苏科版七年级下册9.4 乘法公式导学案

这是一份苏科版七年级下册9.4 乘法公式导学案，共8页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

乘法公式
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
要点一、平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
要点二、完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
要点四、补充公式
；；
；.
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用
1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．
(1)； (2) ；

(3) ； (4) ；

(5) ； (6) ．
举一反三：
【变式】化简或计算
（3x﹣y）（y+3x）﹣（4x﹣3y）（4x+3y）

（2x﹣y）（4x2﹣y2）（2x+y）
（3）2032-203×6（简便运算），
【点拨】本题考查平方差公式,熟记公式并能正确运用是解题关键．
2．在边长为a的正方形中挖掉一边长为b的小正方形（ab），把余下的部分剪成直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是_____．
【变式】如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a>b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是_____（用含a，b的等式表示）．
类型二、完全平方公式的应用
3、计算：．
【变式】计算：（2a﹣3b）2﹣（3a﹣2b）2．
举一反三：
【变式】用简便方法计算：

类型三、平方差公式和完全平方公式的综合练习
4、计算：
（2）
（3） （4）
类型三、完全平方公式的应用
5、从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是______；
（2）运用（1）中的结论，完成下列各题：
①已知：，，求的值；
②计算：．
举一反三：
【变式】把一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图1）．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）．
方法1：______________________________．
方法2：______________________________．
（2）根据（1）中结论，请你写出下列三个代数式，，间的等量关系：________
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数，满足，，请求出的值．
乘法公式（专项练习）
一、单选题
1．已知代数式x2﹣4x+7，则（ ）
A．有最小值7 B．有最大值3 C．有最小值3 D．无最大值和最小值
2．已知，．则的值是（ ）
A．9B．7C．5D．13
3．设，则（ ）
A．3B．C．0D．
4．若，，则代数式的值等于（ ）
A．3B．9C．12D．81
5．若是完全平方式，则的值为（ ）
A．13B．C．11或D．或13．
6．（﹣a﹣b）2等于（ ）
A．a2-2ab+b2B．-a2+2ab﹣b2C．a2+2ab+b2D．-a2﹣2ab-b2
7．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分可剪拼成一个 不重叠、无缝隙的长方形，若拼成的长方形一边长为，则它另一边的长是（ ）
A．B．C．D．
8．等式中，括号内应填入（ ）
A．B．C．D．
9．若是完全平方式，则m的值为（ ）
A．4B．2或C．D．或4
10．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A． B． C． D．
11．若，则A的末位数字是（ ）
A．4B．2C．5D．6
12．已知： ， 则： 的值为( )
A．15B．18C．21D．9
13．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如左图可以用来解释（a+b）2－（a－b）2=4ab．那么通过右图面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
14．已知代数式可以利用完全平方公式变形为，进而可知的最小值是4．依此方法，代数式的最小值是__________．
15．________．
16．如图，正方形 ABCD，根据图形写出一个正确的等式：________．

17．下图是从一个正方形中剪下一个小正方形后，拼成一个矩形的过程．根据下图，写出一个正确的等式：__________．
18．若，则_____________．
19．计算：=______________．
20．已知，如果一个正方形的面积是，则这个正方形的周长是____________________．
21．若，则______________
22．已知，，则__________．
23．若x2－mx＋9是一个完全平方式，则m的值是________．
24．如图，两个正方形的边长分别为a，b， 如果，则阴影部分的面积为__．
25．若为完全平方式，则____．
26．计算：___________．
三、解答题
27．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于______；
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
①________________；
②__________________．
（3）观察图2你能写出，，三个代数式之间的等量_____________．
（4）运用你所得到的公式，计算若知，求和的值．
（5）用完全平方公式和非负数的性质求代数式的最小值．
28．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以
用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且．（以上长度单位： ）
（1）观察图形，可以发现代数式可以分解因式为_________
（2）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
29．计算：（1） （2）
30．计算：
（1）2a(4a2-2a+1) （2）(2x -1)(2x+2)-(-2x)2
（3）(-x-2y)(x-2y)-(2y-x)2 （4）（用简便方法计算）