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初中数学人教版八年级下册第十九章 一次函数综合与测试同步练习题
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人教版数学八年级下册
第十九章一次函数压轴题专题训练2
1. 如图，在平面直角系中，直线AB交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，B点的坐标为B（0，﹣6），点C在线段OA上，将△ABC沿直线BC翻折，点A与y轴上的点D（0，4）恰好重合．
（1）求A点坐标；
（2）求C点坐标；
（3）已知点E（0，3），P是直线BC上一动点（P不与B重合），连接PD、PE，求△PDE周长的最小值．
2. 如图1，直线y＝﹣x+3交x轴于点B，交y轴于点C．点A在x轴负半轴上且A点坐标为（-4,0）．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，点P坐标为（0,1），过点P的直线PE把△BOC的面积分为1：3，交△BOC另一边于点E，求点E的坐标；
（3）如图3，已知点Q（1，0），点M为线段AC上一动点，点N为直线BC上一动点，当三角形QMN为等腰直角三角形时，求M点的坐标．
3. 如图，直线l1:y=-12x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2:y=kx-6交于点C(4,2).
(1)点A坐标为( _____，____),B为(____，____);
(2)在线段BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，四边形OBEF是平行四边形;
(3)若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形.若存在，求出所有符合条件的Q点坐标;若不存在，请说明理由.
4. 如图1，在平画直角坐标系中，直线y=34x+8交x轴于点E，交y轴于点A，将直线y=-2x-7沿x轴向上平移4个单位长度交x轴于D，交y轴于B，交直线AE于C．
（1）直接写出直线BD的解析式为___________________，SΔABC=__________；
（2）在直线AE上存在点F，使BA是△BCF的中线，求点F的坐标；
（3）如图2，在x轴正半轴上存在点P，使∠PBO=2∠PAO，求点P的坐标．
5. 如图1，已知函数y＝12x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为83，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
6. 如图，直线l1：y1=－x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=12x+b过点P，与x轴交于点C．
（1）求点P的坐标和l2的表达式；
（2）若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．
①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式；
②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3；
7. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+8分别与x轴，y轴交于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE=90°.
（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；
（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；
（3）如图2，连结OE，OC，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标.
8. 如图,直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F,点E的坐标为(-8,0),点A的坐标为(-6,0)．
(1)求k的值；
(2)若点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点,在点P的运动过程中,试写出的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
(3)探究：在(2)的情况下,当点P运动到什么位置时,的面积为278,并说明理由．
9. 如图，已知在平面直角坐标系中，▵ABO的面积为8，OA = OB，BC = 12，点P的坐标是a , 6.
（1）直接写出▵ABC顶点A，C的坐标；
（2）若点P坐标为1 , 6，连接PA，PB，求▵PAB的面积；
（3）是否存在点P，使▵PAB的面积等于▵ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标.
10. 如图，一次函数y=﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点E为线段AB的中点，线段AB的垂直平分线EF与x轴、y轴分别交于点F、G．
（1）求点F的坐标；
（2）求图中线段EF所在直线的函数表达式；
（3）若坐标系中有一点M（-1，92），在直线EF上求一点C使△BCM的周长最小，请求出点C的坐标．
11. 如图直线AB:y=-x+6分别与x，y轴交于A、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB=3OC，点D(4-2m,m)为直线AB上的一点.
（1）如图1，求SΔBCD；
（2）如图2，过点D的直线交BC于E，交x轴于点F，且SΔEBF=SΔFBD，在y轴上找一点P，使得PE=PD，求点P的坐标.
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-34x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A坐标为(8，0)，点C为AB的中点
(1) 写出点B的坐标
(2) 点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q．设点P的横坐标为m，线段PQ的长度为d，求d与m的函数解析式（请直接写出自变量m的取值范围）
(3) 如图，在坐标系内有一点N，使得以O,C,N,B为顶点的四边形为平行四边形，直接写出N点的坐标.
13. 如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E，F．点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）．
（1）求直线y=kx+6的解析式和点F的坐标;
（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线EF上的一个动点．当点P运动过程中，试写出ΔOPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：在（2）的情况下，当P运动到什么位置时，ΔOPA的面积为278，并说明理由．
（4）在（3）的条件下,试求一点Q, 使以点P, A, O, Q 为顶点的四边形为平行四边形. 直接写出点Q的坐标,不需证明.
14. 在平面直角坐标系中，已知A（0，5） B（a，b）且a，b满足b=a-4+4-a-1.
(1) 如图1，求线段AB的长；
(2) 如图2，直线CD与x轴、y轴正半轴分别交于C、D两点，∠OCD=45°，第四象限的点P（m，n）在直线CD上，且mn=-6,求OP2- OC2的值；
(3) 如图3，若点D（1，0），求∠DAO +∠BAO的度数.
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点C的坐标为（4，0），一次函数y=43x＋3的图象分别交x轴，y轴于点A，点B．
（1）若点D是直线AB在第一象限内的点，且BD＝BC，试求出点D的坐标．
（2）在（1）的条件下，若点Q是坐标轴上的一个动点，试探索在第一象限是否存在另一个点P，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16. 如图，直线y=34x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=34x+6上一个动点．
（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式；
（2）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由；
（3）求使得PA+PO最小时的P点坐标．
参考答案
1.解：（1）∵B（0，-6），D（0，4），
∴BD=10，
∵将△ABC沿直线BC翻折，
∴BD=AB=10，AC=DC，
∴AO=AB2-OB2=100-36=8，
∴点A（8，0）；
（2）∵CD2=DO2+CO2，
∴AC2=16+（8-AC）2，
∴AC=5，
∴CO=3，
∴点C（3，0）；
（3）如图：
∵点A与点D关于BC对称，
∴连接AE交BC于点P，
则此时△PDE的周长取得最小值，
∵点A（8，0），点E（0，3）
∴AE=73
∴△PDE的周长的最小值=DE+DP+PE=73+1.
2.解：（1）直线y=-x+3交x轴于点B，交y轴于点C，则点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），
∵A点坐标为（-4，0），
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：-4k+b=0b=3，
解得：k=34b=3，
直线AC的表达式为：y=34x+3；
（2）∵点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），
∴OB=OC=3，
△BOC的面积是：12×3×3=92，
∵过点P的直线PE把△BOC的面积分为1：3，
∴S△POE=S△PEC=98，
∵点P坐标为（0，1），
∴OP=1，PC=2，
当OP=1，S△POE=98时，12×1×h=98，
h=94，
E（94，0），
当OP=2，S△PEC=98时，12×2×h=98，
解得：h=98，
当h=98，-98+3=158，
E（98，158），
综上所述E（94，0）或（98，158）；
（3）∵点M为线段AC上一动点，
经画图，∠MQN分别为90°时，点M不在线段AC上，
①NMQ=90°时，三角形QMN为等腰直角三角形，
过点M作y轴的平行线交x轴于点G，过点N作x轴的平行线交MG于点R、交y轴于点H，
设点M、N的坐标分别为（m，34m+3）、（n，3-n），
∵∠NMR+∠RNM=90°，∠MNR+∠GMQ=90°，
∴∠GMQ=∠RNM，
∠NRM=∠MGO=90°，MR=MQ，
∴△NRM≌△MGO（AAS），
则MG=RN，GQ=RM，
即：n-m=34m+3，3-n-（34m+3）=1-m，
解得：m=-83，
故点M的坐标为（-83，1）；
②当∠MNQ=90°时，
同理可得：点M（-43，2）；
综上，点M的坐标为：（-83，1）或（-43，2）．
3.解：（1）8;0;0;4.
（2）∵点C(4,2)是直线l2:y=kx-6上的点,
∴2=4k-6,
解得:k=2,
∴直线l2为y=2x-6.
∵点E的横坐标为m(0≤m≤4)，
∴E(m,-12m+4),F(m,2m-6),
∴EF=-12m+4-(2m-6)=10-52m.
∵四边形OBEF是平行四边形,
∴BO=EF,即4=10-52m,
解得:m=125.
故当m=125时,四边形OBEF是平行四边形.
（3）在平面直角坐标系中存在点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．
①如图1，
当PA=PB时，
设OP=a，
则PA=PB=8-a，
在Rt△POB中，
a2+42=（8-a）2，
解得a=3，
∴BQ=PA=8-3=5，
∴点Q的坐标是（5，4）．
②如图2，
当BP=BA时，
∵PA⊥QB，OP=OA=8，
∴点Q、B关于x轴对称，
∵点B的坐标是（0，4），
∴点Q的坐标是（0，-4）．
③如图3，图4，
当AB=AP时，
∵OA=8，OB=4，
∴AB=82+42=45，
∴BQ=45，
∴点Q的坐标是（45，4）或（-45，4）．
综上，可得在平面直角坐标系中存在点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形，符合条件的Q点坐标为（5，4）、（0，-4）、（45，4）或（-45，4）．
4.解：（1）y＝﹣2x﹣3，22．
（2）如图1，作CG⊥y轴于G，FH⊥y轴于H，
∴CG＝4，∠CGA＝∠FHA＝90°，
∵BA为△BCF的中线，
∴CA＝FA，
∵∠CAG＝∠FAH，
∴△CAG≌△FAH（AAS），
∴FH＝CG＝4，
在y=34x+8中，当x＝4时，y＝11，
∴F（4，11）．
（3）由（1）知A（0，8），B（0，﹣3），
∴OA＝8，OB＝3．
如图2，
在y轴正半轴上取一点Q，使OQ＝OB＝3，
∵∠POB＝90°，
∴PQ＝PB，
∴∠PBO＝∠PQO＝∠PAO+∠APQ，
∵∠PBO＝2∠PAO，
∴∠PAO＝∠APQ，
∴PQ＝AQ＝5，
∴OP＝PQ2-OQ2=4，
∴P（4，0）．
5.解：（1）对于y=12x+3，
由x=0得：y=3，
∴B（0，3），
由y=0得：0=12x+3，
解得x=-6，
∴A（-6，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（6，0），
设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
则b=36k+b=0，
解得k=-12b=3，
∴直线BC的函数解析式为y=-12x+3；
（2）设M（m，0），
则P（m，12m+3）、Q（m，-12m+3）
如图1，过点B作BD⊥PQ于点D，
∴PQ=|（-12m+3）-（12m+3）|=|m|，BD=|m|，
∴S△PQB=12PQ•BD=12m2=83，
解得m=±433，
∴M（433，0）或M（-433，0）；
（3）如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠BMP=∠BAC，
∴∠BMP=∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC=90°，
∴∠BMC+∠BCA=90°，
∴∠MBC=180°-（∠BMC+∠BCA）=90°，
∴BM2+BC2=MC2，
设M（x，0），
则P（x，12x+3），
∴BM2=OM2+OB2=x2+9，
MC2=（6-x）2，BC2=OC2+OB2=62+32=45，
∴x2+9+45=（6-x）2，
解得x=-32，
∴P（-32，94），
当点M在y轴的右侧时，如图3，
同理可得P（32，154），
综上，点P的坐标为（-32，94）或（32，154）．
6.解：（1）∵点P(m，3)为直线l1上一点，
∴3=－m+2，解得m=－1．
∴点P的坐标为（－1，3）．
把点P的坐标代入y2=12x+b，得,3=12×(－1)+b，解得b=72，
∴l2的表达式为y=12x+72；
（2）①由题意可知CQ=t，P到x轴的距离为3，
令y2=0可得0=12x+72，解得x=-7，
∴点C坐标为（-7，0），
在y1=-x+2中，令y1=0可得-x+2=0，解得x=2，
∴A点坐标为（2，0）；
∴AC=2-（-7）=9，
当Q在A、C之间时，则AQ=AC-CQ=9-t，
∴S=12×3×（9-t）=-32t+272；
当Q在A的右边时，则AQ=CQ-AC=t-9，
∴S=12×3×（t-9）=-32t-272；
②令S=3可得-32t+272=3或3=-32t-272，解得t=7或t=11，
即当t的值为7秒或11秒时△APQ的面积等于3.
7.解：（1）把A（6，0）代入y=kx+8中，
得6k+8=0，解得k=-43，
∴y=-43x+8，
把x=3代入，得y=4，
∴C（3，4）；
（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，∠CDE=90°，
∴∠CDF=90°-∠EDG=∠DEG，且∠CFD=∠DGE=90°，
∴△CDF≌△DEG（AAS），
∴CF=DG=4，DF=EG=3-m，
∴OG=4+m，
∴E（4+m，m-3）.
（3）E（7715,-2815）.
8.解：（1）∵点E（-8，0）在直线y=kx+6上，
∴0=-8k+6，∴k=34；
（2）∵k=34，
∴直线的解析式为：y=34x+6，
∵P点在y=34x+6上，设P（x，34x+6），
∴△OPA以OA为底的边上的高是|34x+6|，
当点P在第二象限时，|34x+6|=34x+6，
∵点A的坐标为（-6，0），∴OA=6．
∴S=6(34x+6)2=94x+18．
∵P点在第二象限，∴-8＜x＜0；
（3）设点P（m，n）时，其面积S=278，
则6|n|2=278，解得|n|=98，
则n1=98或者n2=-98（舍去），
当n=98时，98=34m+6，则m=-132，
故P（-132，98）时，三角形OPA的面积为278.
9.解：（1）∵S△ABO=12•OA•OB，
∵OA=OB，
∴OA2=8，解得OA=4，
∴OB=OA=4，
∴OC=BC-OB=12-4=8，
∴A（0，4），B（-4，0），C（8，0）.
（2）作PH⊥x轴于H，如图1，
S△PAB=S△PBH-S△AOB-S梯形AOHP
=12×（4+1）×6-8-12×（4+6）×1
=15-8-5
=2．
（3）S△ABC=12•4•12=24，
直线AB的解析式是y=x+4，
当y=6时，6=x+4，解得x=2．
当点P在第一象限，即a＞2，作PH⊥x轴于H，如图2，
S△PAB=S△AOB+S梯形AOHP-S△PBH=8+4+62•a-12•6•（a+4）=2a-4；
则2a-4=24，
解得a=14．
此时P点坐标为（14，6）；
当点P在第二象限，即a＜2，作PH⊥y轴于H，如图3，
S△PAB=S梯形OHPB-S△PAH-S△OAB=4-a2•6-12•（6-4）•（-a）-8=4-2a；
则4-2a=24，
解得a=-10．
此时P点坐标为（-10，6）．
综上所述，点P的坐标为（-10，6）或（14，6）
10.解：（1）根据题意得：A（2，0），B（0，4），
设点F（-a，0），
连接BF，
∵AB的垂直平分线与x轴交于F，
∴AF=BF，
∴由勾股定理求得（a+2）2=a2+42，
解得a=3，
∴点F（-3，0）.
（2）因为A（2，0），B（0，4），
根据E为线段AB的中点求得点E（1，2），
设直线EF的解析式为y=k2x+b2，
则k2+b2=2-3k2+b2=0，
解得k2=12，b2=32．
可求得直线EF的解析式为y=12x+32．
（3）因为EF垂直平分AB，即B关于直线EF的对称点为A，连结AM交于EF于一点，
则这一点为所求点C，使BC+CM最小，设直线AM的解析式为y=k1x+b，
则2k1+b1=0-k1+b1=92，
解得k1=-32，b1=3．
所以直线AM的解析式为y=-32x+3．
联立直线AM与EF的方程，解得使△BCM的周长最小的点C（34，158）．
11.解：（1）∵点D(4-2m,m)为直线AB上的一点，
直线AB:y=-x+6，
∴m=-（4-2m）+6，
解得：m=-2，
即D（8，-2），
由图可知：直线BC与y轴交于B点，
∴当x=0时，y=6，即B（0，6），
∴OB=6
∵OB=3OC=6，
∴OC=3，
即C（-2，0）；
∵直线AB与x轴交于点A，
∴当y=0时，x=6，
即A（6，0），
∴AC=8，
∴SΔBCD=SΔBAC＋SΔDAC=12×8×6＋12×8×2=32；
（2）∵S△EBF=S△FBD ，
即12EF⋅h=12DF⋅h（h为△BED边DE上的高），
∴ EF=DF，
如图：过E，D分别作EM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴△EMF≌△DNF，
∴EM=DN=2，
∴点E的纵坐标为2，
把y=2代入y=3x+6，可得x=-43，
∴ E-43，2
∵PE=PD， 即PE2=PD2 ,
设P（0，a），
∴ (43)2＋(2-a)2=82＋(-2-a)2 ，
解得： a=-709，
∴ P0,-709 .
12.解：（1）∵直线y=-34x+b过点A（8，0），
∴0=-6+b，解得：b=6，
∴直线AB的解析式为y=-34x+6．
令y=-34x+6中x=0，则y=6，
∴点B的坐标为（0，6）；
（2）依照题意画出图形，如图3所示，
∵A（8，0），B（0，6），且点C为AB的中点，
∴C（4，3），
设直线OC的解析式为y=kx（k≠0），
则有3=4k，解得：k=34，
∴直线OC的解析式为y=34x，
∵点P在直线AB上，点Q在直线OC上，点P的横坐标为m，PQ⊥x轴，
∴P（m，-34m+6），Q（m，34m），
当m＜4时，d=-34m+6-34m=-32m+6；
当m=4时，d=0;
当m＞4时，d=34m-（-34m+6）=32m-6．
故d与m的函数解析式为d=-32m+6(m<4)0(m=4)32m-6(m>4)；
（3）N1（4，9），N2（4，-3），N3（-4，3）．
13.解：（1）∵点E（-8，0）在直线y=kx+6上，
∴0=-8k+6，
∴k=34，
所以直线解析式为y=34x+6 ,F点的坐标为（0 , 6）；
（2）∵k=34，
∴直线的解析式为：y=34x+6，
∵P点在y=34x+6上，设P（x，34x+6），
∴△OPA以OA为底的边上的高是|34x+6|，
当点P在第二象限时，|34x+6|=34x+6，
∵点A的坐标为（-6，0），
∴OA=6．
∴S=6(34x+6)2=94x+18．
∵P点在第二象限，
∴-8＜x＜0；
（3）设点P（m，n）时，其面积S=278，
则9m4+18=278，
解得m=-132，
所以，n=-132×34+6=98，
即P（-132，98）时，三角形OPA的面积为278．
（4）根据题意要使以点P, A, O, Q 为顶点的四边形为平行四边形，先进行分情况讨论Q点的位置，根据平行四边形的性质容易求得Q点坐标为：
Q1(-12,98)，Q2(-252,98)，Q3（12,-98）.
14.解：（1）由二次根式的非负性可得：
a-4≥04-a≥0，解得：a=4，
∴b=-1，
∴B（4，-1），
∵A（0，5），
∴AB=5+12+42=213；
（2）如图，作PE⊥x轴，
∵∠OCD=45°，∠DOC=90°，点P在直线CD上，P（m，n），
∴∠PCE=45°，OE=m，
∴PE=EC=-n，
∴OC=OE-CE=m+n，
∴OP2-OC2=m2+-n2-m+n2，
=m2+n2-m2-2mn-n2，
=-2mn，
=12；
（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（0，5），B（4，-1）代入y=kx+b中，得：
4k+b=-1b=5，解得：k=-32b=5，
作D关于y轴的对称点D′，连接AD′，则∠DAO=∠D′AO，D′(-1，0)，
作D′M⊥AB，设直线D′M的解析式为y=23x+n，
把D′(-1，0)代入解析式得，-23+n=0，
解得：n=23，
所以，直线D′M的解析式为y=23x+23，
联立直线AB和直线D′M的解析式，得：
y=23x+23y=-32x+5，解得：x=2y=2，
∴M（2，2），
∴AM=32+22=13，MD′=32+22=13，
∴△D′MA是等腰直角三角形，
∴∠D′AM=45°，即∠D′AO+∠BAO=45°，
∴∠DAO+∠BAO=45°.
15.解：（1）如图1，
设点D（3a，4a+3），过点D作DE⊥y轴于E，
把x=0代入y=43x+3中，得，y=3，
∴OB=3，
∴BE=OE-OB=4a+3-3=4a，BC=OB2+OC2=5；
在Rt△BED中，根据勾股定理得，（3a）2+（4a）2=52，
∴a=±1，
∵点D在第一象限，
∴a=1，
∴D（3，7）；
（2）由（1）知，BD=BC=5，
①当点Q在y轴上时，设Q（0，q），
∵使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形（BD为菱形的一边），且点P在第一象限内，即：四边形BDPQ是菱形，
∴PQ∥BD，DP∥BQ，
∴点P的横坐标为3，
∵四边形BDPQ是菱形，
∴BQ=BD=5，
∵B（0，3），
∴Q（0，8）或（0，-2），
Ⅰ、当点Q（0，8）时，
∵直线BD的解析式为y=43x+3，
∴直线PQ的解析式为y=43x+8，
当x=3时，y=12，
∴P（3，12），
Ⅱ、点Q（0，-2）时，
∵直线BD的解析式为y=43x+3，
∴直线PQ的解析式为y=43x-2，
当x=3时，y=2，
∴P（3，2），
②当点Q在x轴上时，设Q（m，0），），
∵使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形（BD为菱形的一边），且点P在第一象限内，即：四边形BDPQ是菱形，
∴BQ=BD=5，
∵OB=3，
∴OQ=4，
∴Q（-4，0）或（4，0）；
Ⅰ、当Q（-4，0）时，
∵一次函数y=43x+3的图象交x轴于点A，∴A（-94，0），
∴点Q在点A的左侧，
∴点P在第二象限内，不符合题意，舍去，
Ⅱ、当点Q（4，0）时，
∵四边形BDPQ是菱形，
∴BQ∥DP，PQ∥BD，
∵直线BD的解析式为y=43x+3，
∴设直线PQ的解析式为y=43x+b，
∴43×4+b=0，
∴b=-163，
∴直线PQ的解析式为y=43x-163③，
∵B（0，3），Q（4，0），
∴直线BQ的解析式为y=-43x+3，
∵D（3，7），
∴直线DP的解析式为y=-34x+374④，
联立③④解得，x=7，y=4，
∴P（7，4），
即：满足条件的点P的坐标为（3，12）、（3，2）、（7，4）．
16.解：（1）∵P（x，y）是直线y=34x+6上一个动点，
∴P（x，34x+6），
当P在第一、二象限时，△OPA的面积是S=12OA×y=12×|-6|×（34x+6）=94x+18（x＞-8）；
当P在第三象限时，△OPA的面积是S=12OA×（-y）=-94x-18（x＜-8）；
答：在点P运动过程中，△OPA的面积S与x的函数关系式是S=94x+18（x＞-8）或S=-94x-18（x＜-8）.
（2）假设存在P点，使△COD≌△FOE，
①如图所示：P的坐标是（-16825，2425）；
②如图所示：
P的坐标是（2425，16825）.
存在P点，使△COD≌△FOE，P的坐标是（-16825，2425）或（2425，16825）.
（3）作点O关于直线y=34x+6的对称点O'，连接O'A交直线y=34x+6于P，如图，此时PA+OP最小，
直线y=34x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，则E（-8，0），F（0，6），
则EF=10，
设OO'与EF交于点M，设M（m，34m+6），
根据△EOF的面积等得到S=12×6×8=12×10×OM，
得到OM=4.8，
则m2+34m+62=4.8，
解得m=-7225，
∴M（-7225，9625），
∴O'（-14425，19225），
∴直线O'A的解析式为y=32x+192，
∴y=34x+6y=32x+192，
解得：x=-744125y=192125，
∴点P坐标为-744125，192125.
人教版数学八年级下册
第十九章一次函数压轴题专题训练2
1. 如图，在平面直角系中，直线AB交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，B点的坐标为B（0，﹣6），点C在线段OA上，将△ABC沿直线BC翻折，点A与y轴上的点D（0，4）恰好重合．
（1）求A点坐标；
（2）求C点坐标；
（3）已知点E（0，3），P是直线BC上一动点（P不与B重合），连接PD、PE，求△PDE周长的最小值．
2. 如图1，直线y＝﹣x+3交x轴于点B，交y轴于点C．点A在x轴负半轴上且A点坐标为（-4,0）．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，点P坐标为（0,1），过点P的直线PE把△BOC的面积分为1：3，交△BOC另一边于点E，求点E的坐标；
（3）如图3，已知点Q（1，0），点M为线段AC上一动点，点N为直线BC上一动点，当三角形QMN为等腰直角三角形时，求M点的坐标．
3. 如图，直线l1:y=-12x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2:y=kx-6交于点C(4,2).
(1)点A坐标为( _____，____),B为(____，____);
(2)在线段BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，四边形OBEF是平行四边形;
(3)若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形.若存在，求出所有符合条件的Q点坐标;若不存在，请说明理由.
4. 如图1，在平画直角坐标系中，直线y=34x+8交x轴于点E，交y轴于点A，将直线y=-2x-7沿x轴向上平移4个单位长度交x轴于D，交y轴于B，交直线AE于C．
（1）直接写出直线BD的解析式为___________________，SΔABC=__________；
（2）在直线AE上存在点F，使BA是△BCF的中线，求点F的坐标；
（3）如图2，在x轴正半轴上存在点P，使∠PBO=2∠PAO，求点P的坐标．
5. 如图1，已知函数y＝12x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为83，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
6. 如图，直线l1：y1=－x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=12x+b过点P，与x轴交于点C．
（1）求点P的坐标和l2的表达式；
（2）若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．
①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式；
②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3；
7. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+8分别与x轴，y轴交于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE=90°.
（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；
（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；
（3）如图2，连结OE，OC，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标.
8. 如图,直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F,点E的坐标为(-8,0),点A的坐标为(-6,0)．
(1)求k的值；
(2)若点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点,在点P的运动过程中,试写出的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
(3)探究：在(2)的情况下,当点P运动到什么位置时,的面积为278,并说明理由．
9. 如图，已知在平面直角坐标系中，▵ABO的面积为8，OA = OB，BC = 12，点P的坐标是a , 6.
（1）直接写出▵ABC顶点A，C的坐标；
（2）若点P坐标为1 , 6，连接PA，PB，求▵PAB的面积；
（3）是否存在点P，使▵PAB的面积等于▵ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标.
10. 如图，一次函数y=﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点E为线段AB的中点，线段AB的垂直平分线EF与x轴、y轴分别交于点F、G．
（1）求点F的坐标；
（2）求图中线段EF所在直线的函数表达式；
（3）若坐标系中有一点M（-1，92），在直线EF上求一点C使△BCM的周长最小，请求出点C的坐标．
11. 如图直线AB:y=-x+6分别与x，y轴交于A、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB=3OC，点D(4-2m,m)为直线AB上的一点.
（1）如图1，求SΔBCD；
（2）如图2，过点D的直线交BC于E，交x轴于点F，且SΔEBF=SΔFBD，在y轴上找一点P，使得PE=PD，求点P的坐标.
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-34x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A坐标为(8，0)，点C为AB的中点
(1) 写出点B的坐标
(2) 点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q．设点P的横坐标为m，线段PQ的长度为d，求d与m的函数解析式（请直接写出自变量m的取值范围）
(3) 如图，在坐标系内有一点N，使得以O,C,N,B为顶点的四边形为平行四边形，直接写出N点的坐标.
13. 如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E，F．点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）．
（1）求直线y=kx+6的解析式和点F的坐标;
（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线EF上的一个动点．当点P运动过程中，试写出ΔOPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：在（2）的情况下，当P运动到什么位置时，ΔOPA的面积为278，并说明理由．
（4）在（3）的条件下,试求一点Q, 使以点P, A, O, Q 为顶点的四边形为平行四边形. 直接写出点Q的坐标,不需证明.
14. 在平面直角坐标系中，已知A（0，5） B（a，b）且a，b满足b=a-4+4-a-1.
(1) 如图1，求线段AB的长；
(2) 如图2，直线CD与x轴、y轴正半轴分别交于C、D两点，∠OCD=45°，第四象限的点P（m，n）在直线CD上，且mn=-6,求OP2- OC2的值；
(3) 如图3，若点D（1，0），求∠DAO +∠BAO的度数.
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点C的坐标为（4，0），一次函数y=43x＋3的图象分别交x轴，y轴于点A，点B．
（1）若点D是直线AB在第一象限内的点，且BD＝BC，试求出点D的坐标．
（2）在（1）的条件下，若点Q是坐标轴上的一个动点，试探索在第一象限是否存在另一个点P，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16. 如图，直线y=34x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=34x+6上一个动点．
（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式；
（2）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由；
（3）求使得PA+PO最小时的P点坐标．
参考答案
1.解：（1）∵B（0，-6），D（0，4），
∴BD=10，
∵将△ABC沿直线BC翻折，
∴BD=AB=10，AC=DC，
∴AO=AB2-OB2=100-36=8，
∴点A（8，0）；
（2）∵CD2=DO2+CO2，
∴AC2=16+（8-AC）2，
∴AC=5，
∴CO=3，
∴点C（3，0）；
（3）如图：
∵点A与点D关于BC对称，
∴连接AE交BC于点P，
则此时△PDE的周长取得最小值，
∵点A（8，0），点E（0，3）
∴AE=73
∴△PDE的周长的最小值=DE+DP+PE=73+1.
2.解：（1）直线y=-x+3交x轴于点B，交y轴于点C，则点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），
∵A点坐标为（-4，0），
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：-4k+b=0b=3，
解得：k=34b=3，
直线AC的表达式为：y=34x+3；
（2）∵点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），
∴OB=OC=3，
△BOC的面积是：12×3×3=92，
∵过点P的直线PE把△BOC的面积分为1：3，
∴S△POE=S△PEC=98，
∵点P坐标为（0，1），
∴OP=1，PC=2，
当OP=1，S△POE=98时，12×1×h=98，
h=94，
E（94，0），
当OP=2，S△PEC=98时，12×2×h=98，
解得：h=98，
当h=98，-98+3=158，
E（98，158），
综上所述E（94，0）或（98，158）；
（3）∵点M为线段AC上一动点，
经画图，∠MQN分别为90°时，点M不在线段AC上，
①NMQ=90°时，三角形QMN为等腰直角三角形，
过点M作y轴的平行线交x轴于点G，过点N作x轴的平行线交MG于点R、交y轴于点H，
设点M、N的坐标分别为（m，34m+3）、（n，3-n），
∵∠NMR+∠RNM=90°，∠MNR+∠GMQ=90°，
∴∠GMQ=∠RNM，
∠NRM=∠MGO=90°，MR=MQ，
∴△NRM≌△MGO（AAS），
则MG=RN，GQ=RM，
即：n-m=34m+3，3-n-（34m+3）=1-m，
解得：m=-83，
故点M的坐标为（-83，1）；
②当∠MNQ=90°时，
同理可得：点M（-43，2）；
综上，点M的坐标为：（-83，1）或（-43，2）．
3.解：（1）8;0;0;4.
（2）∵点C(4,2)是直线l2:y=kx-6上的点,
∴2=4k-6,
解得:k=2,
∴直线l2为y=2x-6.
∵点E的横坐标为m(0≤m≤4)，
∴E(m,-12m+4),F(m,2m-6),
∴EF=-12m+4-(2m-6)=10-52m.
∵四边形OBEF是平行四边形,
∴BO=EF,即4=10-52m,
解得:m=125.
故当m=125时,四边形OBEF是平行四边形.
（3）在平面直角坐标系中存在点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．
①如图1，
当PA=PB时，
设OP=a，
则PA=PB=8-a，
在Rt△POB中，
a2+42=（8-a）2，
解得a=3，
∴BQ=PA=8-3=5，
∴点Q的坐标是（5，4）．
②如图2，
当BP=BA时，
∵PA⊥QB，OP=OA=8，
∴点Q、B关于x轴对称，
∵点B的坐标是（0，4），
∴点Q的坐标是（0，-4）．
③如图3，图4，
当AB=AP时，
∵OA=8，OB=4，
∴AB=82+42=45，
∴BQ=45，
∴点Q的坐标是（45，4）或（-45，4）．
综上，可得在平面直角坐标系中存在点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形，符合条件的Q点坐标为（5，4）、（0，-4）、（45，4）或（-45，4）．
4.解：（1）y＝﹣2x﹣3，22．
（2）如图1，作CG⊥y轴于G，FH⊥y轴于H，
∴CG＝4，∠CGA＝∠FHA＝90°，
∵BA为△BCF的中线，
∴CA＝FA，
∵∠CAG＝∠FAH，
∴△CAG≌△FAH（AAS），
∴FH＝CG＝4，
在y=34x+8中，当x＝4时，y＝11，
∴F（4，11）．
（3）由（1）知A（0，8），B（0，﹣3），
∴OA＝8，OB＝3．
如图2，
在y轴正半轴上取一点Q，使OQ＝OB＝3，
∵∠POB＝90°，
∴PQ＝PB，
∴∠PBO＝∠PQO＝∠PAO+∠APQ，
∵∠PBO＝2∠PAO，
∴∠PAO＝∠APQ，
∴PQ＝AQ＝5，
∴OP＝PQ2-OQ2=4，
∴P（4，0）．
5.解：（1）对于y=12x+3，
由x=0得：y=3，
∴B（0，3），
由y=0得：0=12x+3，
解得x=-6，
∴A（-6，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（6，0），
设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
则b=36k+b=0，
解得k=-12b=3，
∴直线BC的函数解析式为y=-12x+3；
（2）设M（m，0），
则P（m，12m+3）、Q（m，-12m+3）
如图1，过点B作BD⊥PQ于点D，
∴PQ=|（-12m+3）-（12m+3）|=|m|，BD=|m|，
∴S△PQB=12PQ•BD=12m2=83，
解得m=±433，
∴M（433，0）或M（-433，0）；
（3）如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠BMP=∠BAC，
∴∠BMP=∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC=90°，
∴∠BMC+∠BCA=90°，
∴∠MBC=180°-（∠BMC+∠BCA）=90°，
∴BM2+BC2=MC2，
设M（x，0），
则P（x，12x+3），
∴BM2=OM2+OB2=x2+9，
MC2=（6-x）2，BC2=OC2+OB2=62+32=45，
∴x2+9+45=（6-x）2，
解得x=-32，
∴P（-32，94），
当点M在y轴的右侧时，如图3，
同理可得P（32，154），
综上，点P的坐标为（-32，94）或（32，154）．
6.解：（1）∵点P(m，3)为直线l1上一点，
∴3=－m+2，解得m=－1．
∴点P的坐标为（－1，3）．
把点P的坐标代入y2=12x+b，得,3=12×(－1)+b，解得b=72，
∴l2的表达式为y=12x+72；
（2）①由题意可知CQ=t，P到x轴的距离为3，
令y2=0可得0=12x+72，解得x=-7，
∴点C坐标为（-7，0），
在y1=-x+2中，令y1=0可得-x+2=0，解得x=2，
∴A点坐标为（2，0）；
∴AC=2-（-7）=9，
当Q在A、C之间时，则AQ=AC-CQ=9-t，
∴S=12×3×（9-t）=-32t+272；
当Q在A的右边时，则AQ=CQ-AC=t-9，
∴S=12×3×（t-9）=-32t-272；
②令S=3可得-32t+272=3或3=-32t-272，解得t=7或t=11，
即当t的值为7秒或11秒时△APQ的面积等于3.
7.解：（1）把A（6，0）代入y=kx+8中，
得6k+8=0，解得k=-43，
∴y=-43x+8，
把x=3代入，得y=4，
∴C（3，4）；
（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，∠CDE=90°，
∴∠CDF=90°-∠EDG=∠DEG，且∠CFD=∠DGE=90°，
∴△CDF≌△DEG（AAS），
∴CF=DG=4，DF=EG=3-m，
∴OG=4+m，
∴E（4+m，m-3）.
（3）E（7715,-2815）.
8.解：（1）∵点E（-8，0）在直线y=kx+6上，
∴0=-8k+6，∴k=34；
（2）∵k=34，
∴直线的解析式为：y=34x+6，
∵P点在y=34x+6上，设P（x，34x+6），
∴△OPA以OA为底的边上的高是|34x+6|，
当点P在第二象限时，|34x+6|=34x+6，
∵点A的坐标为（-6，0），∴OA=6．
∴S=6(34x+6)2=94x+18．
∵P点在第二象限，∴-8＜x＜0；
（3）设点P（m，n）时，其面积S=278，
则6|n|2=278，解得|n|=98，
则n1=98或者n2=-98（舍去），
当n=98时，98=34m+6，则m=-132，
故P（-132，98）时，三角形OPA的面积为278.
9.解：（1）∵S△ABO=12•OA•OB，
∵OA=OB，
∴OA2=8，解得OA=4，
∴OB=OA=4，
∴OC=BC-OB=12-4=8，
∴A（0，4），B（-4，0），C（8，0）.
（2）作PH⊥x轴于H，如图1，
S△PAB=S△PBH-S△AOB-S梯形AOHP
=12×（4+1）×6-8-12×（4+6）×1
=15-8-5
=2．
（3）S△ABC=12•4•12=24，
直线AB的解析式是y=x+4，
当y=6时，6=x+4，解得x=2．
当点P在第一象限，即a＞2，作PH⊥x轴于H，如图2，
S△PAB=S△AOB+S梯形AOHP-S△PBH=8+4+62•a-12•6•（a+4）=2a-4；
则2a-4=24，
解得a=14．
此时P点坐标为（14，6）；
当点P在第二象限，即a＜2，作PH⊥y轴于H，如图3，
S△PAB=S梯形OHPB-S△PAH-S△OAB=4-a2•6-12•（6-4）•（-a）-8=4-2a；
则4-2a=24，
解得a=-10．
此时P点坐标为（-10，6）．
综上所述，点P的坐标为（-10，6）或（14，6）
10.解：（1）根据题意得：A（2，0），B（0，4），
设点F（-a，0），
连接BF，
∵AB的垂直平分线与x轴交于F，
∴AF=BF，
∴由勾股定理求得（a+2）2=a2+42，
解得a=3，
∴点F（-3，0）.
（2）因为A（2，0），B（0，4），
根据E为线段AB的中点求得点E（1，2），
设直线EF的解析式为y=k2x+b2，
则k2+b2=2-3k2+b2=0，
解得k2=12，b2=32．
可求得直线EF的解析式为y=12x+32．
（3）因为EF垂直平分AB，即B关于直线EF的对称点为A，连结AM交于EF于一点，
则这一点为所求点C，使BC+CM最小，设直线AM的解析式为y=k1x+b，
则2k1+b1=0-k1+b1=92，
解得k1=-32，b1=3．
所以直线AM的解析式为y=-32x+3．
联立直线AM与EF的方程，解得使△BCM的周长最小的点C（34，158）．
11.解：（1）∵点D(4-2m,m)为直线AB上的一点，
直线AB:y=-x+6，
∴m=-（4-2m）+6，
解得：m=-2，
即D（8，-2），
由图可知：直线BC与y轴交于B点，
∴当x=0时，y=6，即B（0，6），
∴OB=6
∵OB=3OC=6，
∴OC=3，
即C（-2，0）；
∵直线AB与x轴交于点A，
∴当y=0时，x=6，
即A（6，0），
∴AC=8，
∴SΔBCD=SΔBAC＋SΔDAC=12×8×6＋12×8×2=32；
（2）∵S△EBF=S△FBD ，
即12EF⋅h=12DF⋅h（h为△BED边DE上的高），
∴ EF=DF，
如图：过E，D分别作EM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴△EMF≌△DNF，
∴EM=DN=2，
∴点E的纵坐标为2，
把y=2代入y=3x+6，可得x=-43，
∴ E-43，2
∵PE=PD， 即PE2=PD2 ,
设P（0，a），
∴ (43)2＋(2-a)2=82＋(-2-a)2 ，
解得： a=-709，
∴ P0,-709 .
12.解：（1）∵直线y=-34x+b过点A（8，0），
∴0=-6+b，解得：b=6，
∴直线AB的解析式为y=-34x+6．
令y=-34x+6中x=0，则y=6，
∴点B的坐标为（0，6）；
（2）依照题意画出图形，如图3所示，
∵A（8，0），B（0，6），且点C为AB的中点，
∴C（4，3），
设直线OC的解析式为y=kx（k≠0），
则有3=4k，解得：k=34，
∴直线OC的解析式为y=34x，
∵点P在直线AB上，点Q在直线OC上，点P的横坐标为m，PQ⊥x轴，
∴P（m，-34m+6），Q（m，34m），
当m＜4时，d=-34m+6-34m=-32m+6；
当m=4时，d=0;
当m＞4时，d=34m-（-34m+6）=32m-6．
故d与m的函数解析式为d=-32m+6(m<4)0(m=4)32m-6(m>4)；
（3）N1（4，9），N2（4，-3），N3（-4，3）．
13.解：（1）∵点E（-8，0）在直线y=kx+6上，
∴0=-8k+6，
∴k=34，
所以直线解析式为y=34x+6 ,F点的坐标为（0 , 6）；
（2）∵k=34，
∴直线的解析式为：y=34x+6，
∵P点在y=34x+6上，设P（x，34x+6），
∴△OPA以OA为底的边上的高是|34x+6|，
当点P在第二象限时，|34x+6|=34x+6，
∵点A的坐标为（-6，0），
∴OA=6．
∴S=6(34x+6)2=94x+18．
∵P点在第二象限，
∴-8＜x＜0；
（3）设点P（m，n）时，其面积S=278，
则9m4+18=278，
解得m=-132，
所以，n=-132×34+6=98，
即P（-132，98）时，三角形OPA的面积为278．
（4）根据题意要使以点P, A, O, Q 为顶点的四边形为平行四边形，先进行分情况讨论Q点的位置，根据平行四边形的性质容易求得Q点坐标为：
Q1(-12,98)，Q2(-252,98)，Q3（12,-98）.
14.解：（1）由二次根式的非负性可得：
a-4≥04-a≥0，解得：a=4，
∴b=-1，
∴B（4，-1），
∵A（0，5），
∴AB=5+12+42=213；
（2）如图，作PE⊥x轴，
∵∠OCD=45°，∠DOC=90°，点P在直线CD上，P（m，n），
∴∠PCE=45°，OE=m，
∴PE=EC=-n，
∴OC=OE-CE=m+n，
∴OP2-OC2=m2+-n2-m+n2，
=m2+n2-m2-2mn-n2，
=-2mn，
=12；
（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（0，5），B（4，-1）代入y=kx+b中，得：
4k+b=-1b=5，解得：k=-32b=5，
作D关于y轴的对称点D′，连接AD′，则∠DAO=∠D′AO，D′(-1，0)，
作D′M⊥AB，设直线D′M的解析式为y=23x+n，
把D′(-1，0)代入解析式得，-23+n=0，
解得：n=23，
所以，直线D′M的解析式为y=23x+23，
联立直线AB和直线D′M的解析式，得：
y=23x+23y=-32x+5，解得：x=2y=2，
∴M（2，2），
∴AM=32+22=13，MD′=32+22=13，
∴△D′MA是等腰直角三角形，
∴∠D′AM=45°，即∠D′AO+∠BAO=45°，
∴∠DAO+∠BAO=45°.
15.解：（1）如图1，
设点D（3a，4a+3），过点D作DE⊥y轴于E，
把x=0代入y=43x+3中，得，y=3，
∴OB=3，
∴BE=OE-OB=4a+3-3=4a，BC=OB2+OC2=5；
在Rt△BED中，根据勾股定理得，（3a）2+（4a）2=52，
∴a=±1，
∵点D在第一象限，
∴a=1，
∴D（3，7）；
（2）由（1）知，BD=BC=5，
①当点Q在y轴上时，设Q（0，q），
∵使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形（BD为菱形的一边），且点P在第一象限内，即：四边形BDPQ是菱形，
∴PQ∥BD，DP∥BQ，
∴点P的横坐标为3，
∵四边形BDPQ是菱形，
∴BQ=BD=5，
∵B（0，3），
∴Q（0，8）或（0，-2），
Ⅰ、当点Q（0，8）时，
∵直线BD的解析式为y=43x+3，
∴直线PQ的解析式为y=43x+8，
当x=3时，y=12，
∴P（3，12），
Ⅱ、点Q（0，-2）时，
∵直线BD的解析式为y=43x+3，
∴直线PQ的解析式为y=43x-2，
当x=3时，y=2，
∴P（3，2），
②当点Q在x轴上时，设Q（m，0），），
∵使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形（BD为菱形的一边），且点P在第一象限内，即：四边形BDPQ是菱形，
∴BQ=BD=5，
∵OB=3，
∴OQ=4，
∴Q（-4，0）或（4，0）；
Ⅰ、当Q（-4，0）时，
∵一次函数y=43x+3的图象交x轴于点A，∴A（-94，0），
∴点Q在点A的左侧，
∴点P在第二象限内，不符合题意，舍去，
Ⅱ、当点Q（4，0）时，
∵四边形BDPQ是菱形，
∴BQ∥DP，PQ∥BD，
∵直线BD的解析式为y=43x+3，
∴设直线PQ的解析式为y=43x+b，
∴43×4+b=0，
∴b=-163，
∴直线PQ的解析式为y=43x-163③，
∵B（0，3），Q（4，0），
∴直线BQ的解析式为y=-43x+3，
∵D（3，7），
∴直线DP的解析式为y=-34x+374④，
联立③④解得，x=7，y=4，
∴P（7，4），
即：满足条件的点P的坐标为（3，12）、（3，2）、（7，4）．
16.解：（1）∵P（x，y）是直线y=34x+6上一个动点，
∴P（x，34x+6），
当P在第一、二象限时，△OPA的面积是S=12OA×y=12×|-6|×（34x+6）=94x+18（x＞-8）；
当P在第三象限时，△OPA的面积是S=12OA×（-y）=-94x-18（x＜-8）；
答：在点P运动过程中，△OPA的面积S与x的函数关系式是S=94x+18（x＞-8）或S=-94x-18（x＜-8）.
（2）假设存在P点，使△COD≌△FOE，
①如图所示：P的坐标是（-16825，2425）；
②如图所示：
P的坐标是（2425，16825）.
存在P点，使△COD≌△FOE，P的坐标是（-16825，2425）或（2425，16825）.
（3）作点O关于直线y=34x+6的对称点O'，连接O'A交直线y=34x+6于P，如图，此时PA+OP最小，
直线y=34x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，则E（-8，0），F（0，6），
则EF=10，
设OO'与EF交于点M，设M（m，34m+6），
根据△EOF的面积等得到S=12×6×8=12×10×OM，
得到OM=4.8，
则m2+34m+62=4.8，
解得m=-7225，
∴M（-7225，9625），
∴O'（-14425，19225），
∴直线O'A的解析式为y=32x+192，
∴y=34x+6y=32x+192，
解得：x=-744125y=192125，
∴点P坐标为-744125，192125.
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