考点02 充分条件与必要条件（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

这是一份考点02 充分条件与必要条件（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案，共5页。学案主要包含了充分，充要条件的探求等内容，欢迎下载使用。

该考点常常结合不等式、三角函数、数列、圆锥曲线、立体几何等知识进行综合考查，注意充分条件和必要条件的区别，考查比较频繁，在历年高考题中时常以选择题的形式出现，难度较小。
一、充分、必要条件的判定；
二、充分、必要条件的应用；
三、充要条件的探求。
【易错警示】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(2)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.( )
(3)q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．( )
(4)若p⇒q，则p是q的充分不必要条件．( )
答案：（1）√ （2）√ （3）√ （4）×
充分、必要条件的判定
充分条件、必要条件与充要条件的概念
【知识拓展】
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
提示 若AB，则p是q的充分不必要条件；
若A⊇B，则p是q的必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分条件、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．[来源:Z#xx#k.Cm]
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．
【典例】
例1．设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的______________条件．(选填“充分不必要”必要不充分“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q的充分不必要条件．
例2．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( )
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
答案 D
解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．
例3．设p：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x<1，q：lg2x<0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x<1知x>0，所以p对应的集合为(0，＋∞)，由lg2x<0知0例4．若集合A＝{x|x2－6x＋5<0}，B＝{x||x－a|<1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 A＝{x|1∵B⊆A，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1≥1，,a＋1≤5，))即2≤a≤4，
∵(2,3) [2,4]，∴“a∈(2,3)”是“B⊆A”的充分不必要条件．
充分、必要条件的应用
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
【典例】
例1 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．[来源:学.科.网]
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2， ∴0≤m≤3.,1＋m≤10，))
∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，
即所求m的取值范围是[0,3]．
若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))方程组无解，
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
例2 (1)已知p：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充要条件，则实数a的值为________．
答案 1
解析 q：(x－a)(x－a－1)≤0，∴a≤x≤a＋1.
由p是q的充要条件知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,a＋1＝2，))∴a＝1.
(2)设p：|2x＋1|0)；q：eq \f(x－1,2x－1)>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．
答案 (0,2]
解析 由|2x＋1|0)，得－m<2x＋1∴－eq \f(m＋1,2)由eq \f(x－1,2x－1)>0，得x1.
∵p是q的充分不必要条件，
∴eq \f(m－1,2)≤eq \f(1,2)，∴0 充要条件的探求
充要条件的处理上，涉及到关于求解题和证明题，需要两个方面进行处理。
探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．
【典例】
例1 已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．
解 因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，所以m≠0.
又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ1＝161－m≥0，,Δ2＝16m2－44m2－4m－5≥0，))解得m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，1)).
因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,m)∈Z，,4m∈Z，,4m2－4m－5∈Z.))，所以m为4的约数．
又因为m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，1))，所以m＝－1或1.
当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数；
而当m＝1时，两方程的根均为整数，
所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.
例2 (1)命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A．a≥4 B．a>4
C．a≥1 D．a>1
答案 B
解析要使“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a>4是命题为真的充分不必要条件．
(2)(2020·武汉质检)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．
答案 ac<0
解析 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝b2－4ac>0，,\f(c,a)<0.))，即ac<0.
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p