2022年重庆市中考数学模拟试题（4）（原卷版+解析版）

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2022年重庆市中考数学模拟试题（4）
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【答案】A
【解析】根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A．
2．（4分）下列四个手机APP图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
3．（4分）下列调查，样本具有代表性的是（　　）
A．了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查
B．了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查
C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查
D．了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查
【答案】B
【解析】A、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查，不具代表性、广泛性，故A错误；
B、了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故B正确；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误；
D、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故D错误；
故选：B．
4．（4分）如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第n个图案中有白色六边形地面砖（　　）块．

A．6+4（n+1） B．6+4n C．4n﹣2 D．4n+2
【答案】D
【解析】∵第一个图案中，有白色的是6个，后边是依次多4个．
∴第n个图案中，是6+4（n﹣1）＝4n+2．
故选：D．
5．（4分）已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的面积比为（　　）
A．4：9 B．2：3 C．8：18 D．16：81
【答案】D
【解析】∵两个相似三角形的周长比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为4：9，
∴两个相似三角形的面积比为16：81，
故选：D．
6．（4分）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故正确；
②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故错误；
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故正确；
④等边三角形既是轴对称图形不是中心对称图形，故错误，
故选：B．
7．（4分）×﹣×运算结果应在哪两个连续自然数之间（　　）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】B
【解析】原式＝3﹣4，
∵2＜＜2.3，
∴2＜3﹣4＜3．
故选：B．
8．（4分）若2x﹣y＝﹣1，则3+4x﹣2y的值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【答案】C
【解析】因为3+4x﹣2y
＝3+2（2x﹣y），
当2x﹣y＝﹣1时，
原式＝3+2×（﹣1）＝1．
故选：C．
9．（4分）PA，PB分别切⊙O于A，B两点，点C为⊙O上不同于AB的任意一点，已知∠P＝40°，则∠ACB的度数是（　　）

A．70° B．110° C．70°或110° D．不确定
【答案】C
【解析】如图，连接OA、OB，
∵PA，PB分别切⊙O于A，B两点，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
当点C1在上时，则∠AC1B＝∠AOB＝70°，
当点C2在上时，则∠AC2B+∠AC1B＝180°，
∴∠AC2B＝110°，
故选：C．

10．（4分）如图，小明为了测量大楼AB的高度，他从点C出发，沿着斜坡面CD走52米到点D处，测得大楼顶部点A的仰角为37°，大楼底部点B的俯角为45°，已知斜坡CD的坡度为i＝1：2.4．大楼AB的高度约为（　　）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

A．32米 B．35米 C．36米 D．40米
【答案】B
【解析】作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，
∵CD的坡度为i＝1：2.4，CD＝52米，
∴＝1：2.4，
∴＝52，
∴DF＝20（米）；
∴BE＝DF＝20（米），
∵∠BDE＝45°，
∴DE＝BE＝20（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝37°，
∴AE＝tan37°•20＝15（米）
∴AB＝AE+BE＝35（米）．
故选：B．

11．（4分）如图，菱形OABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为（　　）

A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】如图，过点A作AE⊥OC于E，

∵四边形ABCO是菱形，
∴AO∥CB，OA＝OC，且∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC，
∴S△AOE＝S△AOC，
∵OA∥BC，
∴S△OAD＝S△OAC＝2，
∴S△AOE＝＝，
∴k＝2
故选：C．
12．（4分）若整数a使得关于x的方程2﹣＝的解为非负数，且使得关于y的不等式组至少有四个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（　　）
A．17 B．18 C．22 D．25
【答案】C
【解析】，
不等式组整理得：，
由不等式组至少有四个整数解，得到﹣1＜y≤a，
解得：a≥3，即整数a＝3，4，5，6，…，
2﹣＝，
去分母得：2（x﹣2）﹣3＝﹣a，
解得：x＝，
∵≥0，且≠2，
∴a≤7，且a≠3，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为4，5，6，7，之和为22．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）计算：（）0﹣3﹣1＝________．
【答案】．
【解析】原式＝1﹣
＝．
14．（4分）如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，AD＝2AB，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是________．

【答案】﹣．
【解析】∵矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBF＝45°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE＝45°，
∴AB＝AE＝1，BE＝，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝ED＝1，
∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF
＝1×2﹣×1×1﹣＝﹣．
15．（4分）在一次数学测验中，随机抽取了8份试卷，对其得分进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则这8个同学的得分的中位数是________分．

【答案】86．
【解析】∵这8位同学的中位数为第4、5个数据的平均数，而第4个数据为85、第5个数据为87，
∴这8个同学的得分的中位数是＝86分，
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，S△ABC＝6cm2，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________．

【答案】7cm
【解析】∵∠B＝90°，AB＝3cm，S△ABC＝6cm2，
∴BC＝4cm，
由折叠的性质知，AE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+CE＝AB+BC＝3+4＝7cm．
17．（4分）小宁和弟弟小强分别从家和图书馆出发，沿同一条笔直的马路相向而行，小宁先出发5分钟后，小强骑自行车匀速回家，小宁开始跑步中途改为步行，且步行的速度为跑步速度的一半，到达图书馆恰好用了35分钟，两人之间的距离y（m）与小宁离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示，则当弟弟到家时，小宁离图书馆的距离为________米．

【答案】1500．
【解析】由图可得，
小宁跑步的速度为：（4500﹣3500）÷5＝200m/min，则步行速度为：200×＝100m/min，
设小宁由跑步变为步行的时刻为a分钟，
200a+（35﹣a）×100＝4500，
解得，a＝10，
设小强骑车速度为xm/min，
200（10﹣5）+（10﹣5）x＝3500﹣1000，
解得，x＝300，
即小强骑车速度为300m/min，
小强到家用的时间为：4500÷300＝15min，
则当弟弟小强到家时，小宁离图书馆的距离为：4500﹣10×200﹣（5+15﹣10）×100＝1500m，
18．（4分）某地突发地震期间，为了紧急安置房屋倒塌的30名灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷若干个，若所搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这30名灾民，则不同的搭建方案有________种．
【答案】3．
【解析】设6人的帐篷有x顶，4人的帐篷有y顶，
依题意，有：6x+4y＝30，整理得y＝7.5﹣1.5x，
因为x、y均为非负整数，所以7.5﹣1.5x≥0，
解得：0≤x≤5，
从0到5的奇数共有3个，
所以x的取值共有3种可能．
三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
19．（8分）如图，已知∠A＝90°+x°，∠B＝90°﹣x°，∠CED＝90°，4∠C﹣∠D＝30°，射线EF∥AC．
（1）判断射线EF与BD的位置关系，并说明理由；
（2）求∠C，∠D的度数．

【答案】见解析
【解析】（1）EF∥BD，
∵∠A+∠B＝（90+x）°+（90﹣x）°＝180°，
∴AC∥BD，
∵EF∥AC，
∴EF∥BD；

（2）∵AC∥EF∥BD，
∴∠CEF＝∠C，∠DEF＝∠D，
∵∠CED＝90°，
∴∠C+∠D＝90°，
联立，
解得．
20．（8分）为推广阳光体育“大课间”活动，我县某中学决定在学生中开设A：实心球．B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．

【答案】见解析
【解析】（1）15÷10%＝150（名），
答；在这项调查中，共调查了150名学生；
（2）本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数＝150﹣15﹣60﹣30＝45（人），
它所占百分比＝×100%＝30%，
画图如下：

（3）用A表示男生，B表示女生，画图如下：

共有20种等可能的结果数，其中同性别学生的结果数是8，
所有P（刚好抽到同性别学生）＝．
四．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）
21．（10分）计算：
（1）（a+b）（a﹣b）+a（3b﹣a）；
（2）（1﹣x+）．
【答案】见解析
【解析】（1）原式＝a2﹣b2+3ab﹣a2
＝3ab﹣b2．

（2）原式＝（+）÷
＝•
＝﹣x（x﹣1）
＝﹣x2+x．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于分别交于点C、点D，直线AB的解析式为y＝﹣x+5，直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），两直线交于点E（m，），且OB：OC＝5：4．
（1）求直线CD的解析式；
（2）将直线CD向下平移一定的距离，使得平移后的直线经过A点，且与y轴交于点F，求四边形AEDF的面积．

【答案】见解析
【解析】（1）将点E（m，）代入直线AB的解析式y＝﹣x+5，
解得m＝，
∴点E的坐标为（，），
OB：OC＝5：4，OB＝5，
∴OC＝4，
∴点C坐标为（﹣4，0），
将点E（，），点C（﹣4，0），
代入直线CD的解析式y＝kx+b中，

解得
所以直线CD解析式为y＝x+2．
（2）当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝8，
所以A点坐标为（8，0），
∵直线CD向下平移一定的距离，平移后的直线经过A点，且与y轴交于点F，
∴设直线AF的解析式为y＝x+d，
把A（8，0）代入得d＝﹣4，
所以直线AF的解析式为y＝x﹣4．
所以点F的坐标为（0，﹣4）．
如图，

作EG⊥x轴于点G，
所以四边形AEDF的面积为：
S梯形ODEG+S△AEG+S△AOF
＝（2+）×+××（8﹣）+4×8
＝32．
答：四边形AEDF的面积为32．
23．（10分）九龙坡区某社区开展全民读书活动，以丰富人们业余文化生活现计划筹资30000元用于购买科普书籍和文艺刊物
（1）计划购买文艺刊物的资金不少于购买科普书籍资金的2倍，那么最少用多少资金购买文艺刊物？
（2）经初步了解，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．经筹委会进步宣传，自愿参加的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞50），如果每户平均集资在150元的基础上减少a%，那么实际筹资将比计划筹资多6000元，求a的值．
【答案】见解析
【解析】（1）设用x元购买文艺刊物，则用（30000﹣x）元购买科普书籍，根据题意得
x≥2（30000﹣x），
解得x≥20000．
答：最少用20000元购买文艺刊物；

（2）由题意得200（1+a%）×150（1﹣a%）＝6000+30000，
解得a1＝100，a2＝50（不合题意舍去），
∵a＞50，
∴a＝100．
答：a的值为100．
24．（10分）在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM，在BC下方有一点N，满足∠CAD＝∠BCN，连接MN．
（1）若∠BCN＝60°，AE＝5，求△ABE的面积；
（2）若MA＝MN，MC＝EA+CN，求证：AB＝AE．

【答案】见解析
【解析】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCN＝60°，
又AC⊥CD，
∴AB⊥AC，
∴∠B＝30°，
在Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴BC＝2AE＝10，
∴AC＝BC＝5，
∴，
∴；
（2）证明：延长CN至G，使CG＝AC，
由（1）知∠ACM＝∠GCM，
又MC＝MC，
∴△ACM≌△GCM，
∴AM＝GM，∠MAC＝∠G，
又AM＝MN，
∴GM＝MN，
∴∠G＝∠MNG＝∠MAC＝∠MAE+∠EAC，
又由（1）可得EC＝EA，
∴∠EAC＝∠ACE＝∠NCM，
∵∠MNG＝∠NCM+∠NMC，
∴∠NMC＝∠MAE，
在MC上截取MF＝AE，

∴△MAE≌△NMF，
∴ME＝FN，
又MC＝ME+CE＝MF+CF，MC＝EA+CN，
∵EA＝MF＝CE，
∴ME＝CN＝FN＝CF，
∴△NCF为等边三角形，
∴∠MCN＝60°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴，
∵AE＝BC，
∴AB＝AE．
25．（10分）任意一个四位数n可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一个新的四位数m，记f（n）＝．如n＝1234，则m＝3412，f（1234）＝＝﹣22．
（1）直接写出f（1111）＝________，f（5025）＝________，并求证：对任意一个四位数n，f（n）均为整数．
（2）若s＝1200+10a+b，t＝1000b+100a+14（1≤a≤5，1≤b≤5，a、b均为整数），当f（s）+f（t）是一个完全平方数时，求满足条件s的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）∵n＝1111，
∴m＝1111，
∴f（1111）＝＝0，
∵n＝5025，
∴m＝2550，
∴f（5025）＝＝25，
设任意一个四位数n＝，（a，b，c，d为正整数，且a≠0，c≠0），
∴m＝，
∴n﹣m＝﹣＝1000a+100b+10c+d﹣（1000c+100d+10a+b）＝990a+99b﹣990c﹣99d＝99（10a+b﹣10c﹣d），
∴f（n）＝＝＝10a+b﹣10c﹣d，
∵a，b，c，d为正整数，且a≠0，c≠0，
∴f（n）均为整数，对任意一个四位数n，f（n）均为整数．
故答案为：0，25；

（2）∵s＝1200+10a+b且1≤a≤5，∴m＝1000a+100b+12，
∴s﹣m＝1200+10a+b﹣（1000a+100b+12）＝﹣990a﹣99b+1188＝99（﹣10a﹣b+12），
∴f（s）＝＝12﹣10a﹣b
∵t＝1000b+100a+14且1≤b≤5，
∴m'＝1400+10b+a，
∴t﹣m'＝1000b+100a+14﹣（1400+10b+a）＝990b+99a﹣1386＝99（10b+a﹣14）
∴f（t）＝＝10b+a﹣14，
∴f（s）+f（t）＝12﹣10a﹣b+10b+a﹣14＝9（b﹣a）﹣2，
∵f（s）+f（t）是一个完全平方数，
∴9（b﹣a）﹣2是一个完全平方数，
∵1≤a≤5，1≤b≤5，
∴b﹣a＝1或2或3或4，
当b﹣a＝1时，f（s）+f（t）＝7，不是完全平方数，
当b﹣a＝2时，f（s）+f（t）＝16，是完全平方数，
∵s＝1200+10a+b，且s要越大，
∴a越大，
∴a＝3，b＝5，此时，s＝1200+30+5＝1235，
当b﹣a＝3时，f（s）+f（t）＝25，是完全平方数，
∵s＝1200+10a+b，且s要越大，
∴a越大，
∴a＝2，b＝5，此时，s＝1200+20+5＝1225，
当b﹣a＝4时，f（s）+f（t）＝34，不是完全平方数，
即：当f（s）+f（t）是一个完全平方数时，满足条件s的最大值1235．
五．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
26．（12分）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．

【答案】见解析
【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），
∴，
解得，
故抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）令x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
则点C的坐标为（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点E坐标为（1，﹣4），
设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，
∵DC2＝OD2+OC2＝m2+32，DE2＝DF2+EF2＝（m+4）2+12，
∵DC＝DE，
∴m2+9＝m2+8m+16+1，
解得m＝﹣1，
∴点D的坐标为（0，﹣1）；

（3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），
∴CO＝DF＝3，DO＝EF＝1，
根据勾股定理，CD＝＝＝，
在△COD和△DFE中，
∵，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF＝∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠EDF+∠CDO＝90°，
∴∠CDE＝180°﹣90°＝90°，
∴CD⊥DE，
①分OC与CD是对应边时，
∵△DOC∽△PDC，
∴＝，
即＝，
解得DP＝，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则＝＝，
即＝＝，
解得DG＝1，PG＝，
当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣DO＝1﹣1＝0，
所以点P（﹣，0），
当点P在点D的右边时，OG＝DO+DG＝1+1＝2，
所以，点P（，﹣2）；
②OC与DP是对应边时，
∵△DOC∽△CDP，
∴＝，
即＝，
解得DP＝3，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则＝＝，
即＝＝，
解得DG＝9，PG＝3，
当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣OD＝9﹣1＝8，
所以，点P的坐标是（﹣3，8），
当点P在点D的右边时，OG＝OD+DG＝1+9＝10，
所以，点P的坐标是（3，﹣10），
综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．