新人教B版高中数学必修第一册课时检测17函数的表示方法含解析

函数的表示方法

[A级　基础巩固]

1．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)

A．f(x)＝|x|　　　　　 B．f(x)＝x－|x|

C．f(x)＝x＋1  D．f(x)＝－x

解析：选ABD　∵|2x|＝2|x|，∴A满足；∵2x－|2x|＝2(x－|x|)，∴B满足；∵－2x＝2·(－x)，∴D满足；∵2x＋1≠2(x＋1)，∴C不满足．

2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图像是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为(　　)

A．3　　 　 B．2　　 　　

C．1　　 　 D．0

解析：选B　由函数g(x)的图像知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.

3．已知f(x－1)＝x2－1，则f(0)的值为(　　)

A．－1  B．1 

C．0  D．3

解析：选C　令g(x)＝f(x－1)＝x2－1，

则f(0)＝g(1)＝12－1＝0，故选C.

4．函数y＝－的大致图像是(　　)

解析：选B　函数y＝－的图像是由函数y＝－的图像向左平移1个单位长度得到的，而函数y＝－的图像在第二、第四象限，结合所给的四个图像只有B符合，故选B.

5．定义两种运算a⊕b＝，a⊗b＝，则函数f(x)＝的解析式为(　　)

A．f(x)＝，x∈[－2，0)∪(0，2]

B．f(x)＝，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．f(x)＝，x∈(－∞，－1]∪(2，＋∞)

D．f(x)＝，x∈[－2，0)∪(0，2]

解析：选D　依题意2⊕x＝，x⊗2＝＝|x－2|，则f(x)＝.由

得－2≤x≤2且x≠0，∴f(x)＝，x∈[－2，0)∪(0，2]，故选D.

6．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________．

解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，

依题设，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，

∴∴

则f(x)＝2x－.

答案：2x－

7．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________．

解析：因为f(2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f(a)＝a＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝.

答案：

8．一个弹簧不挂物体时长12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比．如果挂上3 kg物体后弹簧总长是13.5 cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数解析式为________．

解析：设所求函数解析式为y＝kx＋12(k≠0)，把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，解得k＝，所以所求的函数解析式为y＝x＋12(x≥0)．

答案：y＝x＋12(x≥0)

9．已知函数p＝f(m)的图像如图所示．求：

(1)函数p＝f(m)的定义域；

(2)函数p＝f(m)的值域；

(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．

解：(1)观察函数p＝f(m)的图像，可以看出图像上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，由题图知定义域为[－3，0]∪[1，4]．

(2)由题图知值域为[－2，2]．

(3)由题图知：p∈(0，2]时，只有唯一的m值与之对应．

10．已知f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，求f(x)的解析式．

解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3，∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.∴解得∴f(x)＝x2－x＋3.

[B级　综合运用]

11．向一杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图像如图所示，则杯子的形状可能是(　　)

解析：选A　函数图像的走势是稍陡、陡、平，水面高度的变化与所给容器的粗细有关，容器应为下粗上细且上下两部分均为柱体，水面上升速度是匀速的，故选A.

12．(多选)设[x]表示小于等于x的最大整数，则对任意实数x，下列各式错误的是(　　)

A．[－x]＝－[x]  B.＝[x]

C．[2x]＝2[x]  D．[x]＋＝[2x]

解析：选ABC　取特殊值进行判断，当x＝1.1时，[－x]＝－2，－[x]＝－1，故A错误；当x＝－1.1时，＝[－0.6]＝－1，[x]＝－2，故B错误；当x＝1.9时，[2x]＝3，2[x]＝2，故C错误，D正确．

13．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝2，f(3)＝3，那么f(12)＝________．

解析：由f(ab)＝f(a)＋f(b)，可得f(12)＝f(4)＋f(3)，f(4)＝f(2)＋f(2)，∴f(12)＝2f(2)＋f(3)＝4＋3＝7.

答案：7

14．设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图像与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式．

解：法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0；①

又因为|x1－x2|＝＝2，

所以b2－4ac＝8a2；②

又由已知得c＝1.③

由①②③解得b＝2，a＝，c＝1，

所以f(x)＝x2＋2x＋1.

法二：因为y＝f(x)的图像有对称轴x＝－2，

又|x1－x2|＝2，

所以y＝f(x)的图像与x轴的交点为(－2－，0)，

(－2＋，0)，故可设f(x)＝a(x＋2＋)(x＋2－)．

因为f(0)＝1，所以a＝.

所以f(x)＝[(x＋2)2－2]＝x2＋2x＋1.

[C级　拓展探究]

15．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足f(x＋1)－f(x)＝4x＋1，且f(0)＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>6x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)由f(0)＝3得，c＝3，

∴f(x)＝ax2＋bx＋3.

又f(x＋1)－f(x)＝4x＋1，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4x＋1，

即2ax＋a＋b＝4x＋1，∴∴

∴f(x)＝2x2－x＋3.

(2)f(x)>6x＋m等价于2x2－x＋3>6x＋m，即2x2－7x＋3>m在[－1，1]上恒成立，

令g(x)＝2x2－7x＋3，则g(x)min＝g(1)＝－2，∴m<－2.