北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质学案

2021春北师版九下数学2.2.4二次函数y=a(x-h)2+k图象与性质导学案

学习目标

1、经历探究二次函数y=a（x-h)2+k的图象和性质的过程，学会利用图象研究和理解二次函数y=a（x-h)2+k的性质。

2、能比较二次函数y=a（x-h)2+k与二次函数y=ax2的异同与联系，并能解决简单的问题。

学习策略

1、  结合所学的二次函数y=ax2的图像与性质，理解二次函数y=a（x-h)2+k的图象和性质；

2、  比较二次函数y=a（x-h)2+k与二次函数y=ax2的异同与联系.

学习过程 

一.复习回顾：

1、请说出二次函数y=a(x-h)2与y=ax²的关系。

2、填一填：

（1）已知二次函数y=8（x-2）2，当 x     时，y随x的增大而增大；当 x     时，y随x的增大而减小。

（2）抛物线y=3（x-8）2的最小值为        .

二.新课学习：

1.自学教材P38，回答以下问题

（1）二次函数y=ax2的图像通过         便可得到二次函数y=a（x-h)2+k的图像，它们都是一条         。

（2）二次函数y=a（x-h)2+k的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标与a、h、k的值有关，如下表：

2、自学课本P37-38思考下列问题：

（1）你能总结出二次函数y=a（x-h)2+k的性质吗？

（2）二次函数y=a（x-h)2+k是如何由二次函数y=ax2平移得到的？

三.尝试应用：

1、抛物线y=3（x-6）2+8最小值为（  ）

A、0          B、3        C、-6         D、8

2、若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是________

3、请说出将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到抛物线y=2x2的过程。

四.自主总结：

（1）二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像和性质：

a.抛物线y=a(x-h)2+k的顶点是           ,对称轴是平行于y轴的直线             .

b.当a>0时,抛物线y=a(x-h)2+k的开口             ,并且向上无限伸展;当a<0时,抛物线y=a(x-h)2+k的开口       ,并且向下无限伸展.

c.当a>0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的         而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而        ;当x=h时函数y的值最        

  (是        ).

当a<0时,在对称轴(x=h)的      ,y随着x的增大而增大;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而      ;当x=h时,函数y的值最     (是     ).

d. 抛物线y=a(x-h)2+k的位置由          的符号决定.

（2）二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax2的关系：y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体     平移|h|个单位(当h     时,向右平移;当h<0时,       平移),再沿对称轴整体      平移|k|个单位 (当k>0时      平移;当k       时,向下平移)得到的.

五.达标测试

一、选择题

1．已知抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（  ）.

A．（﹣2，1）       B．（2，1）      C．（2，﹣1）      D．（1，2）

2．将二次函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（  ）

A．y=（x﹣2）2+1      B．y=（x+2）2+1     

 C．y=（x﹣2）2﹣1       D．y=（x+2）2﹣1

3．在平面直角坐标系中，将抛物线y=﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（  ）.

A．y=（x+2）2+2         B．y=（x﹣2）2﹣2      

 C．y=（x﹣2）2+2        D．y=（x+2）2﹣2

二、填空题

4.某二次函数的图像的坐标（4，-1），且它的形状、开口方向与抛物线y=-x2相同，则这个二次函数的解析式为___     ___.

5．将抛物线y=2（x﹣1）2+1向上平移3个单位，那么平移后得到的抛物线的解析式是               ．

6．已知抛物线y=-2（x+1）2-3与直线y2=kx+m相交于A（-2，3）、B（3，-1）两点，则y1≥y2时x的取值范围是___________.

三、解答题

7． 将抛物线y=-2（x+1）2-3先向左平移2个单位，再向上平移5个单位后，求所得的新抛物线的解析式。

8．已知二次函数图象的顶点为（3，﹣1），与y轴交于点（0，﹣4）．

（1）求二次函数解析式；

（2）求函数值y＞﹣4时，自变量x的取值范围．

9．小明跳起投篮，球出手时离地面m，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离4m处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求此抛物线对应的函数关系式；

（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？

10. 已知二次函数的图象与y轴相交于点（0，3），并经过点（-2，5），它的对称轴是x=1，求这个函数的解析式，并写出这个函数图象的顶点坐标.

达标测试答案

一、选择题

1．【解析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．因为y=+1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1）．

故选：B．

点评：二次函数的性质．

2．【解析】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），

把点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点（2，1），

所以平移后的抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+1．

故选A．

点评：二次函数图象与几何变换．

3．【解析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．函数y=﹣4向右平移2个单位，得：y=﹣4；再向上平移2个单位，得：y=﹣2.

故选：B．

点评：二次函数图象与几何变换．

二、填空题

4．【解析】根据题意，可由二次函数的形状、开口方向与抛物线y=-x2相同，设函数的解析式为y=-（x-a）2+h，可直接代入得到y=-(x-4)2-1.

故答案为：y=-(x-4)2-1.

点评：二次函数的性质．

5．【解析】图形向上平移3个单位，则将它的解析式的函数值加3个单位，所以平移后的抛物线的解析式是， .

故答案为： .

点评：二次函数的运用．

6．【解析】由题意找出y1≥y2时自变量的取值范围即可.

解：当y1≥y2时，由已知抛物线与直线可知，

x≤-2或x≥3，

点评：此题主要考查了通过两个函数来判断不同自变量的取值范围内函数值的变化情况，属于对基础知识的考查.

三、解答题

7．【解析】抛物线y= -2（x+1）2-3先向左平移2个单位得：

y= -2（x+1+2）2-3=-2（x+3）2-3，

再向上平移5个单位得：y= =-2（x+3）2-3+5=-2（x+3）2+2，

点评：抛物线平移不改变二次函数的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标.

8．【解析】试题分析：(1)、首先将二次函数设成顶点式，然后将(0，-4)代入求出函数解析式；(2)、根据函数的开口方向以及最值得出x的取值范围.

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2﹣1，

把（0，﹣4）代入得9a﹣1=﹣4，

解得a=﹣．

所以二次函数解析式为y=﹣（x﹣3）2﹣1；

（2）∵a=﹣＜0，

∴抛物线开口向下，

∵顶点为（3，﹣1），

∴点（0，﹣4）对称点为（6，﹣4），

∴函数值y＞﹣4时，自变量0＜x＜6．

点评：二次函数的运用．

9．【解析】试题分析：（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y=，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；

（2）先计算当x=8时，y的值是否等于3，把x=8代入得：y=，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣=个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心．

解：（1）设抛物线为y=，

将（0，）代入，得=，

解得a=，

∴所求的解析式为y=；

（2）令x=8，得y==≠3，

∴抛物线不过点（8，3），

故不能正中篮筐中心；

∵抛物线过点（8，），

∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移个单位长度，故小明需向上多跳m再投篮（即球出手时距离地面3米）方可使球正中篮筐中心．

点评：二次函数的应用．

10．【解析】试题分析：首先根据对称轴将二次函数设成顶点式，然后将点(0,3)和(－2,5)代入函数解析式进行求解.

解：∵二次函数图象的对称轴为x=1    ∴设二次函数的解析式为y=a（x-1）2+k（a≠0）

∵图象过（0，3）、（－2，5）    ∴解得：

∴函数解析式为：y=      顶点坐标为（1，）.

点评：待定系数法求函数解析式.