第8讲《特殊平行四边形》全章复习与巩固(提高) 知识点练习

《特殊平行四边形》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.

2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、平行四边形

1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2．性质：（1）对边平行且相等；

        （2）对角相等；邻角互补；

        （3）对角线互相平分；

        （4）中心对称图形.

3．面积：

4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

            （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

            （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

         角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

            （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．

    边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；

     对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

要点诠释：平行线的性质：

（1）平行线间的距离都相等；

（2）等底等高的平行四边形面积相等.

要点二、菱形

1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；

         （2）四条边相等；

         （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

  （4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形.

要点三、矩形

1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；

（2）四个角都是直角；

（3）对角线互相平分且相等；

        （4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.

         （2）对角线相等的平行四边形是矩形.

         （3）有三个角是直角的四边形是矩形.

要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．

要点四、正方形

1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

2．性质：（1）对边平行；

        （2）四个角都是直角；

（3）四条边都相等；

（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；

（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

（6）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线

4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）一组邻边相等的矩形是正方形；

（3）对角线相等的菱形是正方形；

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.

【典型例题】

类型一、平行四边形 

1、已知，△ABC中，∠BAC=45°，以AB为腰以点B为直角顶点在△ABC外部作等腰直角三角形ABD，以AC为斜边在△ABC外部作等腰直角三角形ACE，连结BE、DC，两条线段相交于点F，试猜想∠EFC的度数并说明理由．

【答案与解析】

解法一：作DH//BE交EA延长线于H，连接CH

          易证四边形BEHD为平行四边形

解法二：作CG//BE交AB的延长线于G，连接DG，

       ∵△ABC与△ACE都是等腰直角三角形，

       ∴∠EAB=∠CAE+∠CAB=90°.

       又∠AEC=90°，

       ∴AB∥CE.

∴四边形BECG为平行四边形，

       ∴CE=GB，又AE=EC，

∴GB=AE.

     在△BGD与△AEB中，

     DB=AB，∠DBG=∠BAE=90°，GB=AE，

∴，

      ∴∠GDB=∠ABE，BE=DG.

      ∵平行四边形BGCE,

∴∠ABE=∠AGC，BE=GC,

     ∴∠GDB =∠AGC, GC= DG.

∴∠DGC=∠DGA+∠AGC=∠DGA+∠GDB=90°.

于是是等腰直角三角形，

      所以.

【总结升华】通过做平行线，构造平行四边形，再证明全等，使问题得解．

类型二、菱形

2、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.

（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB⊥AC，AB=1，BC=，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°．

【答案与解析】

（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，

又AF∥BE，

∴四边形ABEF为平行四边形．

（2）证明：四边形ABCD为平行四边形，

∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.

∴△AOF≌△COE

∴AF＝CE

（3）四边形BEDF可以是菱形．

理由：如图，连接BF，DE，

 由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，

∴EF与BD互相平分．

∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．

在Rt△ABC中，，

∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，

∴∠AOF＝45°，

∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．

【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.

举一反三：

【变式】已知:如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.

【答案】

证明：∵EF是BD的垂直平分线，

∴EB=ED，∠EBD=∠EDB.

　　　又∵∠EBD= ∠FBD，

∴∠FBD=∠EDB，ED∥BF. 同理，DF∥BE，

　　∴四边形BFDE是平行四边形.

　　又∵EB=ED，

∴四边形BFDE是菱形.

3、在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．

（1）求证：EF=BF；
（2）在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG：GD=3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．

【思路点拨】

（1）根据平行四边形性质推出BD=2BO，推出AB=BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF即可；
（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG=BC，求出EG∥BC，EG=BC，求出BF=EG，BF∥EG，EG=GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可．

【答案与解析】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2BO，
∵BD=2AB，
∴AB=BO，
∵E为OA中点，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∵F为BC中点，
∴EF=BF=CF，
即EF=BF；

（2）四边形EBFG是菱形，

证明：连接CG，

∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，BD=2BO=2OD，

∴BD=2AB=2CD，

∴OC=CD，

∵BG：GD=3：1，OB=OD，

∴G为OD中点，

∴CG⊥OD（三线合一定理），

即∠CGB=90°，

∵F为BC中点，

∴GF=BC=AD，
∵E为OA中点，G为OD中点，
∴EG∥AD，EG=AD，
∴EG∥BC，EG=BC，
∵F为BC中点，
∴BF=BC，EG=GF，
即EG∥BF，EG=BF，
∴四边形EBFG是平行四边形，
∵EG=GF，
∴平行四边形EBFG是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．

【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．

类型三、矩形 

4、（2020春•青山区期中）如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．

（1）求证：四边形ABCD为矩形；

（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．

①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：

②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=　   　，AF=　     ．

【答案与解析】

（1）证明：∵AB∥CD，AB=CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵∠A=∠D，∠A+∠D=180°，

∴∠A=90°，

∴四边形ABCD为矩形，

（2）解：①延长DA，CE交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，

∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，

∵E是AB边的中点，

∴AE=BE，

在△AGE和△BCE中，，

∴△AGE≌△BCE（AAS），

∴AG=BC，

∵DF=1.6，F为AD中点，

∴BC=3.2，

∴AG=BC=3.2，∴FG=3.2+1.6=4.8，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠BCF，

∵∠DFC=2∠BCE，

∴∠BCE=∠FCE，

∵AD∥BC，

∴∠BCE=∠G，

∴CF=FG=4.8；

②若CE=4，CF=5，由①得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD，

∴CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；

故答案为：5；

设DF=x，

根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，

即52﹣x2=82﹣（5+x）2，

解得：x=，

∴DG=5+=，

∴AD=DG=，

∴AF=AD﹣DF=；

故答案为：．

．

【总结升华】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度.

举一反三：

【变式】如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．

（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；

（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．

【答案】

解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：

∵D、G分别是AB、AC的中点，

∴DG是△ABC的中位线；

∴DG∥BC，且DG＝BC；

同理可证：EF∥BC，且EF＝BC；

∴DG∥EF，且DG＝EF；

故四边形DEFG是平行四边形；

（2）O在BC边的高上且A和垂足除外．理由如下：

连接OA；

同（1）可证：DE∥OA∥FG；

∵四边形DEFG是矩形，

∴DG⊥DE；

∴OA⊥BC；

即O点在BC边的高上且A和垂足除外．

5、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4．过点A作AE⊥AB且AB=AE，过点E分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC和BC的延长线与点F，D．若FC=5，求四边形ABDE的周长．

【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF，即可得出BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出AB的长，进而得出四边形EFCD是矩形，求出四边形ABDE的周长即可．

【答案与解析】

解：∵∠ACB=90°，AE⊥AB，
∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°．
∴∠B=∠2．                  
∵EF⊥AC，
∴∠4=∠5=90°．
∴∠3=∠4．
在△ABC和△EAF中，
∵，，
∴△ABC≌△EAF（AAS）． 
∴BC=AF，AC=EF．
∵BC=4，
∴AF=4．
∵FC=5，
∴AC=EF=9．
在Rt△ABC中，AB=.

∴AE=．
∵ED⊥BC，
∴∠7=∠6=∠5=90°．
∴四边形EFCD是矩形．
∴CD=EF=9，ED=FC=5．
∴四边形ABDE的周长=AB+BD+DE+EA=+4+9+5+=18+2．

【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出AC=EF=9是解题关键．

举一反三：

【变式】（2020•杭州模拟）如图，平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．

（1）经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？

（2）若BC⊥AC垂足为C，求（1）中矩形边BQ的长．

【答案】解：（1）当时间t=7秒时，四边形BPDQ为矩形．

理由如下：当t=7秒时，PA=QC=7，

∵AC=6，

∴CP=AQ=1

∴PQ=BD=8

∵四边形ABCD为平行四边形，BD=8

∴AO=CO=3

∴BO=DO=4

∴OQ=OP=4

∴四边形BPDQ为平形四边形，

∵PQ=BD=8

∴四边形BPDQ为矩形，

（2）由（1）得BO=4，CQ=7，

∵BC⊥AC

∴∠BCA=90°

BC2+CQ2=BQ2

∴BQ=．

类型四、正方形

6、（2020•南京二模）如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．

（1）求证：DE=DF；

（2）当CD与AB满足怎样的数量关系时，四边形CEDF为正方形？请说明理由．

【思路点拨】

（1）由CD垂直平分线AB，可得AC=CB，得出∠ACD=∠BCD，再由∠EDC=∠FDC=90°，可证得△ACD≌△BCD，得出CE=CF即可；

（2）先证明四边形CEDF是矩形，再证出因此AB=2CD时，四边形CEDF为正方形．

【答案与解析】

（1）证明：∵CD垂直平分线AB，

∴AC=CB．

∴△ABC是等腰三角形，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD=∠BCD．

∵DE⊥AC，DF⊥BC，

∴∠DEC=∠DFC=90°

∴∠EDC=∠FDC，

在△DEC与△DFC中，，

∴△DEC≌△DFC（ASA），

∴DE=DF；

（2）解：当AB=2CD时，四边形CEDF为正方形．理由如下：

∵AD=BD，AB=2CD，

∴AD=BD=CD．

∴∠ACD=45°，∠DCB=45°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，

∴四边形DECF是矩形．

又∵DE=DF，

∴四边形CEDF是正方形．

【总结升华】此题主要考查线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定、矩形的判定等知识点；熟练掌握正方形的判定，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．

举一反三：

【变式】如图（1），正方形ABCD和正方形CEFG有一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE．

（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由．

（2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．

【答案】

解：(1)BG＝DE，BG⊥DE；

　　　理由是：延长BG交DE于点H，

　　　因为BC＝DC，CG ＝CE，∠BCG＝∠DCE

      所以△BCG≌△DCE，

所以BG＝DE，∠GBC＝∠CDE．

由于∠CDE＋∠CED＝90°，

所以∠GBC＋∠DEC＝90°， 得∠BHE＝90°．

所以BG⊥DE.

(2)上述结论也存在．

理由：设BG交DE于H，BG交DC于K，

同理可证△BCG≌△DCE，

得BG＝ED，∠KBC＝∠KDH．

又因为∠KBC＋∠BKC＝90°，

可得∠DKH＋∠KDH＝90°，从而得∠KHD＝90°．

所以BG⊥DE.