压轴专题14用函数的思想看图形的最值问题16题

专题14 用函数的思想看图形的最值问题

1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx－与抛物线y=ax2+bx+交于点A、C，与y轴交于点B，点A的坐标为（2,0），点C的横坐标为－8.

（1）请直接写出直线和抛物线的解析式；

（2）点D是直线AB上方的抛物线上一动点（不与A、C重合），作DE⊥AC于E，设点D的横坐标为m，求DE的长关于m的函数解析式，并写出DE长的最大值；

（3）平移△AOB，使得平移后的三角形的三个顶点中有两个在抛物线上，请直接写出平移后的点A的对应点A’的坐标.

2.如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值.

图1                         图2

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，C（1，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．当△PDE的周长最大时，求出点P的坐标.

4.在平面直角坐标系中，抛物线y=，经过点A（1，3）、B（0，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C.

（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）如图，点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，在点G运动的过程中，△GFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(-2，0)，B(4，0)，与直线交于点C(0，-3)，直线与x轴交于点D．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）点P是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC，PD，当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

6.如图，抛物线与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴为x=–1，P为抛物线上第二象限的一个动点．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）当点P的纵坐标为2时，求点P的横坐标；

（3）当点P在运动过程中，求四边形PABC面积最大时的值及此时点P的坐标．

7.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与抛物线y＝x2+bx+c交于坐标轴上两点A、C，抛物线与x轴另一交点为点B；

（1）求抛物线解析式；

（2）若动点D在直线AC下方的抛物线上；

①作直线BD，交线段AC于点E，交y轴于点F，连接AD；求△ADE与△CEF面积差的最大值，及此时点D的坐标；

②如图2，作DM⊥直线AC，垂足为点M，是否存在点D，使△CDM中某个角恰好是∠ACO的一半？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，说明理由．

8.如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（    ）

A．4 B．2 C．7 D．8

9.在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标.

10.如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；

（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．

11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A，C（A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点．

（1）求直线BC的函数表达式；

（2）若点D为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD，CD，点E为x轴上一动点，当△BCD的面积的最大时，求点D的坐标，及|FE﹣DE|的最大值.

12.如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且OA＝OB，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．

13.在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为         ．

14.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由.

15.如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 A 的坐标为(-1，0)，点 C 的坐标为(0，3)，点D和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴交于点 E ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作 FG⊥AD 于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求△FGH 周长的最大值.

16.如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，-1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）.

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0<t<4），DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）.若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A’O’B’，点A、O、B的对应点分别是点A’、O’、B’. 若△A’O’B’的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A’的横坐标.