人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示完美版ppt课件
展开平面向量基本定理如果e1,,e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1, λ2使 a=λ1 e1+ λ2e2
若e1,e2不共线,我们把{e1,e2 }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底(base).
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i, j作为基底。对于平面上的一个向量a,由平面向量的基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj则有序实数对(x,y)称为向量a的坐标,记作a=(x, y).
一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λ a
(1) |λ a|=λ |a|(2)当λ>0时,λa的方向与的a方向相同 当λ<0时, λa的方向与a的方向相反.
思考1:已知a=(x,y),你能得出λa的坐标吗?:
因为a=(x,y) 即a=xi+yj. 所以λa =λ(x,y)=λ(xi+yi)=λxi+λyj 即λa=λ(x,y)=(λx,λy)进而得出向量数乘的坐标表示:实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
例1已知a=(2, 1),b=(-3, 4),求3a +4b的坐标.
解: 3a+4b =3(2,1)+4(-3, 4) =(6,3)+(-12,16) =(-6,19).
如何用坐示表示两个向量共线的条件?
向量a (a≠0) 与b共銭的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.没a=(x1,y1),b=(x2,y2)其中a≠ 0 因为b=λa即 (x2,y2)= λ(x1,y1) (x2,y2)= (λx1, λy1)
因为a≠0,即(x1,y1) ≠ 0 所以x1,y1中至少有一个不为零。不妨设x1 ≠O .由x2=λx1得λ=x1/x2,代入y2=λy1可得x1y2-x2y1=0
两个向量平行的充要条件: 向量a,b (a≠ 0)平行(共线)的充要条件是x1y2-x2y1=0
例3已知a=(4, 2),b=(6,y),且a//b, 求y.解: 因为a//b, 所以4y-2×6=0 解得y=3.
已知A(-1, -1),B(1,3),C(2, 5),判断A,B,C三点之间的位置关系.
解:在平面直角坐标系中作出A, B, C三点.观察图形,我我猜想A,B, C三点共线.下面来证明: 因为AB=(1-(-1), 3-(-1))=(2,4), AC=(2-(-l),5-(-1))=(3,6), 又2×6-4×3=0, 所以AB//AC. 又直线AB,直线AC有公共点A, 所以A, B, C三点共线.
必做题:33页练习1, 2, 3 1.已知a=(3,2),b=(0,-1), 求-2a+4b,4a +3b的坐标. 2.当x为何值时,a=(2,3)与b=(x,-6)共线? 选作题:6. 已知点A(1,1). B(-1, 5), 且AC=-AB, AD=2AB, AE=-AB,求点C. D, E的坐标.
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