必修 第一册4.5 函数的应用（二）精练

这是一份必修 第一册4.5 函数的应用（二）精练，共6页。

1．(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝lg4x D．f(x)＝ex－2
解析：选ACD f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号．故选A、C、D.
2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，下一个有根区间是( )
A．[2，2.5] B．[2.5，3]
C．[2，2.25] D．[2.75，3]
解析：选A 令f(x)＝x3－2x－5，f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝5.625>0，f(2)f(2.5)<0，所以由零点存在定理可知下一个有根区间是[2，2.5]，故选A.
3．用二分法求方程的近似解，求得f(x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：
则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为( )
A．1.6 B．1.7
C．1.8 D．1.9
解析：选C 由表格可得，函数f(x)＝x3＋2x－9的零点在区间(1.75，1.812 5)内．结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为1.8.故选C.
4．(2021·山西太原高一质检)已知函数y＝f(x)为[0，1]上的连续函数，且f(0)·f(1)<0，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至多等分的次数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C 设需计算n次，则n满足eq \f(1,2n)<0.1，即2n>10，故计算4次就可满足要求，故选C.
5．已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(x)的零点同时在区间(0，4)，(0，2)，(1，2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))内，则与f(0)符号相同的是( )
A．f(1) B．f(2)
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) D．f(4)
解析：选A 零点在(0，4)内，则有f(0)·f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，取中点2；
零点在(0，2)内，则有f(0)·f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0，取中点1；零点在(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，则f(1)>0，f(2)<0，取中点eq \f(3,2)；零点在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))内，则有f(1)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))<0，则f(1)>0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))<0.
所以与f(0)符号相同的是f(1)．
6．若用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是________．
解析：精确度为0.001，即|a－b|<0.001，又b>a，∴b－a<0.001.
答案：b－a<0.001
7．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.
答案：a2＝4b
8．用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c＝eq \f(3,2)，则下一个含根的区间是________．
解析：令f(x)＝ln x－2＋x，
∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝ln eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＜0，
∴下一个含根的区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
9．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
解：(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－eq \f(1,3)<0，所以f(0)·f(2)<0，由函数零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解．
(2)取x1＝eq \f(1,2)×(0＋2)＝1，得f(1)＝eq \f(1,3)>0，
由此可得f(1)·f(2)<0，下一个有解区间为(1，2)．
再取x2＝eq \f(1,2)×(1＋2)＝eq \f(3,2)，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \f(1,8)<0，
所以f(1)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))<0，下一个有解区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
再取x3＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,2)))＝eq \f(5,4)，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))＝eq \f(17,192)>0，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))<0，下一个有解区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(3,2))).
综上所述，所求的实数解x0在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(3,2)))内．
10．已知方程2x＋2x＝5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间；
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．
参考数值：
解：(1)令f(x)＝2x＋2x－5.
因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．
因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，
f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，
所以方程2x＋2x＝5有一解在(1，2)内．
(2)用二分法逐次计算，列表如下：
因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，
且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，
所以函数的零点近似值为1.312 5，
即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5.
[B级 综合运用]
11．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝eq \f(a＋b,2)与真实零点的误差最大不超过( )
A.eq \f(ε,4) B.eq \f(ε,2)
C．ε D．2ε
解析：选B 真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－eq \f(a＋b,2)＝eq \f(a＋b,2)－a＝eq \f(b－a,2)12．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))>0，则( )
A．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，\f(a＋b,2)))上有零点
B．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，b))上有零点
C．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，\f(a＋b,2)))上无零点
D．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，b))上无零点
解析：选B 由f(a)·f(b)<0，f(a)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))>0可知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))·f(b)<0，根据零点存在定理可知f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，b))上有零点．
13．已知f(x)＝eq \f(1,x)－ln x，在区间(n，n＋1)(n∈Z)上有一个零点x0，则n＝________．若用二分法求x0的近似值(精确度0.01)，则至少需要将区间等分________次．
解析：f(x)＝eq \f(1,x)－ln x在(0，＋∞)上为减函数，
又f(1)＝1>0，f(2)＝eq \f(1,2)－ln 2<0，
∴f(x)的零点x0∈(1，2)，故n＝1.
设至少需等分n次，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)≤0.01且n∈N，
解得n≥7，故至少需等分7次．
答案：1 7
14．在一个风雨交加的夜里，某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段查找，困难很多，每查一个点需要很长时间．
(1)维修线路的工人师傅应怎样工作，才能每查一次，就把待查的线路长度缩减一半？
(2)要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右，最多要查多少次？
解：(1)如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E来查，依次类推…
(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此最多只要7次就够了．
[C级 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝2x2－8x＋m＋3为R上的连续函数．
(1)若函数f(x)在区间[－1，1]上存在零点，求实数m的取值范围；
(2)若m＝－4，判断f(x)在(－1，1)上是否存在零点？若存在，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．
解：(1)易知函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，
∵f(x)在区间[－1，1]上存在零点，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－1）≥0，,f（1）≤0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＋8＋m＋3≥0，,2－8＋m＋3≤0，))∴－13≤m≤3，
∴实数m的取值范围是[－13，3]．
(2)当m＝－4时，f(x)＝2x2－8x－1，
易求出f(－1)＝9，f(1)＝－7.
∵f(－1)·f(1)<0，f(x)在区间(－1，1)上单调递减，
∴函数f(x)在(－1，1)上存在唯一零点x0.
∵f(0)＝－1<0，∴f(－1)·f(0)<0，
∴x0∈(－1，0)．
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(7,2)>0，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))·f(0)<0，
∴x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)).
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝eq \f(9,8)>0，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))·f(0)<0，
∴x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)).
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)))＝eq \f(1,32)>0，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)))·f(0)<0，
∴x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，0)).
∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)－0))＝eq \f(1,8)∴所求区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，0)).
x
1
2
1.5
1.625
1.75
1.875
1.812 5
f(x)
－6
3
－2.625
－1.459
－0.14
1.341 8
0.579 3
x
1.25
1.281 25
1.312 5
1.375
1.5
2x
2.378
2.430
2.484
2.594
2.828
区间
中点的值
中点函数值符号
(1，2)
1.5
f(1.5)>0
(1，1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25，1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25，1.375)
1.312 5
f(1.312 5)>0
(1.25，1.312 5)
1.281 25
f(1.281 25)<0