专题8.3 圆的方程-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.掌握确定圆的几何要素．
2.掌握圆的标准方程与一般方程．
3.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置．
4.会简单应用空间两点间的距离公式.
【命题趋势】
圆的方程，利用圆的性质求解最值
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算、直观想象的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．圆的定义及方程
标准方程强调圆心坐标为(a，b)，半径为r.
(1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；
(2)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(＞)r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(＝)r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(＜)r2.
【素养清单•常用结论】
(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF＞0.))
(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
【真题体验】
1．已知点A(1，－1)，B( －1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝eq \r(2)
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
【答案】A
【解析】 因为圆心为(0,0)，半径r＝eq \f(1,2)＝eq \r(2)，所以圆的方程为x2＋y2＝2.
2．方程x2 ＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－eq \r(2))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，＋∞))
B．(－∞，－2eq \r(2))∪(2eq \r(2)，＋∞)
C．(－∞，－eq \r(3))∪(eq \r(3)，＋∞)
D．(－∞，－2eq \r(3))∪(2eq \r(3)，＋∞)
【答案】B
【解析】 因为方程表示圆，则m2＋(－2)2－4×3>0，所以m<－2eq \r(2)或m>2eq \r(2).
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a满足的条件是( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1
C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1
【答案】A
【解析】点(1,1)在圆内，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，即－14．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝3，M为AC1与CA1的交点，则点M的坐标为__________．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)，1))
【解析】 由长方体的几何性质得M为AC1的中点，在所给的坐标系中，A(0,0,0)，C1(2,3,2)，则中点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)，1)).
【考法拓展•题型解码】
考法一 求圆的方程
归纳总结
求圆的方程的方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
【例1】 根据下列条件，求圆的方程．
(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；
(2)经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.
【答案】见解析
【解析】 (1)由题意知kAB＝2，AB中点为(4,0)，设圆心C(a，b)．
因为圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a－4)＝－\f(1,2)，,2a－b－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，))所以C(2,1)，
所以r＝|CA|＝＝eq \r(10)，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
将P，Q两点的坐标分别代入得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2D－4E－F＝20， ①,3D－E＋F＝－10. ②))
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0. ③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36， ④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
考法二 与圆有关的最值问题
归纳总结
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
【例2】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求y－x的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2的最大值和最小值；
(3)求eq \f(y,x)的最大值和最小值．
【答案】见解析
【解析】 方程x2＋y2－4x＋1＝0可变形为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆．
(1)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，解得b＝－2±eq \r(6).所以y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6).
(2)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
(3)eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k＝±eq \r(3).所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3).
考法三 与圆有关的轨迹问题
解题技巧
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
【例3】 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【答案】见解析
【解析】 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2,2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2 ＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
考法四 空间直角坐标系中的对称问题
解题技巧
解决空间直角坐标系中点的对称问题的关注点
(1)看清所求问题是关于坐标轴对称还是坐标平面对称，明确哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化．
(2)记清各类对称点坐标间的对称关系是解决此类问题的关键．
(3)可借助于坐标系中的长方体模型帮助记忆点P关于原点、坐标轴、坐标平面的对称的特点，以便解决其他问题．
【例4】 如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心是坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
【答案】见解析
【解析】 由题意得点B与点A关于xOz平面对称，故点B的坐标为(－2,3，－1)；点D与点A关于yOz平面对称，故点D的坐标为(2，－3，－1)；点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3，－1)；由于点A1，B1，C1，D1分别与点A，B，C，D关于xOy平面对称，故有A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1), C1(2,3,1), D1(2，－3,1)．
【易错警示】
易错点 忽视圆的方程中的隐含条件
【典例】 若过点(0,0)作圆x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0的切线有两条，则k的取值范围是__________．
【错解】：由于过点(0,0)可作圆的两条切线，所以点(0,0)必在圆外，即有2k2＋k－1>0，解得k＜－1或k＞eq \f(1,2).故k的取值范围是(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
【错因分析】：上述解答过程中，因忽视圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的隐含条件D2＋E2－4F＞0而导致错误．
【正解答案】：(－2，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)))
【正解】：因为方程表示圆，所以k2＋(2k)2－4(2k2＋k－1)＞0，
即3k2＋4k－4＜0，解得－2＜k＜eq \f(2,3).①
由题意得点(0,0)在圆外，所以2k2＋k－1＞0，
解得k＞eq \f(1,2)或k＜－1.②
由①②得－2＜k＜－1或eq \f(1,2)＜k＜eq \f(2,3)，
故k的取值范围是(－2，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))).
【跟踪训练】 已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围是__________．
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(9,4)))
【解析】因为点A在圆的外部，所以有
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>2，,a<\f(9,4)，))即2所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(9,4))).
【递进题组】
1．(2019·长阳一中月考)已知点A(2，－1，－3)，点A关于x轴的对称点为点B，则|AB|的值为( )
A．4 B．6
C.eq \r(14) D．2eq \r(10)
【答案】D
【解析】 由题意可知点A关于x轴的对称点B的坐标为(2,1,3)，所以|AB|＝eq \r(0＋4＋36)＝2eq \r(10).故选D.
2．(2019·邢台一中月考)已知圆的圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是( )
A．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
B．x2＋y2－4x＋6y＝0
C．x2＋y2－4x－6y＝0
D．x2＋y2－4x＋6y－8＝0
【答案】B
【解析】由题意可设圆的直径两端点坐标为A(a,0)，B(0，b)，由圆心坐标可得a＝4，b＝－6，可求得2R＝|AB|＝2eq \r(13)，所以R＝eq \r(13)，可得圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，即x2＋y2－4x＋6y＝0.故选B.
3．已知实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝1，则z＝eq \f(y＋1,x)的最大值与最小值分别为__________和__________．
【答案】 eq \f(4＋\r(7),3) eq \f(4－\r(7),3)
【解析】由题意，得eq \f(y＋1,x)表示过点A(0，－1)和圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上的动点(x，y)的直线的斜率，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则eq \f(|2k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(4±\r(7),3)，所以zmax＝eq \f(4＋\r(7),3)，zmin＝eq \f(4－\r(7),3).
4．已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为__________．
【答案】 eq \f(11,2)
【解析】 x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,－3)＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝eq \f(16,5)，又|AB|＝eq \r(32＋42)＝5，所以△ABP的面积的最小值为eq \f(1,2)×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)－1))＝eq \f(11,2).
5．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边做平行四边形MONP，求点P的轨迹．
【答案】见解析
【解析】如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2)))，线段MN的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).因为平行四边形的对角线互相平分，所以eq \f(x,2)＝eq \f(x0－3,2)，eq \f(y,2)＝eq \f(y0＋4,2)，整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝x＋3，,y0＝y－4.))又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋
(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，又因为O，M，P三点不共线，所以kOM≠kOP，即y≠－eq \f(4,3)x.又(x＋3)2＋(y－4)2＝4与y＝－eq \f(4,3)x的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,5)，\f(28,5)))，所以应除去两点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,5)，\f(28,5)))
【考卷送检】
一、选择题
1．(2019·宁波中学月考)在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
【答案】A
【解析】圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,|－a|>2，,|2a|>2))⇒a<－2，故选A.
2．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
【答案】A
【解析】设对称圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，圆心(1,2)关于直线y＝x的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2 ＝1.故选A.
3．圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
【答案】A
【解析】依题意，设圆心坐标为(0，a)，则＝1，所以a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
4．已知圆O：x2＋y2＝1，若A，B是圆O上的不同两点，以AB为边作等边△ABC，则|OC|的最大值是( )
A.eq \f(\r(2)＋\r(6),2) B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(3)＋1
【答案】C
【解析】 如图所示，连OA，OB和OC.因为OA＝OB，AC＝BC，OC＝OC，所以△OAC≌△OBC，所以∠ACO＝∠BCO＝30°，在△OAC中，由正弦定理得eq \f(OA,sin 30°)＝eq \f(OC,sin ∠OAC)，所以OC＝2sin ∠OAC≤2，故|OC|的最大值为2.故选C.
5．若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为( )
A.eq \r(5) B．10
C．9 D．5＋2eq \r(5)
【答案】B
【解析】 原方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，eq \r(5)为半径的圆．设x－2y＝b，则x－2y可看作直线x－2y＝b在x轴上的截距，当直线与圆相切时，b取得最大值或最小值，此时eq \f(|1＋4－b|,\r(5))＝eq \r(5)，所以b＝10或b＝0，所以x－2y的最大值是10.
6．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝eq \r(2)，右焦点F(c,0)，方程ax2－bx－c＝0的两个实数根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)与圆x2＋y2＝8的位置关系为( )
A．点P在圆外 B．点P在圆上
C．点P在圆内 D．不确定
【答案】C
【解析】因为e2＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＝2，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＝1，所以eq \f(b,a)＝1，所以a＝b，c＝eq \r(2)a，所以方程ax2－bx－c＝0 可化为x2－x－eq \r(2)＝0.所以x1＋x2＝1，x1·x2＝－eq \r(2).所以xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝1＋2eq \r(2)<8，所以点P在圆内．故选C.
二、填空题
7．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．
【答案】 x2＋y2－2x＝0
【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将已知三点的坐标代入方程可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,D＋E＋F＋2＝0，,4＋2D＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝0，,F＝0，))所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
8．若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆C的方程是________．
【答案】 x2＋y2－2x－4y＋4＝0
【解析】设C(a，b)，因为已知圆的圆心为A(－1,0)，由点A，C关于x＋y－1＝0对称得解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2.))又圆的半径是1，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－2x－4y＋4＝0.
9．若过点P(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (－∞，－3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
【解析】 圆的方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a.因为过点P(a，a)能作圆的两条切线，所以点P在圆的外部，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a2－2a2＋a2＋2a－3>0，,3－2a>0，))解得a<－3或1三、解答题
10．已知△ABC的顶点坐标分别为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(4,3)，M是BC的中点．
(1)求AB边所在直线的方程；
(2)求以线段AM为直径的圆的方程．
【答案】见解析
【解析】(1)因为A(－1,5)，B(－2，－1)，所以由两点式得AB的方程为eq \f(y－5,－1－5)＝，整理得6x－y＋11＝0.
(2)因为M是BC的中点，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2＋4,2)，\f(－1＋3,2)))，即M(1,1)，所以|AM|＝＝2eq \r(5)，所以圆的半径为eq \r(5).所以AM的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1＋1,2)，\f(5＋1,2)))，即中点为(0,3)，所以以线段AM为直径的圆的方程为x2＋(y－3)2＝5.
11．已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
【答案】见解析
【解析】 (1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
12．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求eq \f(n－3,m＋2)的最大值和最小值．
【答案】见解析
【解析】 将圆C化为标准方程可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C(2，7)，半径r＝2eq \r(2).
(1)设m＋2n＝b，则b可看作是直线n＝－eq \f(1,2)m＋eq \f(b,2)在y轴上截距的2倍，故当直线m＋2n＝b与圆C相切时，b有最大或最小值．所以eq \f(|2＋2×7－b|,\r(12＋22))＝2eq \r(2)，所以b＝16＋2eq \r(10)(b＝16－2eq \r(10)舍去)，所以m＋2n的最大值为16＋2eq \r(10).
(2)设eq \f(n－3,m＋2)＝k，则k可看作点(m，n)与点(－2,3)所在直线的斜率，所以当直线n－3＝k(m＋2)与圆C相切时，k有最大或最小值，所以eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))＝2eq \r(2)，解得k＝2＋eq \r(3)或k＝2－eq \r(3).所以eq \f(n－3,m＋2)的最大值为2＋eq \r(3)，最小值为2－eq \r(3).
13．(2019·郴州二中质检)已知圆C关于x轴对称，经过点(0,1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )
A．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3) B．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(1,3)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(\r(3),3)))2＋y2＝eq \f(4,3) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(\r(3),3)))2＋y2＝eq \f(1,3)
【答案】C
【解析】设圆的方程为(x±a)2＋y2＝r2(a＞0)，圆C与y轴交于点A(0,1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1易知∠OCA＝eq \f(1,2)∠ACB＝eq \f(1,2)×120°＝60°，则tan 60°＝eq \f(|OA|,|OC|)＝eq \f(1,|OC|)＝eq \r(3)，所以a＝|OC|＝eq \f(\r(3),3)，即圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(\r(3),3)，0))，r2＝|AC|2＝12＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3).所以圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x±\f(\r(3),3)))2＋y2＝eq \f(4,3).

定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径： r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
(D2＋E2－4F＞0)
圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
半径：eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)