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数学九年级下册第27章 圆综合与测试单元测试同步测试题
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这是一份数学九年级下册第27章 圆综合与测试单元测试同步测试题，共36页。
第二十七章圆章末测试
一．选择题（共8小题，每题 3分）
1．如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°．则∠BAD的度数是（ ）
A．72° B．54° C．45° D．36°
2．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（ ）
A．3 B．8 C． D．2
3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
4．如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
5．关于半径为5的圆，下列说法正确的是（ ）
A．若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外
B．若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5
C．圆上任意两点之间的线段长度不大于10
D．圆上任意两点之间的部分可以大于10π
6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于（ ）
A．36° B．54° C．60° D．27°
7．如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为（ ）
A．5 B． C． D．
8．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
二．填空题（共6小题，每题3分）
9．在边长为1的3×3的方格中，点B、O都在格点上，则劣弧BC的长是 _________ ．
10．已知扇形弧长为2π，半径为3cm，则此扇形所对的圆心角为 _________ 度．
11．已知⊙A的半径为5，圆心A（3，4），坐标原点O与⊙A的位置关系是 _________ ．
12．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移 _________ cm时与⊙O相切．
13．如图，∠APB=30°，点O是射线PB上的一点，OP=5cm，若以点O为圆心，半径为1.5cm的⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为 _________ cm．
14．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB= _________ cm．
三．解答题（共10小题）
15．（6分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中点．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若BC=6cm，求图中阴影部分的面积．
16．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，以AD为直径的⊙0与AB、AC两边分别交于点E、F．连接DE、DF．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AD=BC=2．求ED的长．
17．（6分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．
18．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
19．（8分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB．
20．（8分）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若=，求cos∠DAB．
21．（8分）如图，AC=BC，∠C=90°，点E在AC上，点F在BC上，CE=CF，连结AF和BE，点O在BE上，⊙O经过点B、F，交BE于点G．
（1）求证：△ACF≌△BCE；
（2）求证：AF是⊙O的切线．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
24．（10分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．
（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
第二十七章圆章末测试（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°．则∠BAD的度数是（ ）
A． 72° B．54° C．45° D． 36°
考点： 圆周角定理．
分析： 先根据圆周角定理求出∠B的度数，再根据AD⊥BC求出∠AEB的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
解答： 解：∵∠B与∠D是同弧所对的圆周角，∠D=36°，
∴∠B=36°．
∵AD⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAD=90°﹣36°=54°．
故选B．
点评： 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．
2．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（ ）
A． 3 B．8 C． D． 2
考点： 圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；射影定理．
专题： 计算题．
分析： 若连接CD、AC，则根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，求得AC=CD；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE=AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．
解答： 解：连接CA、CD；
根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，
又∵所对的圆周角是∠CBA，
∵∠CBD=∠CBA，
∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）；
∴△CAD是等腰三角形；
过C作CE⊥AB于E．
∵AD=4，则AE=DE=2；
∴BE=BD+DE=7；
在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：
BC2=BE•AB=7×9=63；
故BC=3．
故选A．
点评： 此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A． 70° B．60° C．50° D． 40°
考点： 圆的认识；平行线的性质．
分析： 首先由AD∥OC可以得到∠BOC=∠DAO，又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．
解答： 解：∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180﹣70°﹣70°=40°．
故选D．
点评： 此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．
4．如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（ ）
A． 60° B．45° C．30° D． 20°
考点： 相交两圆的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．
分析： 利用等圆的性质进而得出△AO1O2是等边三角形，再利用圆周角定理得出∠ACO2的度数．
解答： 解：连接O1O2，AO2，
∵等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，
∴AO1=AO2=O1O2，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2=60°，
∴∠ACO2的度数为；30°．
故选：C．
点评： 此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定和圆周角定理等知识，得出△AO1O2是等边三角形是解题关键．
5．关于半径为5的圆，下列说法正确的是（ ）
A． 若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外
B． 若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5
C． 圆上任意两点之间的线段长度不大于10
D． 圆上任意两点之间的部分可以大于10π
考点： 点与圆的位置关系．
分析： 根据点与圆的位置关系进而分别判断得出即可．
解答： 解：A、关于半径为5的圆，有一点到圆心的距离为5，则该点在圆上，故此选项错误；
B、关于半径为5的圆，若有一点在圆外，则该点到圆心的距离大于5，故此选项错误；
C、圆上任意两点之间的线段长度不大于10，此选项正确；
D、圆上任意两点之间的部分不可以大于10π，故此选项错误；
故选：C．
点评： 此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d＜r．
6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于（ ）
A． 36° B．54° C．60° D． 27°
考点： 切线的性质．
分析： 根据题目条件易求∠BOA，根据圆周角定理求出∠C=∠BOA，即可求出答案．
解答： ∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=36°，
∴∠BOA=54°，
∴由圆周角定理得：∠C=∠BOA=27°，
故选D．
点评： 本题考查了三角形内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠BOA度数．
7．如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为（ ）
A． 5 B． C． D．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： 连接AO，AB，因为PA是切线，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，所以PB=2；BC是直径，所以∠BAC=90°，∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
进而证明△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性质即可求出BA和AC的比值，进一步利用勾股定理即可求出AC的长．
解答： 解：连接AO，AB，因为PA是切线，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，
所以PB=2；
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
因为∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
所以∠PAB=∠CAO，
又因为∠CAO=∠ACO，
所以∠PAB=∠ACO，
又因为∠P是公共角，
所以△PAB∽△PCA，
故，
所以，
在Rt△BAC中，AB2+（2AB）2=62；
解得：AB=，
所以AC=
故选：D．
点评： 本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，题目的综合性很强，难度中等．
8．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
A． B．π C．2π D． 4π
考点： 弧长的计算；切线的性质．
分析： 连接OA，OB，根据切线的性质，以及四边形的内角和定理求得∠AOB的度数，利用弧长的计算公式即可求解．
解答： 解：连接OA，OB．
则OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的长是：=2π．
故选C．
点评： 本题主要考查了切线的性质定理以及弧长的计算公式，正确求得∠AOB的度数是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．在边长为1的3×3的方格中，点B、O都在格点上，则劣弧BC的长是 ．
考点： 弧长的计算．
分析： 根据网格得出BO的长，再利用弧长公式计算得出即可．
解答： 解：如图所示：∠BOC=45°，BO=2，
∴劣弧BC的长是：=．
故答案为：．
点评： 此题主要考查了弧长公式的应用，熟练记忆弧长公式是解题关键．
10．已知扇形弧长为2π，半径为3cm，则此扇形所对的圆心角为 120 度．
考点： 弧长的计算．
分析： 直接利用扇形弧长公式代入求出即可．
解答： 解：∵扇形弧长为2π，半径为3cm，
∴l==2π，即=2π，
解得：n=120°，
∴此扇形所对的圆心角为：120°．
故答案为：120．
点评： 此题主要考查了弧长公式的应用，正确利用弧长公式是解题关键．
11．已知⊙A的半径为5，圆心A（3，4），坐标原点O与⊙A的位置关系是 在⊙A上 ．
考点： 点与圆的位置关系；坐标与图形性质．
分析： 先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．
解答： 解：∵点A的坐标为（4，3），
∴OA==5，
∵半径为5，
而5=5，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
点评： 本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r．
12．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移 2 cm时与⊙O相切．
考点： 直线与圆的位置关系；垂径定理．
分析： 根据直线和圆相切，则只需满足OH=5．又由垂径定理构造直角三角形可求出此时OH的长，从而计算出平移的距离．
解答： 解：∵直线和圆相切时，OH=5，
又∵在直角三角形OHA中，HA==4，OA=5，
∴OH=3．
∴需要平移5﹣3=2cm．故答案为：2．
点评： 本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，则应满足d=R．
13．如图，∠APB=30°，点O是射线PB上的一点，OP=5cm，若以点O为圆心，半径为1.5cm的⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为 2或8 cm．
考点： 直线与圆的位置关系．
分析： 首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即可求得O′P的长，继而求得答案．
解答： 解：①如图1，当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，且切点为C，
连接O′C，则O′C⊥PA，
即∠O′CP=90°，
∵∠APB=30°，O′C=1.5cm，
∴O′P=2O′C=3cm，
∵OP=5cm，
∴OO′=OP﹣O′P=2（cm）；
②如图2：同理可得：O′P=3cm，
∴O′O=8cm．
故答案为：2或8．
点评： 此题考查了切线的性质与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
14．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB= 2 cm．
考点： 垂径定理．
专题： 推理填空题．
分析： 连接AC、BC．利用圆周角定理知∠D=∠B，然后根据已知条件“CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H”，利用垂径定理知BH=AB；最后再由直角三角形CHB的正切函数求得BH的长度，从而求得AB的长度．
解答： 解：连接AC、BC．
∵∠D=∠B（同弧所对的圆周角相等），∠D=30°，
∴∠B=30°；
又∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，
∴BH=AB；
在Rt△CHB中，∠B=30°，CH=1cm，
∴BH=，即BH=；
∴AB=2cm．
故答案是：2．
点评： 本题考查了垂径定理和直角三角形的性质，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
三．解答题（共10小题）
15．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中点．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若BC=6cm，求图中阴影部分的面积．
考点： 圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算．
分析： （1）先由C是弧AB的中点可得出=，由圆周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形内角和定理可知∠ACB=60°，故可得出结论；
（2）连接BO、OC，过O作OE⊥BC于E，由垂径定理可得出BE的长，根据圆周角定理可得出∠BOC的度数，在Rt△BOE中由锐角三角函数的定义求出OB的长，根据S阴影=S扇形﹣S△BOC即可得出结论．
解答： 解：（1）△ABC是等边三角形．
∵C是弧AB的中点，
∴=，
∴∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°
∴∠ACB=60°，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）连接BO、OC，过O作OE⊥BC于E，
∵BC=6cm，
∴BE=EC=3cm，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOE=60°，在Rt△BOE中，sin60°=，
∴OB=6cm，
∴S扇形==12πcm2，
∵S△BOC=×6×3=9cm2，
∴S阴影=12π﹣9cm2，
答：图中阴影部分的面积是（12π﹣9）cm2．
点评： 本题考查的是圆周角定理、垂径定理及扇形的面积等相关知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，以AD为直径的⊙0与AB、AC两边分别交于点E、F．连接DE、DF．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AD=BC=2．求ED的长．
考点： 圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
分析： （1）根据等腰三角形“三合一”的性质推知∠1=∠2．由“直径所对的圆周角是直角”得到∠AED=∠AFD=90°．则根据角平分线的性质证得结论；
（2）在直角△ABD中利用勾股定理求得斜边AB的长度，然后根据面积法来求ED的长度．
解答： （1）证明：如图，∵在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，
∴∠1=∠2．
又∵AD为直径，
∴∠AED=∠AFD=90°，即DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；
（2）如图，∵在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，AD=BC=2．
∴BD=CD=BC=．
∴由勾股定理得到AB==5．
∵由（1）知DE⊥AB，
∴AD•BD=AB•ED，
∴ED===2．
故ED的长为2．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理．注意，勾股定理应用于直角三角形中．
17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．
考点： 圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
分析： （1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．
（2）求△ABC外接圆的面积，只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．
解答： （1）证明：如图，设F为AD延长线上一点，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF，
∵∠ADB=∠EDF（对顶角相等），
∴∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE．
（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC，
∵AB=AC，
∴=，
∴AH⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB=∠BAC=×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
设圆半径为r，
则OH=OC•cos30°=r，
∵△ABC中BC边上的高为1，
∴AH=OA+OH=r+r=1，
解得：r=2（2﹣），
∴△ABC的外接圆的周长为：4π（2﹣）．
点评： 此题主要考查圆内接多边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形的外接圆的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
考点： 圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．
专题： 证明题；压轴题．
分析： （1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得=，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；
（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．
解答： 证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，
∴=，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵OB=OD，
∴∠OBD=∠0DB=30°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC=AB，
∵OD=AB，
∴BC=OD．
点评： 此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
19．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB．
考点： 圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE；
（2）由AD2=AE•AC，可得，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，以求得AC⊥BD，由垂径定理即可证得CD=CB．
解答： 证明：（1）如图，∵∠A与∠B是对的圆周角，
∴∠A=∠B，
又∵∠1=∠2，
∴△ADE∽△BCE；
（2）如图，
∵AD2=AE•AC，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
即∠AED=90°，
∴直径AC⊥BD，
∴=，
∴CD=CB．
点评： 此题考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
20．如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若=，求cos∠DAB．
考点： 切线的判定；角平分线的性质；勾股定理；解直角三角形．
专题： 几何综合题．
分析： （1）连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；
（2）连接BC，可证明△ACD∽△ABC，得出比例式，求出BC，求出圆的直径AB，再根据勾股定理得出CE，即可求出答案．
解答： （1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵=，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴=，
=，
∴BC=，
由勾股定理得AB=，
∴OC=，
∵OC∥AD，
∴=，
∴=，
解得AE=，
∴cos∠DAB===．
点评： 本题考查了切线的判定以及角平分线的定义、勾股定理和解直角三角形，是中学阶段的重点内容．
21．如图，AC=BC，∠C=90°，点E在AC上，点F在BC上，CE=CF，连结AF和BE，点O在BE上，⊙O经过点B、F，交BE于点G．
（1）求证：△ACF≌△BCE；
（2）求证：AF是⊙O的切线．
考点： 切线的判定；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）利用“SAS”证明△ACF≌△BCE；
（2）连结OF，如图，根据全等三角形的性质，由△ACF≌△BCE得到∠A=∠B，则∠B+∠AFC=90°，加上∠B=∠OFB，所以∠OFB+∠AFC=90°，则∠AFO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AF是⊙O的切线．
解答： 证明：（1）在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
（2）连结OF，如图，
∵△ACF≌△BCE，
∴∠A=∠B，
而∠A+∠AFC=90°，
∴∠B+∠AFC=90°，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠OFB+∠AFC=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OF⊥AF，
∴AF是⊙O的切线．
点评： 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了全等三角形的判定与性质．
22．如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
考点： 切线的判定；扇形面积的计算．
分析： （1）如图，连接OA；证明∠OAP=90°，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．
解答： 解：（1）如图，连接OA；
∵∠C=60°，
∴∠AOB=120°；而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°；而AB=AP，
∴∠P=∠ABO=30°；
∵∠AOB=∠OAP+∠P，
∴∠OAP=120°﹣30°=90°，
∴PA是⊙O的切线．
（2）如图，过点O作OM⊥AB，则AM=BM=，
∵tan30°=，sin30°=，
∴OM=1，OA=2；
∴=××1=，
=，
∴图中阴影部分的面积=．
点评： 该题主要考查了切线的判定、扇形的面积公式及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用圆周角定理及其推论、垂径定理等几何知识点来分析、判断、解答．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
考点： 扇形面积的计算；垂径定理．
分析： （1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；
（2）根据半圆的面积减去△ABC的面积，即可求解．
解答： 解：（1）在△OCE中，
∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，
∴OE=OC=1，
∴CE=OC=，
∵OA⊥CD，
∴CE=DE，
∴CD=；
（2）∵S△ABC=AB•EC=×4×=2，
∴．
点评： 本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解．
24．如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．
（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
考点： 扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
分析： （1）根据条件可以证得四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠BDC=90°，在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，根据四边形ABCD的周长为15，即可求得BC，即可得到圆的半径；
（2）根据S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD即可求解．
解答： 解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠DCB=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=30°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠BDC=90°
∴BC是圆的直径．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°
∴==，∠BCD=60°
∴AB=AD=DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．
∴BC+BC=15，
解得：BC=6
故此圆的半径为3．
（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．
连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．
在直角△AOE中，∠AOE=30°
∴OE=OA•cos30°=
S△AOD=×3×=．
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣=﹣=．
点评： 本题主要考查了扇形的面积的计算，正确证得四边形ABCD是等腰梯形，是解题的关键．
第二十七章圆章末测试
一．选择题（共8小题，每题 3分）
1．如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°．则∠BAD的度数是（ ）
A．72° B．54° C．45° D．36°
2．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（ ）
A．3 B．8 C． D．2
3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
4．如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
5．关于半径为5的圆，下列说法正确的是（ ）
A．若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外
B．若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5
C．圆上任意两点之间的线段长度不大于10
D．圆上任意两点之间的部分可以大于10π
6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于（ ）
A．36° B．54° C．60° D．27°
7．如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为（ ）
A．5 B． C． D．
8．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
二．填空题（共6小题，每题3分）
9．在边长为1的3×3的方格中，点B、O都在格点上，则劣弧BC的长是 _________ ．
10．已知扇形弧长为2π，半径为3cm，则此扇形所对的圆心角为 _________ 度．
11．已知⊙A的半径为5，圆心A（3，4），坐标原点O与⊙A的位置关系是 _________ ．
12．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移 _________ cm时与⊙O相切．
13．如图，∠APB=30°，点O是射线PB上的一点，OP=5cm，若以点O为圆心，半径为1.5cm的⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为 _________ cm．
14．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB= _________ cm．
三．解答题（共10小题）
15．（6分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中点．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若BC=6cm，求图中阴影部分的面积．
16．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，以AD为直径的⊙0与AB、AC两边分别交于点E、F．连接DE、DF．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AD=BC=2．求ED的长．
17．（6分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．
18．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
19．（8分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB．
20．（8分）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若=，求cos∠DAB．
21．（8分）如图，AC=BC，∠C=90°，点E在AC上，点F在BC上，CE=CF，连结AF和BE，点O在BE上，⊙O经过点B、F，交BE于点G．
（1）求证：△ACF≌△BCE；
（2）求证：AF是⊙O的切线．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
24．（10分）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．
（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
第二十七章圆章末测试（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°．则∠BAD的度数是（ ）
A． 72° B．54° C．45° D． 36°
考点： 圆周角定理．
分析： 先根据圆周角定理求出∠B的度数，再根据AD⊥BC求出∠AEB的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
解答： 解：∵∠B与∠D是同弧所对的圆周角，∠D=36°，
∴∠B=36°．
∵AD⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAD=90°﹣36°=54°．
故选B．
点评： 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．
2．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（ ）
A． 3 B．8 C． D． 2
考点： 圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；射影定理．
专题： 计算题．
分析： 若连接CD、AC，则根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，求得AC=CD；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE=AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．
解答： 解：连接CA、CD；
根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，
又∵所对的圆周角是∠CBA，
∵∠CBD=∠CBA，
∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）；
∴△CAD是等腰三角形；
过C作CE⊥AB于E．
∵AD=4，则AE=DE=2；
∴BE=BD+DE=7；
在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：
BC2=BE•AB=7×9=63；
故BC=3．
故选A．
点评： 此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A． 70° B．60° C．50° D． 40°
考点： 圆的认识；平行线的性质．
分析： 首先由AD∥OC可以得到∠BOC=∠DAO，又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．
解答： 解：∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180﹣70°﹣70°=40°．
故选D．
点评： 此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．
4．如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（ ）
A． 60° B．45° C．30° D． 20°
考点： 相交两圆的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．
分析： 利用等圆的性质进而得出△AO1O2是等边三角形，再利用圆周角定理得出∠ACO2的度数．
解答： 解：连接O1O2，AO2，
∵等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，
∴AO1=AO2=O1O2，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2=60°，
∴∠ACO2的度数为；30°．
故选：C．
点评： 此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定和圆周角定理等知识，得出△AO1O2是等边三角形是解题关键．
5．关于半径为5的圆，下列说法正确的是（ ）
A． 若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外
B． 若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5
C． 圆上任意两点之间的线段长度不大于10
D． 圆上任意两点之间的部分可以大于10π
考点： 点与圆的位置关系．
分析： 根据点与圆的位置关系进而分别判断得出即可．
解答： 解：A、关于半径为5的圆，有一点到圆心的距离为5，则该点在圆上，故此选项错误；
B、关于半径为5的圆，若有一点在圆外，则该点到圆心的距离大于5，故此选项错误；
C、圆上任意两点之间的线段长度不大于10，此选项正确；
D、圆上任意两点之间的部分不可以大于10π，故此选项错误；
故选：C．
点评： 此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d＜r．
6．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于（ ）
A． 36° B．54° C．60° D． 27°
考点： 切线的性质．
分析： 根据题目条件易求∠BOA，根据圆周角定理求出∠C=∠BOA，即可求出答案．
解答： ∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=36°，
∴∠BOA=54°，
∴由圆周角定理得：∠C=∠BOA=27°，
故选D．
点评： 本题考查了三角形内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠BOA度数．
7．如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为（ ）
A． 5 B． C． D．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： 连接AO，AB，因为PA是切线，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，所以PB=2；BC是直径，所以∠BAC=90°，∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
进而证明△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性质即可求出BA和AC的比值，进一步利用勾股定理即可求出AC的长．
解答： 解：连接AO，AB，因为PA是切线，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，
所以PB=2；
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
因为∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
所以∠PAB=∠CAO，
又因为∠CAO=∠ACO，
所以∠PAB=∠ACO，
又因为∠P是公共角，
所以△PAB∽△PCA，
故，
所以，
在Rt△BAC中，AB2+（2AB）2=62；
解得：AB=，
所以AC=
故选：D．
点评： 本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，题目的综合性很强，难度中等．
8．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
A． B．π C．2π D． 4π
考点： 弧长的计算；切线的性质．
分析： 连接OA，OB，根据切线的性质，以及四边形的内角和定理求得∠AOB的度数，利用弧长的计算公式即可求解．
解答： 解：连接OA，OB．
则OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的长是：=2π．
故选C．
点评： 本题主要考查了切线的性质定理以及弧长的计算公式，正确求得∠AOB的度数是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．在边长为1的3×3的方格中，点B、O都在格点上，则劣弧BC的长是 ．
考点： 弧长的计算．
分析： 根据网格得出BO的长，再利用弧长公式计算得出即可．
解答： 解：如图所示：∠BOC=45°，BO=2，
∴劣弧BC的长是：=．
故答案为：．
点评： 此题主要考查了弧长公式的应用，熟练记忆弧长公式是解题关键．
10．已知扇形弧长为2π，半径为3cm，则此扇形所对的圆心角为 120 度．
考点： 弧长的计算．
分析： 直接利用扇形弧长公式代入求出即可．
解答： 解：∵扇形弧长为2π，半径为3cm，
∴l==2π，即=2π，
解得：n=120°，
∴此扇形所对的圆心角为：120°．
故答案为：120．
点评： 此题主要考查了弧长公式的应用，正确利用弧长公式是解题关键．
11．已知⊙A的半径为5，圆心A（3，4），坐标原点O与⊙A的位置关系是 在⊙A上 ．
考点： 点与圆的位置关系；坐标与图形性质．
分析： 先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．
解答： 解：∵点A的坐标为（4，3），
∴OA==5，
∵半径为5，
而5=5，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
点评： 本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r．
12．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移 2 cm时与⊙O相切．
考点： 直线与圆的位置关系；垂径定理．
分析： 根据直线和圆相切，则只需满足OH=5．又由垂径定理构造直角三角形可求出此时OH的长，从而计算出平移的距离．
解答： 解：∵直线和圆相切时，OH=5，
又∵在直角三角形OHA中，HA==4，OA=5，
∴OH=3．
∴需要平移5﹣3=2cm．故答案为：2．
点评： 本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，则应满足d=R．
13．如图，∠APB=30°，点O是射线PB上的一点，OP=5cm，若以点O为圆心，半径为1.5cm的⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为 2或8 cm．
考点： 直线与圆的位置关系．
分析： 首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即可求得O′P的长，继而求得答案．
解答： 解：①如图1，当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，且切点为C，
连接O′C，则O′C⊥PA，
即∠O′CP=90°，
∵∠APB=30°，O′C=1.5cm，
∴O′P=2O′C=3cm，
∵OP=5cm，
∴OO′=OP﹣O′P=2（cm）；
②如图2：同理可得：O′P=3cm，
∴O′O=8cm．
故答案为：2或8．
点评： 此题考查了切线的性质与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
14．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB= 2 cm．
考点： 垂径定理．
专题： 推理填空题．
分析： 连接AC、BC．利用圆周角定理知∠D=∠B，然后根据已知条件“CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H”，利用垂径定理知BH=AB；最后再由直角三角形CHB的正切函数求得BH的长度，从而求得AB的长度．
解答： 解：连接AC、BC．
∵∠D=∠B（同弧所对的圆周角相等），∠D=30°，
∴∠B=30°；
又∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，
∴BH=AB；
在Rt△CHB中，∠B=30°，CH=1cm，
∴BH=，即BH=；
∴AB=2cm．
故答案是：2．
点评： 本题考查了垂径定理和直角三角形的性质，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
三．解答题（共10小题）
15．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中点．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若BC=6cm，求图中阴影部分的面积．
考点： 圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算．
分析： （1）先由C是弧AB的中点可得出=，由圆周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形内角和定理可知∠ACB=60°，故可得出结论；
（2）连接BO、OC，过O作OE⊥BC于E，由垂径定理可得出BE的长，根据圆周角定理可得出∠BOC的度数，在Rt△BOE中由锐角三角函数的定义求出OB的长，根据S阴影=S扇形﹣S△BOC即可得出结论．
解答： 解：（1）△ABC是等边三角形．
∵C是弧AB的中点，
∴=，
∴∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°
∴∠ACB=60°，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）连接BO、OC，过O作OE⊥BC于E，
∵BC=6cm，
∴BE=EC=3cm，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOE=60°，在Rt△BOE中，sin60°=，
∴OB=6cm，
∴S扇形==12πcm2，
∵S△BOC=×6×3=9cm2，
∴S阴影=12π﹣9cm2，
答：图中阴影部分的面积是（12π﹣9）cm2．
点评： 本题考查的是圆周角定理、垂径定理及扇形的面积等相关知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，以AD为直径的⊙0与AB、AC两边分别交于点E、F．连接DE、DF．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AD=BC=2．求ED的长．
考点： 圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
分析： （1）根据等腰三角形“三合一”的性质推知∠1=∠2．由“直径所对的圆周角是直角”得到∠AED=∠AFD=90°．则根据角平分线的性质证得结论；
（2）在直角△ABD中利用勾股定理求得斜边AB的长度，然后根据面积法来求ED的长度．
解答： （1）证明：如图，∵在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，
∴∠1=∠2．
又∵AD为直径，
∴∠AED=∠AFD=90°，即DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；
（2）如图，∵在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，AD=BC=2．
∴BD=CD=BC=．
∴由勾股定理得到AB==5．
∵由（1）知DE⊥AB，
∴AD•BD=AB•ED，
∴ED===2．
故ED的长为2．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理．注意，勾股定理应用于直角三角形中．
17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．
考点： 圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
分析： （1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．
（2）求△ABC外接圆的面积，只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．
解答： （1）证明：如图，设F为AD延长线上一点，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF，
∵∠ADB=∠EDF（对顶角相等），
∴∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE．
（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC，
∵AB=AC，
∴=，
∴AH⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB=∠BAC=×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
设圆半径为r，
则OH=OC•cos30°=r，
∵△ABC中BC边上的高为1，
∴AH=OA+OH=r+r=1，
解得：r=2（2﹣），
∴△ABC的外接圆的周长为：4π（2﹣）．
点评： 此题主要考查圆内接多边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形的外接圆的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
考点： 圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．
专题： 证明题；压轴题．
分析： （1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得=，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；
（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．
解答： 证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，
∴=，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵OB=OD，
∴∠OBD=∠0DB=30°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC=AB，
∵OD=AB，
∴BC=OD．
点评： 此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
19．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB．
考点： 圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE；
（2）由AD2=AE•AC，可得，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，以求得AC⊥BD，由垂径定理即可证得CD=CB．
解答： 证明：（1）如图，∵∠A与∠B是对的圆周角，
∴∠A=∠B，
又∵∠1=∠2，
∴△ADE∽△BCE；
（2）如图，
∵AD2=AE•AC，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
即∠AED=90°，
∴直径AC⊥BD，
∴=，
∴CD=CB．
点评： 此题考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
20．如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若=，求cos∠DAB．
考点： 切线的判定；角平分线的性质；勾股定理；解直角三角形．
专题： 几何综合题．
分析： （1）连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；
（2）连接BC，可证明△ACD∽△ABC，得出比例式，求出BC，求出圆的直径AB，再根据勾股定理得出CE，即可求出答案．
解答： （1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵=，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴=，
=，
∴BC=，
由勾股定理得AB=，
∴OC=，
∵OC∥AD，
∴=，
∴=，
解得AE=，
∴cos∠DAB===．
点评： 本题考查了切线的判定以及角平分线的定义、勾股定理和解直角三角形，是中学阶段的重点内容．
21．如图，AC=BC，∠C=90°，点E在AC上，点F在BC上，CE=CF，连结AF和BE，点O在BE上，⊙O经过点B、F，交BE于点G．
（1）求证：△ACF≌△BCE；
（2）求证：AF是⊙O的切线．
考点： 切线的判定；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）利用“SAS”证明△ACF≌△BCE；
（2）连结OF，如图，根据全等三角形的性质，由△ACF≌△BCE得到∠A=∠B，则∠B+∠AFC=90°，加上∠B=∠OFB，所以∠OFB+∠AFC=90°，则∠AFO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AF是⊙O的切线．
解答： 证明：（1）在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
（2）连结OF，如图，
∵△ACF≌△BCE，
∴∠A=∠B，
而∠A+∠AFC=90°，
∴∠B+∠AFC=90°，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠OFB+∠AFC=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OF⊥AF，
∴AF是⊙O的切线．
点评： 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了全等三角形的判定与性质．
22．如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
考点： 切线的判定；扇形面积的计算．
分析： （1）如图，连接OA；证明∠OAP=90°，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．
解答： 解：（1）如图，连接OA；
∵∠C=60°，
∴∠AOB=120°；而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°；而AB=AP，
∴∠P=∠ABO=30°；
∵∠AOB=∠OAP+∠P，
∴∠OAP=120°﹣30°=90°，
∴PA是⊙O的切线．
（2）如图，过点O作OM⊥AB，则AM=BM=，
∵tan30°=，sin30°=，
∴OM=1，OA=2；
∴=××1=，
=，
∴图中阴影部分的面积=．
点评： 该题主要考查了切线的判定、扇形的面积公式及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用圆周角定理及其推论、垂径定理等几何知识点来分析、判断、解答．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
考点： 扇形面积的计算；垂径定理．
分析： （1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；
（2）根据半圆的面积减去△ABC的面积，即可求解．
解答： 解：（1）在△OCE中，
∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，
∴OE=OC=1，
∴CE=OC=，
∵OA⊥CD，
∴CE=DE，
∴CD=；
（2）∵S△ABC=AB•EC=×4×=2，
∴．
点评： 本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解．
24．如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．
（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
考点： 扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
分析： （1）根据条件可以证得四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠BDC=90°，在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，根据四边形ABCD的周长为15，即可求得BC，即可得到圆的半径；
（2）根据S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD即可求解．
解答： 解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠DCB=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=30°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠BDC=90°
∴BC是圆的直径．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°
∴==，∠BCD=60°
∴AB=AD=DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．
∴BC+BC=15，
解得：BC=6
故此圆的半径为3．
（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心．
连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．
在直角△AOE中，∠AOE=30°
∴OE=OA•cos30°=
S△AOD=×3×=．
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣=﹣=．
点评： 本题主要考查了扇形的面积的计算，正确证得四边形ABCD是等腰梯形，是解题的关键．
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