专题8.6 双曲线的定义、标准方程、几何性质-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
2.了解圆锥曲线的简单应用，了解双曲线的实际背景．
3.理解数形结合的思想.
【命题趋势】
1.求解与双曲线定义有关的问题；利用双曲线的定义求轨迹方程；求双曲线的标准方程；判断双曲线焦点的位置．
2.求双曲线的渐近线；求解与双曲线的范围、对称性有关的问题；求解双曲线的离心率.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
当|PF1|－|PF2|＝2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.
当|PF1|－|PF2|＝－2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.
若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的
标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的
标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
3．双曲线的几何性质
【素养清单•常用结论】
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a)，也叫通径．
(2)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
【真题体验】
1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为
A． B． C．2 D．
2.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（ ）
A． B． C． D．
3.【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（ ）
A． B．1 C． D．2
4.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
5.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点
（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是____________.
【考法拓展•题型解码】
考法一 双曲线的定义及其应用
归纳总结
(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立为|PF1|·|PF2|的关系．
(3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．
【例1】 (1)设F1，F2是双曲线x2－eq \f(y2,24)＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))，则△PF1F2的面积等于( )
A．4eq \r(2) B．8eq \r(3)
C．24 D．48
(2)设双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．
考法二 双曲线的标准方程
解题技巧
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
【例2】 (2019·武邑中学月考)根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为eq \f(5,4)；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)经过两点P(－3,2eq \r(7))和Q(－6eq \r(2)，－7)．
考法三 双曲线的几何性质及其应用
解题技巧
双曲线中一些几何量的求解方法
(1)求双曲线的离心率(或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线的方程：依据题设条件求出a，b的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程．
(4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长：依题设条件及a，b，c之间的关系求解．
【例3】 (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,10)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
(2)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \r(3)x
C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(\r(3),2)x
(3)(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MAN＝60°，则C的离心率为__________．
(4)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程为__________．
考法四 直线与双曲线的位置关系
解题技巧
解有关直线与双曲线的位置关系的方法
(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．
(2)与中点有关的问题常用点差法．
(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．
【例4】 若双曲线E：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的离心率等于eq \r(2)，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝6eq \r(3)，点C是双曲线上一点，且eq \(OC,\s\up18(→))＝m(eq \(OA,\s\up18(→))＋eq \(OB,\s\up18(→)))，求k，m的值．
【易错警示】
易错点 忽视双曲线的基本性质
【典例】 已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)中，A1，A2为左、右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1,2)，使得△PiA1A2(i＝1,2)构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围为__________．
【错解】：由题意知F(c,0)，B(0，b)，则直线BF的方程为bx＋cy－bc＝0，因为在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1,2)，使得△PiA1A2(i＝1,2)构成以线段A1A2为斜边的直角三角形，所以以A1A2为直径的圆与线段BF相交，所以eq \f(bc,\r(b2＋c2))＜a，所以e4－3e2＋1＜0，所以eq \f(\r(5)－1,2)＜e＜eq \f(1＋\r(5),2)，故e的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，\f(\r(5)＋1,2))).
【错因分析】：本题出现两个错误，一是双曲线的离心率e＞1这个条件被忽视，二是点B，F在以A1A2为直径的圆的外面这个隐含条件被忽视，从而导致解答出现错误．
【正解 答案】：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(\r(5)＋1,2)))
【解析】：由题意知F(c,0)，B(0，b)，则直线BF的方程为bx＋cy－bc＝0，因为在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1,2)，使得△PiA1A2(i＝1,2)构成以线段A1A2为斜边的直角三角形，所以以A1A2为直径的圆与线段BF相交，所以eq \f(bc,\r(b2＋c2))＜a，所以e4－3e2＋1＜0.因为e＞1，所以1＜e＜eq \f(\r(5)＋1,2).又因为P1，P2在线段BF上(不含端点)，所以点B在圆外，即b＞a，所以a2＜c2－a2，所以e＞eq \r(2).综上e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(\r(5)＋1,2))).
误区防范
解决双曲线问题的三个易误点
(1)双曲线方程中c2＝a2＋b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆．
(2)求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错．
(3)直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
【跟踪训练】 (2019·梧州调考)设A1，A2分别为双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的上、下顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率kMA1·kMA2＞2，则双曲线C的离心率e的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(6),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
【递进题组】
1．(2018·天津卷)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
2．(2019·合肥三中月考)若双曲线C1：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1与C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4eq \r(5)，则b＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
3．(2019·常德调考)椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m＞n＞0)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的公共焦点为F1，F2，若P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－a B．m2－a2
C.eq \f(m－a,2) D.eq \r(m)－eq \r(a)
4．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为eq \f(\r(3),2)c，则其离心率的值是__________．
5．一条斜率为1的直线l与离心率为eq \r(3)的双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且eq \(OP,\s\up18(→))·eq \(OQ,\s\up18(→))＝－3，eq \(PR,\s\up18(→))＝3eq \(RQ,\s\up18(→))，求直线和双曲线的方程．
【考卷送检】
一、选择题
1．如果方程eq \f(x2,k＋1)－eq \f(y2,2)＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
2．已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线eq \f(x2,m)＋y2＝1的离心率为( )
A.eq \f(\r(6),3) B．2
C.eq \f(\r(6),3)或2 D.eq \f(\r(2),2)或eq \r(3)
3．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \r(3)x
C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(\r(3),2)x
4．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝eq \r(6)|OP|，则C的离心率为( )
A.eq \r(5) B．2
C.eq \r(3) D.eq \r(2)
5．(2018·天津卷)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 D.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
6．(2019·长阳一中期中)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1，过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积为( )
A.eq \f(\r(2),4) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2),8) D.eq \f(\r(2),16)
二、填空题
7．(2017·北京卷)若双曲线x2－eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \r(3)，则实数m＝________.
8．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x＋eq \r(3)y＝0垂直，双曲线C的一个焦点到直线l的距离为1，则双曲线C的方程为________．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,11)＝1的左支上，则eq \f(sin A－sin C,sin B)＝________.
三、解答题
10．(2019·洛阳一中期中)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，点(eq \r(3)，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq \r(2)，且过点(4，－eq \r(10))．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：eq \(MF1,\s\up18(→))·eq \(MF2,\s\up18(→))＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
12．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－eq \r(3)，求双曲线的离心率．
13．(2019·长沙二中月考)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0,1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈(0,1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，则t的最大值为( )
A.eq \r(3) B.eq \r(5) C．2 D. eq \r(2)标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
图形
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))∈(1，＋∞) e是表示双曲线开口大小的
一个量，e越大开口越大.
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的关系
a2＝c2－b2