专题11 圆的方程 知识精讲 -【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）学案

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二.学法指导
1．判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
2．确定圆的标准方程的方法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程．
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②列—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解—解方程组，求出a，b，r；
④代—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．
3．求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
4．圆的方程的几种特殊情况
5..求涉及到曲线的轨迹问题时，一般有两种方法：一是直接法，即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法，代入法也叫相关点法，就是把动点(x，y)与相关点(x0，y0)建立等式，再把x0，y0用x，y表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的限制．
三.知识点贯通
知识点1 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝eq \r(x0－a2＋y0－b2).
例题1.已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
【解析】 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－1＝0，,x－2y＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))
∴圆心M的坐标为(0,1)，
半径r＝|MP|＝eq \r(52＋1－62)＝5eq \r(2).
∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.
∵|AM|＝eq \r(2－02＋2－12)＝eq \r(5)＜r，
∴点A在圆内．
∵|BM|＝eq \r(1－02＋8－12)＝eq \r(50)＝r，
∴点B在圆上．
∵|CM|＝eq \r(6－02＋5－12)＝eq \r(52)＞r，
∴点C在圆外．∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．
知识点二 求圆的标准方程
圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆．
例题2：求过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．
【解析】 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由已知条件知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a2＋－1－b2＝r2，,－1－a2＋1－b2＝r2，,a＋b－2＝0，))
解此方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，,r2＝4.))
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
知识点三 与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
(1)形如u＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－eq \f(a,b) x＋eq \f(l,b)截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．
例题3 .已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝eq \f(1,4)，试求x2＋y2的最值．
【解析】 由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0,0)到圆心C(－1,0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，最小距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).因此x2＋y2的最大值和最小值分别为eq \f(9,4)和eq \f(1,4).
知识点四 圆的一般方程的认识
判断方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆，关键是将其配方eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，最后转化为判断D2＋E2－4F的正负问题．
例题4．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．
①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0.
【解析】 ①方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2,0)，半径r＝2.
②方程可变形为2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))eq \s\up12(2)＋2(y＋1)2＝－eq \f(23,8)，此方程无实数解．故方程不表示任何图形．
③原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.
当a＝0时，方程表示点(0,0)，不表示圆；
当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，|a|为半径的圆．
知识点五 求圆的一般方程
圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
其中圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，圆的半径为r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F).
例题5已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
【解析】设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋16＋D＋4E＋F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋25＋4D－5E＋F＝0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝2，,F＝－23，))
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
五 易错点分析
易错一 圆的一般方程
例题6.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点 B．一个圆
C．一条直线D．不存在
【答案】A
【解析】方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．
误区警示
关于x,y的一元二次方程能否表示圆，一种方法可将一元二次方程配方，另一种方法，可根据一般方程表示圆的条件来判断。
内 容
考点
关注点
圆的方程
圆的标准方程
圆心坐标、半径
点与圆的位置关系
距离与半径比较
圆的一般方程
与标准方程互化
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
过原点
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
x2＋y2＋Dx＋F＝0(D2－4F＞0)
圆心在y轴上
x2＋y2＋Ey＋F＝0(E2－4F＞0)
位置关系
d与r的大小
图示
点P的坐标的特点
点在圆外
d＞r
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
点在圆上
d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
d＜r
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2