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专题17 双曲线及其标准方程(知识精讲)-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册)学案
展开专题十七 双曲线及其标准方程
一 知识结构图
内 容 | 考点 | 关注点 |
双曲线及其标准方程 | 双曲线的定义 | 定义运用 |
双曲线的标准方程 | 由方程确定焦点位置、求方程 |
二.学法指导
1.双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程.
(2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程-=1或-=1(a,b均为正数),然后根据条件求出待定的系数代入方程即可.
2.求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式;③通过配方,整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;④利用公式S=×|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面积.
(2)利用公式=×|F1F2|×|yP|求得面积.
3.求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:
(1)列出等量关系,化简得到方程;
(2)寻找几何关系,结合双曲线的定义,得出对应的方程.
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
三.知识点贯通
知识点1 求双曲线的标准方程
| 焦点在x轴上 | 焦点在y轴上 |
标准方程 | -=1(a>0,b>0) | -=1(a>0,b>0) |
焦点 | F1(-c,0),F2(c,0) | F1(0,-c),F2(0,c) |
a,b,c 的关系 | c2=a2+b2 |
例题1.根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)a=4,经过点A;
(2)与双曲线-=1有相同的焦点,且经过点(3,2);
【解析】 (1)当焦点在x轴上时,设所求标准方程为-=1(b>0),把点A的坐标代入,得b2=-×<0,不符合题意;当焦点在y轴上时,设所求标准方程为-=1(b>0),把A点的坐标代入,得b2=9.故所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)法一:∵焦点相同,
∴设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
∴c2=16+4=20,即a2+b2=20. ①
∵双曲线经过点(3,2),∴-=1. ②
由①②得a2=12,b2=8,∴双曲线的标准方程为-=1.
法二:设所求双曲线的方程为-=1(-4<λ<16).
∵双曲线过点(3,2),∴-=1,
解得λ=4或λ=-14(舍去).
∴双曲线的标准方程为-=1.
知识点二 双曲线定义的应用
双曲线的定义
文字语言 | 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹. |
符号语言 | ||PF1|-|PF2||=常数(常数<|F1F2|) |
焦点 | 定点F1,F2 |
焦距 | 两焦点间的距离 |
例题2:△ABC中,A(-5,0),B(5,0),点C在双曲线-=1上,则=( )
A. B.± C.- D.±
【答案】D
【解析】在△ABC中,sin A=,sin B=,sin C==(其中R为△ABC外接圆的半径).
∴==.
又∵|BC|-|AC|=±8,
∴=±=±.
知识点三 与双曲线有关的轨迹问题
双曲线的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.
例题3 .如图所示,在△ABC中,已知|AB|=4,且三个内角A,B,C满足2sin A+sin C=2sin B,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.
【解析】 以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
则A(-2,0),B(2,0).
由正弦定理,得sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC的外接圆半径).
∵2sin A+sin C=2sin B,∴2|BC|+|AB|=2|AC|,
即|AC|-|BC|==2<|AB|.
由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).
由题意,设所求轨迹方程为-=1(x>a),
∵a=,c=2,∴b2=c2-a2=6.
即所求轨迹方程为-=1(x>).
五 易错点分析
易错一 求双曲线上一点到焦点的距离
例题4.已知F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离。
[解] 由双曲线的标准方程-=1,得a=3,b=4,c=5。由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=6,∴|10-|PF2||=6。解得|PF2|=4或|PF2|=16
误区警示
求双曲线上一点到焦点的距离,要注意双曲线定义的运用,距离差的绝对值。
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