专题08 椭圆及其方程（课时训练）-2022年秋季高二上精品讲义（新教材人教A版）

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专题08 椭圆及其方程
【基础巩固】
1.（山东潍坊一中2019届质检）曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的(　　)
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
【答案】D　
【解析】曲线＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，c2＝25－9＝16，焦距为8.曲线＋＝1(k＜9)表示焦点在x轴上的椭圆，c2＝(25－k)－(9－k)＝16，焦距为8.故选D.
2.（江西金溪一中2019届模拟）若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋y2＝1 C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不正确
【答案】C　
【解析】直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
3.一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】A
【解析】设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.所以椭圆方程为＋＝1.
3.（福建泉州五中2019届模拟）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】A　
【解析】由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，所以C的方程为＋＝1.故选A.
4.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则（ ）
A．a2=2b2 B．3a2=4b2
C．a=2b D．3a=4b
【答案】B
【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B.
5.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D　
【解析】由题意，得A(－a,0)，PF2＝F1F2＝2c.示意图如图，过点P作PE⊥x轴于点E.由∠PF2F1＝120°，得∠PF2E＝60°，所以F2E＝c，PE＝c，所以P(2c，c)．因为kPA＝，所以PA所在直线方程可设为y＝(x＋a)．所以c＝(2c＋a)，可得＝，即椭圆C的离心率为.故选D.
6.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（ ）
A．1－ B．2－ C. D.－1
【答案】D　
【解析】在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2c，则|PF2|＝c，|PF1|＝c，由椭圆的定义可知，2a＝(1＋)c，
所以离心率e＝＝＝－1.故选D.

7.设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（ ）
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
【答案】A
【解析】当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得0＜m≤1；当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.
8.已知F1，F2为两定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
【答案】D
【解析】虽然动点M到两个定点F1，F2的距离为常数6，但由于这个常数等于|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2，故选D．
9.若方程表示椭圆，则实数k的取值范围为________________．
【答案】(6，7)∪(7，8)．
【解析】由，可得且，所以实数k的取值范围为(6，7)∪(7，8)．
10.（1）设F1，F2是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率为________________；
（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________________．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）如图2，设直线交x轴于D点，因为是底角为的等腰三角形，则有，因为，所以，，所以，即，即，即，所以椭圆E的离心率．

图1 图2

【名师点睛】在解一元二次方程时得出的根一般有两个，此时要根据椭圆的离心率进行根的取舍，否则易产生增根．
【能力提升】
11．（四川省乐山一中2019届质检）设F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆x2＋y2＝与线段PF交于A，B两点，若A，B三等分线段PF，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D　
【解析】如图，取线段PF的中点H，连接OH，OA.设椭圆另一个焦点为E，连接PE.
∵A，B三等分线段PF，∴H也是线段AB的中点，即OH⊥AB.
设|OH|＝d，则|PE|＝2d，|PF|＝2a－2d，|AH|＝.

在Rt△OHA中，|OA|2＝|OH|2＋|AH|2，解得a＝5d.
在Rt△OHF中，|FH|＝a，|OH|＝，|OF|＝c.
由|OF|2＝|OH|2＋|FH|2，
化简得17a2＝25c2，＝.即椭圆C的离心率为.故选D.
12.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.
【答案】3
【解析】设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2.又因为S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.
13.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．
【答案】
【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，
由中位线定理可得，设，可得，
与方程联立，可解得（舍），
又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.

方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，
由中位线定理可得，即，
从而可求得，所以.
14.（浙江杭州高级中学2019届模拟）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．
(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．
【解析】(1)由已知得b＝4，且＝，即＝，
所以＝，解得a2＝20，所以椭圆方程为＋＝1.
将4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，消去y得9x2－40x＝0，
所以x1＝0，x2＝，所以|MN|＝|x2－x1|＝.

(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知B＝2F，又B(0,4)，所以(2，－4)＝2(x0－2，y0)，故得x0＝3，y0＝－2，即Q的坐标为(3，－2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且＋＝1，＋＝1，
以上两式相减得＋＝0，
所以kMN＝＝－·＝－×＝，
故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0.
15.（江苏如东高中2019届模拟）已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积．
【解析】(1)由已知得解得故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)．由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，即D.
因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，
即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2.此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，则|AB|＝|x1－x2|＝＝3，又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.

【高考真题】
16.（2019年全国Ⅲ卷）设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
【答案】
【解析】由已知可得，
，∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），则M的坐标为．
17．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】因为a2＝b2＋c2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以e＝＝.
18．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A　
【解析】以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0)，半径为a，由题意，圆心到直线bx－ay＋2ab＝0的距离为＝a，即a2＝3b2.又e2＝1－＝，所以e＝.故选A.
19．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，
∴＝a，即2b＝，
∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，∴＝，∴e＝＝.
20．(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y＝k(x＋a)，当x＝－c时，y＝k(a－c)，当x＝0时，y＝ka，所以M(－c，k(a－c))，E(0，ka)．如图，设OE的中点为N，则N，由于B，M，N三点共线，所以kBN＝kBM，即＝，所以＝，即a＝3c，所以e＝.故选A．

21．(2018·天津卷)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k＜0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
【解析】(1)设椭圆的焦距为2c，由已知得＝，又由a2＝b2＋c2可得2a＝3b.由|AB|＝＝，从而a＝3，b＝2，所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，由题意，x2＞x1＞0，点Q的坐标为(－x1，－y1)．由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍可得|PM|＝2|PQ|，从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，由方程组消去y可得x2＝.由方程组消去y可得x1＝ .由x2＝5x1可得＝5(3k＋2)，两边平方整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－或k＝－.当k＝－时，x2＝－9＜0，不合题意，舍去；当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意，所以k的值为－.
22．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m＞0)．
(1)证明：k＜－；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．
【解析】(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.
两式相减，并由＝k得＋·k＝0.由题设知＝1，＝m，
于是k＝－.①由题设得0＜m＜，故k＜－.
(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．
由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0.
又点P在C上，所以m＝，从而P，||＝，
于是||＝ ＝ ＝2－.
同理，||＝2－.所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.故2||＝||＋||，
即||，||，||成等差数列．设该数列的公差为d，则2|d|＝|||－|||＝|x1－x2|
＝.②将m＝代入①得k＝－1，
所以l的方程为y＝－x＋，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0.
故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝.
所以该数列的公差为或－.