2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》培优练习10（含答案）

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如图，抛物线y＝－x2＋6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C(2，0)作射线CD交MB于点D(D在x轴上方)，OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD的延长线于点F，作直线MF.
(1)求点A，M的坐标；
(2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
(3)当BD＝1时，
①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上；
②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3＝ .
如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当动点P运动到何处时，BP2=BD•BC；
（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），C（0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的最大值；
（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．
如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1，0)、C(﹣2，3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；
(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小.若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由.
已知在平面直角坐标系中，一次函数y=kx-4的图象与x轴交于点A，抛物线y=ax2＋bx＋c经过O、A两点。
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA=eq \f(4,3)∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
\s 0 2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》培优练习10（含答案）答案解析
、综合题
解：(1)令y＝0，则－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，
∴A(6，0)，
∴对称轴是直线x＝3，
∴M(3，9)；
(2)∵OE∥CF，OC∥EF，C(2，0)，
∴EF＝OC＝2，∴BC＝1，
∴点F的横坐标为5，
∵点F落在抛物线y＝－x2＋6x上，
∴F(5，5)，BE＝5.∵eq \f(BD,DE)＝eq \f(CB,OC)＝eq \f(1,2)，
∴DE＝2BD，∴BE＝3BD，∴BD＝eq \f(5,3)；
(3)①当BD＝1时，BE＝3，∴F(5，3)．
设MF的解析式为y＝kx＋b，将M(3，9)，F(5，3)代入，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9＝3k＋b，,3＝5k＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－3，,b＝18，))
∴y＝－3x＋18.
∵当x＝6时，y＝－3×6＋18＝0，∴点A落在直线MF上；
②∵BD＝1，BC＝1，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴△OBE为等腰直角三角形，
∴CD＝eq \r(2)，CF＝OE＝3eq \r(2)，
∴DP＝eq \f(1,2)eq \r(2)，PF＝eq \f(3,2)eq \r(2)，
根据MF及OE的解析式求得点G的坐标为（eq \f(9,2)，eq \f(9,2)），作GN⊥EF交EF于点N，
则EN＝GN＝eq \f(3,2)，所以EG＝eq \f(3,2)eq \r(2)，S△FPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，
所以三者面积比等于底之比，
故S△FPG∶S梯形DEGP∶S梯形OCDE＝PF∶(DP＋EG)∶(DC＋OE)
＝eq \f(3,2)eq \r(2)∶（eq \f(1,2)+eq \f(3,2)）eq \r(2)∶(3＋1)eq \r(2)＝eq \f(3,2)∶2∶4＝3∶4∶8.
解：
（1）由题意，得，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x﹣4；
（2）设点P运动到点（x，0）时，有BP2=BD•BC，令x=0时，则y=﹣4，
∴点C的坐标为（0，﹣4）．
∵PD∥AC，∴△BPD∽△BAC，∴．
∵BC=，AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2．
∴BD===．
∵BP2=BD•BC，∴（x+2）2=，解得x1=，x2=﹣2（﹣2不合题意，舍去），
∴点P的坐标是（，0），
即当点P运动到（，0）时，BP2=BD•BC；
（3）∵△BPD∽△BAC，∴，
∴×
S△BPC=×（x+2）×4﹣
∵，∴当x=1时，S△BPC有最大值为3．
即点P的坐标为（1，0）时，△PDC的面积最大．
解：

解：(1)将A(1，0)，C(﹣2，3)代入y=﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y=mx+n(m≠0)，
将A(1，0)，C(﹣2，3)代入y=mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y=﹣x+1.
(2)过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，
如图1所示.
设点P的坐标为(x，﹣x2﹣2x+3)(﹣2＜x＜1)，
则点E的坐标为(x，0)，点F的坐标为(x，﹣x+1)，
∴PE=﹣x2﹣2x+3，EF=﹣x+1，
EF=PE﹣EF=﹣x2﹣2x+3﹣(﹣x+1)=﹣x2﹣x+2.
∵点C的坐标为(﹣2，3)，
∴点Q的坐标为(﹣2，0)，
∴AQ=1﹣(﹣2)=3，
∴S△APC=AQ•PF=﹣x2﹣x+3=﹣(x+)2+.
∵﹣＜0，
∴当x=﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，
此时点P的坐标为(﹣，).
(3)当x=0时，y=﹣x2﹣2x+3=3，
∴点N的坐标为(0，3).
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.
∵点C的坐标为(﹣2，3)，
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称.
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示.
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN=CM，
∴AM+MN=AM+MC=AC，
∴此时△ANM周长取最小值.
当x=﹣1时，y=﹣x+1=2，
∴此时点M的坐标为(﹣1，2).
∵点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(﹣2，3)，点N的坐标为(0，3)，
∴AC==3，AN==，
∴C△ANM=AM+MN+AN=AC+AN=3+.
∴在对称轴上存在一点M(﹣1，2)，使△ANM的周长最小，
△ANM周长的最小值为3+.
解：（1）∵一次函数y-kx-4k的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4，0）
∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点
∴抛物线的对称轴为直线x=2
∴b=-4a
（2）由抛物线的对称性可知，DO=DA
∴点O在⊙D上，且∠DOA=∠DAO
又由（1）知抛物线的解析式为y=ax2-4ax
∴点D的坐标为（2,-4a）
①当a>0时，
如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'
∴点D'与点D也关于x轴对称
∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切
∴点O为切点
∴D'O⊥OD
∴∠DOA=∠D'OA=45°
∴△ADO为等腰直角三角形
∴OD=2eq \r(2)
∴点D的纵坐标为-2
∴抛物线的解析式为y=eq \f(1,2)x2-2x
②当a<0时，
同理可得：OD=2eq \r(2)
抛物线的解析式为y=- eq \f(1,2)x2+2x
综上，⊙D半径的长为2eq \r(2)，抛物线的解析式为y=eq \f(1,2)x2-2x或y=- eq \f(1,2)x2+2x.
（3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA=eq \f(4,3)∠OBA
设点P的坐标为（x，y），且y＞0
①当点P在抛物线eq \f(1,2)x2-2x上时（如图2）
∵点B是⊙D的优弧上的一点

过点P作PE⊥x轴于点E

由解得：（舍去）
∴点P的坐标为(4+2eq \r(3),6+4eq \r(3)).
②当点P在抛物线y=- eq \f(1,2)x2+2x上时（如图3）
同理可得，y=eq \r(3)x
由解得：（舍去）
∴点P的坐标为(4-2eq \r(3),-6+4eq \r(3))
综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为(4+2eq \r(3),6+4eq \r(3))或(4-2eq \r(3),-6+4eq \r(3)).