE平面PAD，所以AB⊥DE，
在Rt中，DP=DA，E是棱PA的中点，可得PA⊥DE，
又由PA∩AB=A，PA，ABC平面PAB，所以DE⊥平面PAB ，
又因为DE平面DEM，所以平面DEM⊥平面PAB .
(2)解：取CD的中点N，连接MN，NF，则NF∥PD，NF=PD=2，
由（1）知PD⊥平面ABCD，所以NF⊥平面ABCD，
所以MF在平面ABCD的射影是MN，所以∠FMN是直线MF与平面ABCD所成角，
可得，解得，
所以，所以M是棱BC的中点，
以D为坐标原点， DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
可得，
设平面EDM的法向量为，
则，令，则，
设平面DMF的法向量为，
则，令，则，
所以，所以锐二面角E－DM－F的余弦值为.
20．设数列的前n项和为，且满足(n∈N).
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前2n项和为，若不等式对一切n∈N恒成立，求λ的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据及等比数列的定义即可求得答案；
（2）结合（1）求出，当n为奇数时用裂项法求出奇数项和，当n为偶数时用错位相减法求出偶数项和，最后结合数列的单调性求出答案.
【详解】(1)由题意， n=1时，，
n≥2时，， 所以，即，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，∴ .
(2)由（1）,,
当n为奇数时，,设数列的前2n项中奇数项的和为，
所以,
设数列的前2n项中偶数项的和为，
所以 , ,两式相减得：，整理得：，故，∴ ，
∴不等式对一切n∈N恒成立，即不等式对一切n∈N恒成立，易知为递增数列，
∴当n为偶数时，，当n为奇数时，，故，
所以λ的取值范围为.
21．动点P在圆E：上运动，定点F(1，0)，线段PF的垂直平分线与直线PE的交点为Q.
(1)求Q的轨迹C的方程；
(2)若M，N是轨迹C上异于H(1，)的两点，直线HM，HN的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=－1，HD⊥MN，D为垂足.是否存在定点S，使得|DS|为定值?若存在，请求出S点坐标及|DS|的值.若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，S(，)，
【分析】（1）连接QF，由椭圆的定义可得点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，进而可得结果；
（2）设出直线MN的方程并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出的表达式，并令其等于，可得一个方程，然后因式分解讨论因式为0的情况，并求出对应的定点，即可求解.
【详解】(1)连接QF，
根据题意，|QP|=|QF|，
则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|=2，
故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，
设其方程为
可知a=2，c=1，
∴，
所以点Q的轨迹C的方程为
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由题意可得直线MN的斜率存在，则可设直线MN的方程为，
代入椭圆方程可得：，
则，得，
且，
所以
由k1+k2=－1得：，
即，
当，直线
令x=1，则y=，显然过定点(1，)，舍去
当4k+m=0，直线y=kx一4k=k(x－4)，令x=4，
则y=0，直线过定点T(4，0)，
此时，，解得，存在直线过定点T(4，0).
当S为H，T的中点时，则S(，)，
此时
∴存在定点S(，)，使得为定值.
22．已知.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若对任意，≥0恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增；
(2).
【分析】(1)把代入，求出函数的定义域，再对求导，探讨导数值正负即可求解作答.
(2)求出的导函数，构造函数，利用导数讨论与时的值即可推理作答.
【详解】(1)当时，，的定义域为，求导得：，
令，x∈，则，即m(x)在上递增，而m(e)=0，
则当1
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
(2)依题意，，
，，
令，，则，
则为上的增函数，，
当对，恒成立，即恒成立，
从而得在上单调递增，因对是递增的，则当时，，
所以当时，对任意，≥0恒成立，
当时，，，由零点存在性定理得，，使得，
而为上的增函数，则当x∈时，<0，即，在上单调递减，
从而当，，与对任意，≥0恒成立矛盾，即不合题意，
所以对任意，≥0恒成立，a的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨导函数值正负，以确定函数单调性、最值推理作答.
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