2022届宁夏银川市高三第二学期第一次模拟考试数学（理）试卷含答案

这是一份2022届宁夏银川市高三第二学期第一次模拟考试数学（理）试卷含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
本试卷共23小题，满分150分。考试时间为120分钟。
答案写在答题卡上的指定位置。考试结束后，交回答题卡。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，若，，则（ ）
A. B. C. D.
2. ，则（ ）
A. B. C. D.
3. 某高校有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务．冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，每个项目至少安排一名志愿者，则不同的安排方法有（ ）
A．72种 B．81种 C．6种 D．36种
4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5. 2022年北京冬奥会成功举办，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长．下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中正确的是（ ）

A．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降
B．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等,所以同比增长人数也近似相等
C．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次逐年增加
D．2016年-2021年,中国雪场滑雪人次增长率为12.6 %
6．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．5
7.已知命题命题某物理量的测量结果服从正态分布，则该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等．下列命题中的假命题是（ ）
A. B. C． D．
8.已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．的最小正周期为 B．是图象的一个对称中心
C．将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象
D．是图象的一条对称轴
9. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，为等腰三角形，若E，F分别是AB，SC的中点，则异面直线EC与BF所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10. 若函数在上的最大值与最小值之和为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．8
11.已知抛物线上一点，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点B，满足,则（ ）
A． B． C． D．
12. 若，则（ ）
A. B. C. D.
填空题：本大题共4小题 ,每小题5分,共20分．
13.已知变量满足约束条件则的最小值为________．
14.已知非零向量，，满足且，则向量与的夹角为________．
15.若直线与圆交于M、N两点，则弦长的最小值为___．
16.我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为的圆形纸，对折次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把次对折后得到的不同规格的图形面积和用表示，由题意知，，则_______；如果对折次，则________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
在中，分别为内角的对边，若

（1）求
（2）若求周长的取值范围.
18.（本小题满分12分）
2022年2月1日是春节，百节年为首，春节是中华民族最隆重的传统佳节，为拉动春节全民消费，宁夏某市政府分批发行2亿元政府消费券．为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的，没使用过政府消费券的人数占样本总数的．
（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？
（2）为配合政府消费券的宣传，现需该市45岁及以下的3位市民参与线上访谈．用随机抽样的方法从该市45岁及以下市民中每次抽取1人，共抽取3次，每次抽取的结果相互独立．记抽取的3人中“没使用过政府消费券”的人数为，以样本频率作为概率，求随机变量的分布列和数学期望．
附：，其中．
19.（本小题满分12分）
如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，.
（1）若，试证；
（2）在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值为.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，直线AC和BD的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值．
21.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，且，证明：.
（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将通过伸缩变换后，得到曲线．
（1）求的普通方程；
（2）过点作直线交曲线于两点，，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）已知函数的最小值为t，正实数a，b，c满足，证明：．
答案
1-12 BADDC ACBBA CA
13. 2
14.π
15.2
16.
17. 解:（1）由正弦定理得：，
即,所以
因为C为锐角，所以
由
所以
所以
所以
18. 解:（1）由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为（人），
设使用过政府消费券的人数为（人），
完成列联表如下：
由列联表可知，
所以有的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关．
（2）由题意可知，从该市45岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，
没使用政府消费券的概率为，所以，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列为：
所以（或．
19. 解：（1）在中，∵为中点且，∴.
∵平面平面交线为，∴平面，∴.∵，分别为，的中点，∴.∴.
在直角和直角中，∵，，∴，∴，
∴，∴.
∴平面，平面，∴.
（2）∵平面，由（1）得，，三线两两垂直，以为原点，
以，，为，，轴建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，，
∴，.
设平面的一个法向量为，则，
令得，，
设，，则，
∴，，
设直线与平面所成的角为，
则
即，为的中点时，为.
20. 解: （1），又∵点（）是椭圆上一点，∴，
解得因此，椭圆的方程为
（2）证明:当直线AB的斜率不存在时，不妨设 ，
则 ，又 ，解得 ，
根据椭圆的对称性，不妨取 ,则，
则 ,
所以 ;
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，设点
联立，得，则
因为，得，即，
所以，，解得，
，
原点到直线AB的距离为，
因为,且;
所以（定值），综上述四边形ABCD的面积为定值．
21. 解:（1）依题意，.
令，则，
当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，
故函数的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）证明：要证，即证.
依题意，、是方程的两个不等实数根，不妨令，
因，故，
两式相加可得，两式相减可得，
消去，整理得，故，
令，故只需证明，即证明，
设，故，故在上单调递增，
从而，因此.
22. 解:
（1）经过伸缩变换后，曲线的方程为，
即，，平方相加并化简得
则的普通方程为：；
（2）设直线的极坐标方程为，
曲线的极坐标方程为：，将两方程联立得：，则，，
解得，所以直线的极坐标方程为或.
23. 解:（1）或；
（2）因为，
当且仅当时，取“”，所以的最小值为，即．
∵，∴，∴，
∵为正实数，，
当且仅当时等号成立，∴得证．
使用过政府消费券
没使用过政府消费券
总计
45岁及以下
90
45岁以上
总计
200
0.15
0.10
0.05
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
使用过政府消费券
没使用政府消费券
合计
45岁及以下
90
30
120
45岁以上
50
30
80
合计
140
60
200
0
1
2
3