新人教B版高中数学必修第一册课时检测8等式的性质与方程的解集含解析

等式的性质与方程的解集

[A级　基础巩固]

1．(多选)下列属于恒等式的有(　　)

A．(a＋b)c＝ac＋bc　　　　 B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2

C．4x＝2 020  D．(x－1)2＝0

解析：选AB　A、B属于恒等式；只有当x＝505时，等式4x＝2 020才成立，只有当x＝1时，等式(x－1)2＝0才成立，所以C、D不是恒等式．故选A、B.

2．若多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值是(　　)

A．a＝10，b＝2  B．a＝10，b＝－2

C．a＝－10，b＝－2  D．a＝－10，b＝2

解析：选C　因为(x－5)(x－b)＝x2－(5＋b)x＋5b，所以即

3．若多项式－6ab＋18abx＋24aby的一个因式是－6ab，那么另一个因式是(　　)

A．1＋3x－4y　　　　　　　 B．－1－3x－4y

C．1－3x－4y  D．－1－3x＋4y

解析：选C　－6ab＋18abx＋24aby＝－6ab(1－3x－4y)，所以另一个因式是(1－3x－4y)．

4．(a＋b)2＋8(a＋b)－20分解因式得(　　)

A．(a＋b＋10)(a＋b－2)  B．(a＋b＋5)(a＋b－4)

C．(a＋b＋2)(a＋b－10)  D．(a＋b＋4)(a＋b－5)

解析：选A　(a＋b)2＋8(a＋b)－20＝ [(a＋b)－2][(a＋b)＋10]＝(a＋b－2)(a＋b＋10)．

5．小明在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是(　　 )

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选D　设所缺的部分为x，则2y－1＝y－x，把y＝－3代入，求得x＝4.故选D.

6．已知y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，则关于x的方程m(x－3)－2＝m(2x－5)的解集为________．

解析：因为y＝1是方程2－13(m－y)＝2y的解，

所以2－13(m－1)＝2，即m＝1.

所以方程m(x－3)－2＝m(2x－5)变为(x－3)－2＝2x－5，

解得x＝0.

所以方程的解集为{0}．

答案：{0}

7．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝________．

解析：设a＋b＝x，则原方程可化为4x(4x－2)－8＝0，整理，得(2x＋1)(x－1)＝0，

解得x＝－或x＝1.则a＋b＝－或1.

答案：－或1

8．小奇设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数a2－3b－5，例如把(1，－2)放入其中，就会得到12－3×(－2)－5＝2.现将实数对(m，3m)放入其中，得到实数5，则m＝________．

解析：因为将实数对(m，3m)放入其中，得到实数5，

所以m2－9m－5＝5，

解得m＝10或－1.

答案：10或－1

9．若式子3x2－mx－2因式分解的结果是(3x＋2)(x＋n)，试求实数m，n的值．

解：∵(3x＋2)(x＋n)＝3x2＋(3n＋2)x＋2n＝3x2－mx－2，

∴∴

10．用因式分解法求下列方程的解集：

(1)x2－10x＋9＝0；

(2)2(x－3)＝3x(x－3)；

(3)4(3x－2)(x＋1)＝3x＋3；

(4)2(2x－3)2－3(2x－3)＝0；

(5)2x2－16＝x2＋5x＋8；

(6)(3x－1)2＋3(3x－1)＋2＝0.

解：(1)原方程可化为(x－1)(x－9)＝0，所以x＝1或x＝9；

所以该方程的解集为{1，9}．

(2)原方程整理，得(x－3)(2－3x)＝0，

所以x－3＝0或2－3x＝0，

所以x＝3或x＝；

所以该方程的解集为.

(3)原方程可化为4(3x－2)(x＋1)－3(x＋1)＝0，

所以(x＋1)(12x－11)＝0，所以x＝－1或x＝；

所以该方程的解集为.

(4)原方程可化为(2x－3)[2(2x－3)－3]＝0，

(2x－3)(4x－9)＝0，所以x＝或x＝；

所以该方程的解集为.

(5)原方程可化为2x2－x2－5x－16－8＝0，

x2－5x－24＝0，(x－8)(x＋3)＝0，

所以x＝8或x＝－3；

所以该方程的解集为{8，－3}．

(6)原方程可化为[(3x－1)＋1][(3x－1)＋2]＝0，

3x(3x＋1)＝0，所以x＝0或x＝－；

所以该方程的解集为.

[B级　综合运用]

11．(多选)下列命题为真命题的是(　　)

A．若ab＝1，则a＝

B．若x2＝x，则x＝1

C．若a＝b，c≠0，则ac＝bc

D．若(a＋1)x＝(a2＋1)y，则x＝y

解析：选AC　易知A为真命题；x2＝x，即x(x－1)＝0，解得x＝0或x＝1，故B为假命题；易知C为真命题；由(a＋1)x＝(a2＋1)y，解得y＝x，只有当a＝0或a＝1时，x＝y才成立，故D为假命题．

12.如图所示，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长、宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为(　　)

A．2a＋b  B．4a＋b

C．a＋2b  D．a＋3b

解析：选A　由题意可知，9张卡片的总面积为4a2＋4ab＋b2，

∵4a2＋4ab＋b2＝(2a＋b)2，

∴大正方形的边长为2a＋b.故选A.

13.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．(注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去．)

(1)示意图中，BD表示户斜，则线段CE的长为________尺，线段DF的长为________尺；

(2)户斜长为________尺．

解析：(1)由“横放，竿比门宽长出四尺”可得CE＝4尺， 由“竖放，竿比门高长出二尺”可得DF＝2尺．

(2)设户斜x尺，则题图中BD＝x，BC＝BE－CE＝x－4(x>4)，

CD＝CF－DF＝x－2(x>2)．

又在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，

由勾股定理得：BC2＋CD2＝BD2,

所以(x－4)2＋(x－2)2＝x2,

整理，得x2－12x＋20＝0,

因式分解，得(x－10)(x－2)＝0,

计算得出x1＝10，x2＝2，

因为x>4且x>2,

所以x＝2舍去，x＝10.

故户斜为10尺．

答案：(1)4　2　(2)10

14．已知方程(2 020x)2－2 019×2 021x－1＝0的较大根为m，方程x2＋2 020x－2 021＝0的较小根为n.求m－n的值．

解：将方程(2 020x)2－2 019×2 021x－1＝0化为(2 0202x＋1)(x－1)＝0，

所以x1＝－，x2＝1，所以m＝1.

同理，由方程x2＋2 020x－2 021＝0可得

(x＋2 021)(x－1)＝0，

所以x1＝－2 021，x2＝1，

所以n＝－2 021，

所以m－n＝2 022.

[C级　拓展探究]

15．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)

(1)用含m，n的代数式表示图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和；

(2)观察图形，将代数式2m2＋5mn＋2n2因式分解；

(3)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求(m＋n)2的值．

解：(1)题图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为2(m＋2n)＋2(2m＋n)＝6m＋6n＝6(m＋n)．

(2)2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为(m＋2n)(2m＋n)．

(3)依题意得，2m2＋2n2＝58，mn＝10，∴m2＋n2＝29.

∵(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2，∴(m＋n)2＝29＋20＝49.