专题10.4 变量间的相关关系与统计案例-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．
2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
3.了解常见的统计方法，了解回归分析的基本思想并能应用这些方法解决一些实际问题．
4.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.
【命题趋势】
1.散点图与相关关系、线性回归方程与独立性检验在实际生活中的应用．
2.有关统计内容及方法主要以选择题、填空题的形式呈现，属容易题；抽样方法和各种统计图表与概率的有关内容相结合或与统计案例相结合也会出现在解答题中，属中档题.
【核心素养】
本讲内容突出对数据分析，数学运算核心素养的考查.
【素养清单•基础知识】
1．相关关系与回归方程
(1)相关关系的分类
①正相关：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内．
②负相关：从散点图上看，点散布在从左上角到右下角的区域内．
(2)线性相关关系
从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(3)回归方程
①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法．
②回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为，其中eq \(b,\s\up18(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )x i－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )x i－\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up18(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up18(^)) eq \x\t(x).
(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))称为样本点的中心．
(4)样本相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )x i－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n, )x i－\x\t(x)2\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2))，用它来衡量两个变量间的线性相关关系的强弱．
①当r＞0时，表明两个变量正相关；
②当r＜0时，表明两个变量负相关；
③r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近0，表明两个变量的线性相关性越弱，通常当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r))>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．
2．独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．
(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x1，x2))和eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y1，y2))，其样本频数列联表(称为2×2列联表)如下：
K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d) (其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，则利用独立性检验判断表来判断“X与Y的关系”．
【素养清单•常用结论】
(1)求解回归方程的关键是确定回归系数eq \(a,\s\up6(^))，eq \(b,\s\up6(^))，应充分利用回归直线过样本中心点
(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))．
(2)根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大．
(3)根据回归方程计算的eq \(y,\s\up6(^))值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．
【真题体验】
1．观察下列各图：
其中两个变量x，y具有相关关系的图是( )
A．①② B．①④
C．③④ D．②③
【答案】C
【解析】由散点图知③④具有相关关系．
2．已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为eq \(y,\s\up18(^))＝0.95x＋eq \(a,\s\up18(^))，则eq \(a,\s\up18(^))＝( )
B．2.6
C．2.2 D．0
【答案】B
【解析】由已知得eq \(x,\s\up18(－))＝2，eq \(y,\s\up18(－))＝4.5，因为回归方程经过点(eq \(x,\s\up18(－))，eq \(y,\s\up18(－)))，所以＝4.5－0.95×2＝2.6.
3．若回归直线方程为eq \(y,\s\up18(^))＝2－1.5x，则变量x增加一个单位，y( )
A．平均增加1.5个单位
B．平均增加2个单位
C．平均减少1.5个单位
D．平均减少2个单位
【答案】C
【解析】因为回归直线方程为 ＝2－1.5x，所以＝－1.5，则变量x增加一个单位，y平均减少1.5个单位．
4．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 ( )
A．若K2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误
D．以上三种说法都不正确
【答案】C
【解析】根据独立性检验的思想知C项正确．
【考法拓展•题型解码】
考法一 相关关系的判断
归纳总结
判定两个变量正、负相关性的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关.
(3)线性回归方程中：eq \(b,\s\up18(^))>0时，正相关；eq \(b,\s\up18(^))<0时，负相关．
(4)相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性．
【例1】 (1)为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x轴、y轴的单位长度相同)，用回归直线方程eq \(y,\s\up18(^))＝eq \(b,\s\up18(^))x＋eq \(a,\s\up18(^))近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )
A．线性相关关系较强，的值为1.25
B．线性相关关系较强，的值为0.83
C．线性相关关系较强，的值为－0.87
D．线性相关关系较弱，无研究价值
(2)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是( )
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
【答案】 (1)B (2)C
【解析】(1)由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比y＝x的斜率要小一些，故选B.
(2)因为y＝－0.1x＋1，x的系数为负，故x与y负相关；而y与z正相关，故x与z负相关．
考法二 线性回归分析
归纳总结
(1)正确理解计算eq \(b,\s\up18(^))，eq \(a,\s\up18(^))的公式并能准确的计算出结果是求线性回归方程的关键．
(2)回归直线eq \(y,\s\up18(^))＝eq \(b,\s\up18(^))x＋eq \(a,\s\up18(^))必过样本点的中心(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))．
(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．
【例2】 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
其中ωi＝eq \r(xi)，eq \x\t(ω)＝eq \f(1,8)eq \i\su(i＝1,8,ω)i.
(1)根据散点图判断与eq \r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线eq \(v,\s\up18(^))＝eq \(α,\s\up18(^))＋eq \(β,\s\up18(^))u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq \(β,\s\up18(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )(ui－\x\t(u))(vi－\x\t(v)),\i\su(i＝1,n, )(ui－\x\t(u))2)，eq \(α,\s\up18(^))＝eq \x\t(v)－eq \(β,\s\up18(^))eq \x\t(u).
【答案】见解析
【解析】(1)由散点图可以判断eq \r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝eq \r(x)，先建立y关于w的线性回归方程．
由于eq \(d,\s\up18(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,8, )(wi－\x\t(w))(yi－\x\t(y)),\i\su(i＝1,8, )(wi－\x\t(w))2)＝eq \f(108.8,1.6)＝68，
＝eq \x\t(y)－eq \x\t(w)＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68eq \r(x).
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6＋68eq \r(49)＝576.6，年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值＝0.2(100.6＋68eq \r(x))－x＝－x＋13.6eq \r(x)＋20.12.所以当eq \r(x)＝eq \f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
考法三 独立性检验
归纳总结
(1)独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出K2的值．
(2)弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系，根据题目要求作出正确的回答．
【例3】 为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：
女生：
男生：
(1)从这20名男生中随机选出3人，求恰有一人睡眠时间不足7小时的概率；
(2)完成下面2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？
K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d),
【答案】见解析
【解析】 (1)设所求事件概率为P，则P＝eq \f(C\\al(1,12)C\\al(2,8),C\\al(3,20))＝eq \f(28,95).
(2)
＝eq \f(40,91)≈0.440＜2.706.
所以没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”．
【易错警示】
关键点 数据较大，巧求真值，利用样本中心点的特点
【典例】 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据.
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程eq \(y,\s\up18(^))＝eq \(b,\s\up18(^))x＋eq \(a,\s\up18(^))；
(2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2016年的粮食需求量．
【规范解答】：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下：
对处理的数据，容易算得eq \x\t(x)＝0，eq \x\t(y)＝3.2，
eq \(b,\s\up18(^))＝eq \f((－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2,(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02)＝
eq \f(260,40)＝6.5，eq \(a,\s\up18(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up18(^))eq \x\t(x)＝3.2.
由上述计算结果，知所求线性回归方程为
eq \(y,\s\up18(^))－257＝6.5(x－2 014)＋3.2，即eq \(y,\s\up18(^))＝6.5(x－2 014)＋260.2.
(2)利用所求得的线性回归方程，可预测2020年的粮食需求量大约为6.5×(2 020－ 2 014)＋260.2 ＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
解题技巧
(1)数据位数较大，不易求出真值，可以将一些数据小化处理；
(2)对xi，yi的值列表进行对应计算，可求出真值；
(3)注意与的区别．
【跟踪训练】 某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下.
(1)经观测每册书的成本费y与印刷册数的倒数eq \f(1,x)之间具有明显的线性相关关系，求出y对x的回归方程；
(2)试比较(1)中的回归方程与回归模型eq \(y,\s\up18(^))＝eq \f(7,\r(x))哪一个拟合效果更好．
参考数据：eq \f(1,\r(2))≈0.707，eq \f(1,\r(5))≈0.447.
【答案】见解析
【解析】(1)设t＝eq \f(1,x)，则
eq \x\t(t)＝eq \f(1,4)(0.05＋0.1＋0.2＋0.5)＝0.212 5，eq \x\t(y)＝eq \f(1,4)(1.5＋2.0＋2.7＋5.4)＝2.9，
由最小二乘法得eq \(b,\s\up18(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,4,t)iyi－4\x\t(t) \x\t(y),\i\su(i＝1,4,t)\\al(2,i)－4\x\t(t)2)＝eq \f(3.515－2.465,0.302 5－0.180 625)≈8.615，eq \(a,\s\up18(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up18(^)) eq \x\t(t)≈2.9－8.615×0.212 5≈1.069，
所以eq \(y,\s\up18(^))＝8.615t＋1.069，即线性回归方程为eq \(y,\s\up18(^))＝eq \f(8.615,x)＋1.069.
(2)由回归方程eq \(y,\s\up18(^))＝eq \f(8.615,x)＋1.069和回归模型eq \(y,\s\up18(^))＝eq \f(7,\r(x))，得以下表格．
所以对于回归方程eq \(y,\s\up18(^))＝eq \f(8.615,x)＋1.069，
eq \i\su(i＝1,4,|)yi－eq \(y,\s\up18(^))|2＝02＋0.0692＋0.0922＋0.0232≈0.014；
对于回归模型eq \(y,\s\up18(^))＝eq \f(7,\r(x))，
eq \i\su(i＝1,4,|)yi－eq \(y,\s\up18(^))|2＝0.0652＋0.2122＋0.4292＋0.4512≈0.437，
因为0.014<0.437，所以回归方程eq \(y,\s\up18(^))＝eq \f(8.615,x)＋1.069比回归模型eq \(y,\s\up18(^))＝eq \f(7,\r(x))的拟合效果更好．
【递进题组】
1．下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是( )
【答案】D
【解析】观察散点图可知，只有D项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．
2．为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别做了研究，利用回归分析的方法得到回归直线l1和l2，两人计算得eq \x\t(x)相同，eq \x\t(y)也相同，则下列结论正确的是( )
A．l1与l2重合
B．l1与l2一定平行
C．l1与l2相交于点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))
D．无法判断l1和l2是否相交
【答案】C
【解析】 因为回归直线经过样本点的中心(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，故两直线都经过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，而eq \x\t(x)，eq \x\t(y)相同不能得到eq \(a,\s\up18(^))，eq \(b,\s\up18(^))一定相同，故选C.
3．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程eq \(y,\s\up18(^))＝eq \(b,\s\up18(^))x＋eq \(a,\s\up18(^))；
(3)试预测加工10个零件需要的时间？
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(注：\(b,\s\up18(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n \x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n \x\t(x)2)，\(a,\s\up18(^))＝\x\t(y)－\(b,\s\up18(^))\x\t(x)))
【答案】见解析
【解析】 (1)散点图如图．
(2)由表中数据得eq \i\su(i＝1,4,x)iyi＝52.5，eq \(x,\s\up18(－))＝3.5，eq \(y,\s\up18(－))＝3.5，eq \i\su(i＝1,4,x)eq \\al(2,i)＝54，
所以eq \(b,\s\up18(^))＝0.7，eq \(a,\s\up18(^))＝1.05，eq \(y,\s\up18(^))＝0.7x＋1.05.
(3)将x＝10代入线性回归方程，得eq \(y,\s\up18(^))＝0.7×10＋1.05＝8.05，故预测加工10个零件约需要8.05小时．
4．某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表.
(1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学成绩与性别是否有关？
(2)规定80分以上为优分(含80分)，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.
【答案】见解析
【解析】(1)eq \(x,\s\up18(－))男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5，
eq \(x,\s\up18(－))女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5，
从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关．
(2)由频数分布表可知：由抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得2×2列联表如下.
可得≈1.79，因为1.79＜2.706，
所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．
【考卷送检】
一、选择题
1．(2019·开封高三模拟)下列说法错误的是( )
A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫作相关关系
B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好
【答案】B
【解析】根据相关关系的概念知A正确；当r>0时，r越大，相关性越强，当r<0时，r越大，相关性越弱，故B不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好，二是R2越大，拟合效果越好，所以R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，C，D正确，故错误的是B.
2．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，其回归直线方程是eq \(y,\s\up18(^))＝eq \f(1,3)x＋eq \(a,\s\up18(^))，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数eq \(a,\s\up18(^))的值是( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,8)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
【答案】B
【解析】 依题意可知样本中心点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(3,8)))，则eq \f(3,8)＝eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＋，解得＝eq \f(1,8)，故选B.
3．(2019·湖南湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果k>3.841，那么有把握认为“X和Y有关系”的百分比为( )
A.5% B．75%
C．99.5% D．95%
【答案】D
【解析】由表中数据可得，当k>3.841时，有1－0.05＝0.95的几率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.
4．(2019·大连双基测试)对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归方程为eq \(y,\s\up18(^))＝0.8x－155，则实数m的值为( )
A.8 B．8.2
C．8.4 D．8.5
【答案】A
【解析】eq \x\t(x)＝eq \f(196＋197＋200＋203＋204,5)＝200，eq \x\t(y)＝eq \f(1＋3＋6＋7＋m,5)＝eq \f(17＋m,5)，将样本中心点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(200，\f(17＋m,5)))代入＝0.8x－155，可得m＝8，故选A.
5．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为eq \(y,\s\up18(^))＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是( )
A.产品的生产能耗与产量呈正相关
B．t的取值必定是3.15
C．回归直线一定过(4.5,3.5)
D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
【答案】B
【解析】由题意，eq \x\t(x)＝eq \f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，因为＝0.7x＋0.35，所以 eq \x\t(y)＝0.7×4.5＋0.35＝3.5，所以t＝4×3.5－2.5－4－4.5＝3，故选B.
6．(2019·泉州模拟)已知某产品连续4个月的广告费xi(千元)与销售额yi(万元)，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：
①eq \i\su(i＝1,4,x)i＝18，eq \i\su(i＝1,4,y)i＝14；
②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系；
③回归直线方程为中的＝0.8(用最小二乘法求得)．
那么广告费用为6千元时，可预测销售额约为( )
A．3.5万元 B．4.7万元
C．4.9万元 D．6.5万元
【答案】B
【解析】因为eq \i\su(i＝1,4,x)i＝18，eq \i\su(i＝1,4,y)i＝14，所以eq \x\t(x)＝eq \f(9,2)，eq \x\t(y)＝eq \f(7,2)，因为回归直线方程为中的＝0.8，所以eq \f(7,2)＝0.8×eq \f(9,2)＋，所以＝－eq \f(1,10)，所以＝0.8x－eq \f(1,10).故x＝6时，可预测销售额约为4.7万元，故选B.
二、填空题
7．已知x，y的取值如下表.
从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为＝1.46x＋，则实数的值为________．
【答案】 －0.61
【解析】eq \x\t(x)＝eq \f(2＋3＋4＋5,4)＝3.5，eq \x\t(y)＝eq \f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5,4)＝4.5，回归方程必过样本的中心点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))．把(3.5,4.5)代入回归方程，计算得＝－0.61.
8．高三某班学生每周用于物理学习的时间x(单位：小时)与物理成绩y(单位：分)之间有如下关系.
根据上表可得回归方程的斜率为3.53，则回归直线在y轴上的截距为________(精确到0.1)．
【答案】13.5
【解析】由已知可得
eq \x\t(x)＝eq \f(24＋15＋23＋19＋16＋11＋20＋16＋17＋13,10)＝17.4，
eq \x\t(y)＝eq \f(92＋79＋97＋89＋64＋47＋83＋68＋71＋59,10)＝74.9，
设回归直线方程为＝3.53x＋，则74.9＝3.53×17.4＋，解得≈13.5.
9．(2019·长沙重点中学联考)在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程y＝c1ec2x(c1＞0)转化为线性回归方程，即两边取对数，令z＝ln y，得到z＝c2x＋ln c1.受其启发，可求得函数y＝xlg2(4x)(x＞0)的值域是________．
【答案】[eq \f(1,2)，＋∞)
【解析】 由题意，类比方法可得函数y＝xlg2(4x)(x>0)，两边取对数，可得lg2y＝lg2(4x)lg2x，
令lg2x＝t，则lg2y＝t(2＋t)＝(t＋1)2－1≥－1，
所以y≥eq \f(1,2)，所以函数y＝xlg2(4x)(x>0)的值域是[eq \f(1,2)，＋∞)．
三、解答题
10．下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下.
(1)求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；
(2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x，y的线性回归方程.
附：eq \(b,\s\up18(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\t(x))2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up18(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up18(^))eq \x\t(x).
【答案】见解析
【解析】(1)eq \x\t(x)＝eq \f(1,5)×(79＋81＋83＋85＋87)＝83，
因为eq \x\t(y)＝eq \f(1,5)×(77＋79＋79＋82＋83)＝80，
所以seq \\al(2,y)＝eq \f(1,5)×[(77－80)2＋(79－80)2＋(79－80)2＋(82－80)2＋(83－80)2]＝4.8.
(2)因为eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝30，eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))2＝40，
所以＝0.75，＝eq \x\t(y)－eq \x\t(x)＝17.75，
则所求的线性回归方程为＝0.75x＋17.75.
11．(2019·石家庄调研)某学校高中毕业班有男生900人，女生600人，学校为了对高三学生数学学习情况进行分析，从高三年级按照性别进行分层抽样，抽取200名学生成绩，统计数据如下表所示.
(1)若成绩在90分以上(含90分)，则成绩为合格，请估计该校毕业班平均成绩和及格学生人数；
(2)如果样本数据中，有60名女生数学成绩及格，请完成如下数学成绩与性别的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”．
参考公式：K2＝eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))
【答案】见解析
【解析】(1)高三学生数学平均成绩为eq \f(1,200)×(60×20＋80×40＋100×70＋120×50＋140×20)＝101，估计高三学生数学平均成绩为101分，及格学生人数为eq \f(70＋50＋20,200)×(900＋600)＝1 050.
(2)
K2的观测值k＝＝eq \f(100,63)≈1.587<2.706，所以没有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”．
12．一家商场为了确定营销策略，进行了四次投入促销费用x和商场实际销售额y的试验，得到如下数据.
(1)在下面的直角坐标中，画出上述数据的散点图，并据此判断两个变量是否具有较好的线性相关性；
(2)求出x，y之间的回归直线方程；
(3)若该商场计划营销额不低于600万元，则至少要投入多少万元的促销费用？
【答案】见解析
【解析】(1)散点图如图所示，从图上可以看出两个变量具有较好的线性相关性．
(2)eq \x\t(x)＝eq \f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq \x\t(y)＝eq \f(100＋200＋300＋400,4)＝250，
eq \i\su(i＝1,4, )(xi－eq \x\t(x))2＝(2－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2＝10，
eq \i\su(i＝1,4, )(x1－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝(－2)×(－150)＋(－1)×(－50)＋1×50＋2×150＝700，
eq \(b,\s\up18(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,4, )(xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\i\su(i＝1,4, )(xi－\x\t(x))2)＝eq \f(700,10)＝70，
eq \(a,\s\up18(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up18(^))eq \x\t(x)＝250－70×4＝－30.
故所求的回归直线方程为eq \(y,\s\up18(^))＝70x－30.
(3)令70x－30≥600，即x≥eq \f(600＋30,70)＝9(万元)．
故该商场计划营销额不低于600万元，则至少要投入9万元的促销费用．
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
eq \x\t(x)
eq \x\t(y)
eq \x\t(ω)
eq \i\su(i＝1,8, )(xi－eq \x\t(x))2
eq \i\su(i＝1,8, )(ωi－eq \x\t(ω))2
eq \i\su(i＝1,8, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))
eq \i\su(i＝1,8, )(ωi－eq \x\t(ω))(yi－eq \x\t(y))
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1.469
108.8
睡眠时间/小时
[4,5)
[5,6)
[6,7)
[7,8)
[8,9)
人数
2
4
8
4
2
睡眠时间/小时
[4,5)
[5,6)
[6,7)
[7,8)
[8,9)
人数
1
5
6
5
3
睡眠时间少于7小时
睡眠时间不少于7小时
合计
男生
女生
合计
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
睡眠时间少于7小时
睡眠时间不少于7小时
合计
男生
12
8
20
女生
14
6
20
合计
26
14
40
年份
2010
2012
2014
2016
2018
需求量/万吨
236
246
257
276
286
年份－2 014
－4
－2
0
2
4
需求－257
－21
－11
0
19
29
x
20
10
5
2
y
1.5
2.0
2.7
5.4
t
0.05
0.1
0.2
0.5
y
1.5
2.0
2.7
5.4
xi
20
10
5
2
yi
1.5
2.0
2.7
5.4
eq \(y,\s\up18(^))＝eq \f(8.615,x)＋1.069
1.5
1.931
2.792
5.377
y＝eq \f(7,\r(x))
1.565
2.212
3.129
4.949
零件的个数x/个
2
3
4
5
加工的时间y/小时
2.5
3
4
4.5
分数段
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
男
3
9
18
15
6
9
女
6
4
5
10
13
2
优分
非优分
总计
男生
女生
总计100
优分
非优分
总计
男生
15
45
60
女生
15
25
40
总计
30
70
100
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
196
197
200
203
204
y
1
3
6
7
m
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
x
2
3
4
5
y
2.2
3.8
5.5
6.5
x
24
15
23
19
16
11
20
16
17
13
y
92
79
97
89
64
47
83
68
71
59
月份
9
10
11
12
1
历史成绩x/分
79
81
83
85
87
政治成绩y/分
77
79
79
82
83
分数段/分
[50,70)
[70,90)
[90,110)
[110,130)
[130,150)
总计
频数
20
40
70
50
20
200
女生
男生
总计
及格人数
60
不及格人数
总计
P(K2≥k0)
0.10
0.050
0.010
k0
2.706
3.841
6.635
女生
男生
总计
及格人数
60
80
140
不及格人数
20
40
60
总计
80
120
200
投入促销费用x/万元
2
3
5
6
商场实际营销额y/万元
100
200
300
400