专题14 最值问题-决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（解析版）

这是一份专题14 最值问题-决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（解析版），共74页。

一、单选题
1．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．2＋
【答案】A
【解析】
连接CC′，连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示．


【关键点拨】本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的性质，找出点C关于BC/对称的点是A/是解题的关键.
2．某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B

【关键点拨】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．
3．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为

A． B． C． D．
【答案】B

【关键点拨】考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.
4．如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】


【关键点拨】本题考查了圆周角定理以及勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键．
5．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　）

A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
【答案】A

故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
∴当x=﹣2.5时，
h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项错误．
故选：A．学科*网
【关键点拨】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．
6．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a A． B．1 C． D．
【答案】D

【关键点拨】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
7．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为　　
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】

如图， 令直线y=x+与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
当x=0时，y=，则D（0，），

【关键点拨】
本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
8．如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　）

A．6 B．3 C．2 D．4.5
【答案】C
【解析】
如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，学科*网


【关键点拨】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，确定出点P的位置是解题的关键.
9．已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　　
A．1或 B．-或 C． D．1
【答案】D[来源:学科网]
【解析】
∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x=-=-1，学科&网
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵-2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a-6=0，
∴a=1，或a=-2（不合题意舍去）．
故选D．
【关键点拨】
本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
10．如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．

在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，
所以AC=，
故选：C．
【关键点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
11．一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C

【关键点拨】本题主要考查了由三视图判断几何体，掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键.
12．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　）

A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】
如图
，

【关键点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
13．抛物线C1：y1=mx2-4mx+2n-1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为(-1，2)，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为(0，-1)；③m>；④若抛物线C2：y2=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是≤a<2；⑤不等式mx2-4mx+2n>0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有( )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【关键点拨】
熟练掌握抛物线的性质是本题的解题关键.
14．如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．


【关键点拨】本题考查了轴对称--最短路线问题、正方形的性质．此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”．因此只要作出点A（或点E）关于直线BD的对称点A′（或E′），再连接EA′（或AE′）即可．
15．当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．-1 B．2 C．0或2 D．-1或2
【答案】D
【解析】
当y=1时，有x2-2x+1=1，
解得：x1=0，x2=2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a=2或a+1=0，学&科网
∴a=2或a=-1，
故选D．
【关键点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．
16．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（　　）

A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
【答案】A


【关键点拨】本题考查了两圆间的位置关系，分两圆内切与外切分别画出符合题意的图形进行讨论是解题的关键.
17．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（　　）

A． B． C．34 D．10
【答案】D

【关键点拨】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．
18．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C

【关键点拨】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP．学科&网
19．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（　　）

A． B． C．9 D．
【答案】A

【关键点拨】此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键．
20．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
【答案】B
【解析】
如图，当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，
解得：h3=4（舍去），h4=6，学科&网
综上所述：h的值为1或6，
故选B．

【关键点拨】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．
21．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C

∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+BD2，
∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，
t=0（舍）或t=﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴k=﹣×（-）=，
故选C．

【关键点拨】
本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.
22．已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，

∵F（0，2）、M（ ，3），
∴ME=3，FM==2，
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．
故选C．
【关键点拨】
本题求线段和的最值问题，把需要求和的线段，找到相等的线段进行转化，转化后的线段共线时为最值情况.
23．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）

A． B． C．6 D．3
【答案】D

【关键点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．学科*网
24．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　）

A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【解析】
作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．连接BC．

【关键点拨】
本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、填空题
25．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为_____．

【答案】
【解析】
如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；学&科网
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，
∴BC==9，
S△ABC=AB•AC=BC•AF，
∴3×6=9AF，
AF=2，
∴AA'=2AF=4，
∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，
∴∠A'=∠C，
∵∠AEA'=∠BAC=90°，
∴△AEA'∽△BAC，
∴，
∴，
∴A'E=，
即AD+DE的最小值是，
故答案为：．

【关键点拨】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题.学科*网
26．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．

图2中的图案外轮廓周长是_____；
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____．
【答案】 14 21
【解析】
图2中的图案外轮廓周长是：8﹣2+2+8﹣2=14；
设∠BPC=2x，
∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：，
以∠APB为内角的正多边形的边数为：，
∴图案外轮廓周长是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6，
根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，
当x越小时，周长越大，
∴当x=30时，周长最大，此时图案定为会标，
则则会标的外轮廓周长是=﹣6=21，
故答案为：14，21．学*科网
【关键点拨】本题考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内角相等，各外角相等，且外角和为360°是关键，并利用数形结合的思想解决问题．
27．如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为_____．

【答案】20

【关键点拨】本题考查平移的性质，解题的关键是确定出当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小．
28．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是______．

【答案】

29．如图，以AB为直径的⊙O与CE相切于点C，CE交AB的延长线于点E，直径AB＝18，∠A＝30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；
②扇形OBC的面积为π；
③△OCF∽△OEC；
④若点P为线段OA上一动点，则AP•OP有最大值20.25．

【答案】①③④．

【关键点拨】
本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的性质以及相似三角形的判定与性质，结合图形以及已知条件，熟练掌握和灵活运算相关知识是解题的关键.学*科网
30．如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为__．

【答案】18
【解析】


【关键点拨】
本题考查的知识点是轴对称-最短路线问题, 线段垂直平分线的性质, 等腰三角形的性质，解题关键是学会运用轴对称，解决最短问题.
31．如图，点D为的AB边上的中点，点前E为AD的中点，为正三角形，给出下列结论，①,②，③，④若，点是上一动点，点到、边的距离分别为，，则的最小值是3.其中正确的结论是_________（填写正确结论的番号）

【答案】①③④

若AC＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，
∴四边形PMCN是矩形，
∴MN＝CP，
∵d12＋d22＝MN2＝CP2，
∴当CP为最小值，d12＋d22的值最小，
∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12＋d22的值最小，
此时：∠CAB＝60°，AC＝2，CP⊥AB，
∴CP＝，学科&网
∴d12＋d22＝MN2＝CP2＝3，
即d12＋d22的最小值为3，
故④正确；
故答案为：①③④
【关键点拨】
本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质和判定，利用垂线段最短求d12＋d22的最小值是本题的关键．
32．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m时，矩形土地ABCD的面积最大．

【答案】150

【关键点拨】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值．
33．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．

【答案】．
【解析】
∵四边形CDEF是正方形，


【关键点拨】
本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
34．如图，直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为_____．

【答案】6
【解析】
设A（a，），B（b，），则C（a，）．
将y=x+m代入y=，得x+m=，

【关键点拨】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，三角形的面积，二次函数的性质．学*科网
35．如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是______．

【答案】
【解析】
如图，

在正方形ABCD中，，，，
，
，
，
取AD的中点O，连接OF、OC，[来源:学科网ZXXK]
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值，
故答案为：．
【关键点拨】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出CF最小时点F的位置是解题关键．
36．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为______．

【答案】4

在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，
∴BE=，
即PA+PB的最小值为4．学科*网
故答案为：4．
【关键点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
37．如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，有下列结论：
①AD=CD；
②∠ACD的大小随着α的变化而变化；
③当α=30°时，四边形OADC为菱形；
④△ACD面积的最大值为a2；
其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）．

【答案】①③④

∴∠ACD=∠E=60°，故②不正确；
③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，
由①得：CD=AD，
∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=CD，
∴OC=OA=AD=CD，
∴四边形OADC为菱形，故③正确；


【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键.
38．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．

【答案】2-2
【解析】
如图：

取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，

【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.
39．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．

【答案】②③

③∵y1=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴M的最大值为4，
∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④当M=y1=2时，有-x2+4x=2，
解得：x1=2-（舍去），x2=2+；
当M=y2=2时，有2x=2，
解得：x=1．
∴若M=2，则x=1或2+，结论④错误．
综上所述：正确的结论有②③．
故答案为：②③．学科*网
【关键点拨】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
40．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k＞0）的图象与半径为5的⊙O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是_____．

【答案】5

∴ac=，
同理：bd=，
∴ac﹣bd=﹣=[（c2+d2）﹣（a2+b2）]=0，
∵M（a，b），N'（c，﹣d），
∴MN'2=（a﹣c）2+（b+d）2=a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd=a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）=50，
∴MN'=5，学科*网
故答案为：5．

【关键点拨】本题考查了反比例函数图象与圆的综合，反比例函数图象上点的坐标特征，同圆的半径相等、最值问题等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.
41．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．

【答案】
【解析】
连接AC,与对称轴交于点P,

此时DE+DF最小，
点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，


【关键点拨】
考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键.
42．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______．

【答案】6
【解析】
∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），
∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，
∴AB=AC，
∵∠BPC=90°，学*科网
∴PA=AB=AC=a，
如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，
∵A（1，0），D（4，4），
∴AD=5，
∴AP′=5+1=6，[来源:学§科§网Z§X§X§K]
∴a的最大值为6．
故答案为6．

【关键点拨】
圆外一点到圆上一点的距离最大值为点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减去半径.
三、解答题
43．综合与探究
如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．
(1)求抛物线的解析式
(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；
(3)如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．
①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为　　；
②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()

【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)5；(3)①或4；②存在，D点坐标为(，)或(-1+，)或(-1-，-)或(-4，3).

(2)做点关于抛物线的对称轴直线的对称点，连，交直线于点．
连，此时的值最小．
抛物线对称轴位置线

由勾股定理
的最小值为5
(3)①当时，

，则关于抛物线对称轴对称
的面积为


则为
则点坐标为
把点坐标代入
解得(舍去)，
当时，点在垂直平分线上，则
当时，由菱形性质点坐标为，，
当时，、关于直线对称，点坐标为
【关键点拨】
本题考查了直角坐标系下抛物线的综合运用与图形变换，能够综合应用相似形和分类讨论是解答本题的关键.
44．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．

【答案】（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+2．

∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴==，
∴CF=2DG．
（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，


【关键点拨】
本题考查正方形的性质、轴对称最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会理由轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
45．如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为多少m．
（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）

【答案】（1）11.4；（2）从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．

（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，

在Rt△ADE中，
∵AD=20m，∠DAE=64°，EH=1.5m，
∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），
即DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m），
答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．
【关键点拨】
本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．学科*网
46．如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P ( ,)；（3）当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．

（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3）．

∵O′与O关于BC对称，
∴PO=PO′．
∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．
∴OP+AP的最小值=O′A==5．[来源:Z|xx|k.Com]
O′A的方程为y=
P点满足解得：
所以P ( ,)


∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽△DCB．
∴，即，解得：AQ=10．
∴Q（9，0）．
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
【关键点拨】
本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、轴对称图形的性质、相似三角形的性质和判定，分类讨论的思想．
47．如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．

（1）求证：AE=CF；
（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．
（3）求线段OF长的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

，
，
；

由（1）知：，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
或（舍，
，，
由勾股定理得：，学科*网
（3）解：如图3，由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，
延长到点，使得，连接，




【关键点拨】
本题考查了正方形的性质、几何图形旋转的性质、利用三角形全等解决问题的相关知识，解题关键是注意构造辅助线进行解答.
48．一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．
（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；
（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？

【答案】（1）1000米 （2）能


【关键点拨】
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解直角三角形，锐角三角函数等知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
49．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．

【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=，M坐标为（，3）；（3）F坐标为（0，﹣）．

（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，

设M（m，﹣m2+m+2），则H（m，﹣m+2），
∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，
S四边形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH•3=﹣m2+3m+3，
当m=﹣=时，S最大=，此时M坐标为（，3）；
（3）连接BF，如图②所示，


【关键点拨】
此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
50．如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；
（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：
①为何值时为等腰三角形；
②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

【答案】（1）平移后抛物线的解析式，= 12；（2）①，②当＝3时，PN取最小值为．

（2）设直线AB解析式为y=mx+n，将A（8，0）、B（4，3）分别代入得
，解得：，
所以直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q，
①当MN＝AN时， N点的横坐标为，纵坐标为，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.
当AM＝AN时，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知，，MQ＝，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，学科*网
解得：
t＝12（舍去）；
当MN＝MA时，故是钝角，显然不成立,
故；

【关键点拨】
本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，平移的性质，割补法，三角形面积，分类思想，相似三角形的性质，勾股定理，根的判别式，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识是解题的关键.
51．如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，G（1，0）；（3）2．

(2)存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小．
∵E(0，3)，∴E'(2，3)，
设EF的解析式为y=k′x+b′，
把F(0，﹣3)，E'(2，3)分别代入，得，解得，
所以E'F的解析式为：y＝3x﹣3，
当x＝1时，y＝3×1﹣3＝0，∴G(1，0)；
(3)如图2．
设AB的解析式为y=k″x+b″，
把A(1，4)，B(3，0)分别代入，得，解得，
所以AB的解析式为：y＝﹣2x+6，
过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，学科*网[来源:学,科,网Z,X,X,K]
设N(m，﹣m2+2m+3)，则Q(m，﹣2m+6)，(1＜m＜3)，
∴NQ＝(﹣m2+2m+3)﹣(﹣2m+6)＝﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM，
∵∠ADB＝∠QMN＝90°，∴△QMN∽△ADB，
∴，∴，
∴MN(m﹣2)2
0，
∴当m＝2时，MN有最大值；
过N作NG⊥y轴于G，
∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，∴△NGP∽△ADB，
∴，∴PGNGm，
∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3m＝﹣m2m+3，
∴S△PONOP•GN(﹣m2m+3)•m，
当m＝2时，S△PON2(﹣4+3+3)＝2．

【关键点拨】
本题考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于m的方程是解题答问题(3)的关键．
52．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．
①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）①当t=时，面积最小是；②t=、或2.

（2）①如图，过点P作PE⊥x轴于点E，

∵直线y=x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度，
∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0），
∴EQ=4﹣3t，PE=t，学&科网
∵∠PQE+∠NQC=90°，
∠PQE+∠EPQ=90°，
∴∠EPQ=∠NQC，
∴△PQE∽△QNC，
∴，
∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2，
∵PQ2=PE2+EQ2，
∴S=2（）2=20t2﹣48t+32，
当t=时，
S最小=20×（）2﹣48×+32=；

【关键点拨】
本题是代数几何综合题，考查了二次函数、一次函数、三角形相似和矩形的有关性质，熟练掌握相关知识以及应用数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键．
53．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；（2）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由见解析.

（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：
过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图，

设P（t，﹣t2﹣2t+3），
则PQ=﹣t2﹣2t+3，AQ=3+t，QB=1﹣t，
∵PQ∥EF，
∴△AEF∽△AQP，
∴，
∴EF==；
又∵PQ∥EG，
∴△BEG∽△BQP，
∴，学科*网
∴EG===2（t+3），
∴EF+EG=2（1﹣t）+2（t+3）=8．
【关键点拨】本题考查了代数与几何综合题，涉及到待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、分式的化简等；解（1）的关键是利用点的坐标表示方法；解（2）的关键是利用待定系数法；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出EG，EF的长，又利用了整式的加减．
54．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．
（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．

【答案】（1）y=x2﹣4x﹣5，顶点坐标为D（2，﹣9）；（2）①存在点P（3，﹣2）使四边形PEDF为平行四边形；②△PFH周长的最大值为.

（2）①存在，
设直线BC的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入得，解得：，
∴BC解析式为y=x﹣5，
当x=m时，y=m﹣5，
∴P（m，m﹣5），
当x=2时，y=2﹣5=﹣3，
∴E（2．﹣3），
∵PF∥DE∥y轴，
∴点F的横坐标为m，
当x=m时，y=m2﹣4m﹣5，
∴F（m，m2﹣4m﹣5），
∴PF=（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）=﹣m2+5m，
∵E（2，﹣3），D（2，﹣9），学*科网
∴DE=﹣3﹣（﹣9）=6，
如图，连接DF，
∵PF∥DE，
∴当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，
即﹣m2+5m=6，
解得m1=3，m2=2（舍去），
当m=3时，y=3﹣5=2，
此时P（3，﹣2），
∴存在点P（3，﹣2）使四边形PEDF为平行四边形；


【关键点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值等，综合性较强，有一定的难度，运用数形结合思想并能熟练运用相关知识是解题的关键.
55．已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．
（1）填空：∠OBC=　 　°；
（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；
（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？

【答案】（1）60；（2）；（3）.

∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，
∴AC==2，
∴OP=；
（3）①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，如图，
则NE=ON•sin60°=x，

∴S△OMN=•OM•NE=×1.5x×x，
∴y=x2，
∴x=时，y有最大值，最大值=；
②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动，



MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，
∴y=•MN•OG=12﹣x，
当x=4时，y有最大值，最大值=2，
综上所述，y有最大值，最大值为．
【关键点拨】本题考查了旋转变换综合题，涉及到二次函数的最值，30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，仔细分析，正确添加辅助线，分类讨论的思想思考问题是解题的关键.学*科网
56．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；D点坐标为（3，5）；（2）M点的坐标为（0，）或（0，）；（3）AM+AN的最小值为．

∴D点坐标为（3，5）；
（2）在Rt△OBC中，BC==5，
设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，
∵∠MCN=∠OCB，
∴当时，△CMN∽△COB，则∠CMN=∠COB=90°，
即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
当时，△CMN∽△CBO，则∠CNM=∠COB=90°，
即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）；

【关键点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质等，解题的关键是会利用待定系数法求函数解析式、理解坐标与图形性质、会运用分类讨论的思想解决数学问题．学科*网
57．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.
（1）求证：BE＝CE
（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）
①求证：△BEM≌△CEN；
②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；
③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③.
【解析】

（2）①解：如图2中，

由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EBM=∠ECN=45°，
∵∠MEN=∠BEC=90°，
∴∠BEM=∠CEN，
∵EB=EC，
∴△BEM≌△CEN；
②∵△BEM≌△CEN，
∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，
∴S△BMN=•x（4-x）=-（x-2）2+2，
∵-＜0，
∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．
③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=m，EB=m．


【关键点拨】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题.学科*网
58．已知，，，斜边，将绕点顺时针旋转，如图1，连接．
（1）填空：　　；
（2）如图1，连接，作，垂足为，求的长度；
（3）如图2，点，同时从点出发，在边上运动，沿路径匀速运动，沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点的运动速度为1.5单位秒，点的运动速度为1单位秒，设运动时间为秒，的面积为，求当为何值时取得最大值？最大值为多少？

【答案】（1）60；（2）；（3）x时，y有最大值，最大值．

（2）如图1中.

∵OB＝4，∠ABO＝30°，
∴OAOB＝2，ABOA＝2，
∴S△AOC•OA•AB2×2．
∵△BOC是等边三角形，学科*网
∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，
∴AC，
∴OP．
（3）①当0＜x时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．



作MH⊥OB于H．
则BM＝8﹣1.5x，MH＝BM•sin60°（8﹣1.5x），
∴yON×MHx2+2x．
当x时，y取最大值，y，学*科网
③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，

作OG⊥BC于G．MN＝12﹣2.5x，OG＝AB＝2，

【关键点拨】
本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．