第8章 平面向量（章节考点分类复习导学案）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）

第8章 平面向量章节考点分类复习导学案

【考点1】向量的概念及线性运算

1．（2021·湖南师大附中高二月考）如图所示，为线段外一点，若，，，，…，中任意相邻两点间的距离相等，，，则用，表示，其结果为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设的中点为，根据中线的向量表示，化简即可求和.

【详解】设的中点为，则也是，…，的中点，

可得，同理可得，

故，

故选：B

2．（2021·北京延庆区·高三其他模拟）设为所在平面内一点，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用向量减法的三角形法则的逆运算，将化为以为始点的向量即可得解.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：B

3．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学高一月考）下列说法中正确的是（    ）

A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B．模相等的两个平行向量是相等向量

C．若和都是单位向量，则

D．零向量与其它向量都共线

【答案】D

【分析】利用相等向量的定义可判断AC选项的正误；利用相等向量和相反向量的定义可判断B选项的正误；利用零向量与任意向量共线这一性质可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重合，A选项错误；

对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误；

对于C选项，和都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故和不一定相等，C选项错误；

对于D选项，零向量的方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确.

故选：D.

4．（2021·湖南岳阳市·）已知等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且，则的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设AB的中点为D，可得，进而可得，得出O是AD的中点，即可求解面积.

【详解】解：根据题意，设AB的中点为D，是等边三角形，则，

AB的中点为D，则，

又由，则，则O是AD的中点，

又由的边长为4，则，，则，

则，

故选：D．

【点睛】关键点睛：本题考查向量的相关问题，解题的关键是判断出O是中线AD的中点.

【考点2】向量的数量积

5．（2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考）若两个向量与的夹角为，且是单位向量，向量，，则向量与的夹角为__________．

【答案】

【分析】求出及，然后由数量积定义可得夹角．

【详解】由已知，

所以，

，

设与的夹角为，则，，所以．

故答案为：．

6．（2021·浙江高一单元测试）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为______．

【答案】

【分析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值．

【详解】，解得：，

，

设，

，

当时，，∴的最小值是．

故答案为：

【点睛】关键点点睛：解题关键是合理转化，应用函数求最值．本题的特点是注重基础，本题考查了利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查转化与化归思想，考查数学运算、数学建模等学科素养．

7．（2021·浙江高一单元测试）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．

【答案】

【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解，，再利用运算律转化求即可.

【详解】∵，，

∴，

∴，，

∴，

∵,

,，

故答案为：.

8．（2021·北京市八一中学高三期末）已知向量、，，，，则______.

【答案】

【分析】由可得出的值，计算出的值，即可求得的值.

【详解】由已知条件可得，则，

所以，，因此，.

故答案为：.

9．（2021·沙坪坝区·重庆一中高三月考）已知向量，，，，则______

【答案】7.

【分析】利用向量数量积运算展开即可得到答案.

【详解】.

故答案为：7.

【考点3】向量的坐标表示

10．（2021·浙江高一单元测试）已知向量，，则______；______.

【答案】       

【分析】利用向量数量积运算可求出，向量减法运算求出的坐标，即可计算出.

【详解】解：因为向量，，

所以，

，

.

故答案为：；.

11．（2020·山东济宁市·高三期中）如图所示，在中，，，，P是BC上一点，且满足，则实数__________；__________.

【答案】       

【分析】由于三点共线，所以，得，所以，由于，，，所以将作为基底，而，所以，代值可得结果

【详解】∵，，的终点共线，

∴，∴，

∴，

又∵，

∴，①

∵，，，

∴，，，

代入①式，计算得：.

故答案为：，.

【点睛】关键点点睛：本题考查了向量共线的应用，平面向量基本定理的应用以及数量积的计算，属于典型的向量综合题，难度适中，解题的关键是将作为基底，把用基底表示出来

12．（2021·浙江高三其他模拟）已知向量，满足，．若，则______，向量与的夹角为______．

【答案】1       

【分析】由得，由，得，再由可得，由可得答案.

【详解】由，得，

由，得，

所以，因为，所以，解得，，

．所以，

所以，即向量与的夹角为．

故答案为：①1；②.

13．（2021·浙江高三其他模拟）如图，在矩形中，，，，为的中点，则______；若点在线段上运动，则的最小值为______．

【答案】5       

【分析】解法一：由展开计算即可，设，则展开计算即可；解法二：建立如图所示的平面直角坐标系，转化为点坐标计算则，，而的最小值是点到直线的距离，计算即可．

【详解】

解法一由题意知，则

．

设，则，，

故

，而，，

所以，

所以的最小值为．

解法二：由题意得，．以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，则，，

所以．易得直线的方程为，

即，取的中点，则，所以到直线的距离．

由极化恒等式得．

若要求的最小值，则只需求的最小值即可，而的最小值是点到直线的距离，

所以的最小值为．

故答案为：5；

【点睛】关键点点睛：本题求数量积最值问题，需要转化点与点之间的距离或点到线的距离问题，利用几何法求解是解题的关键．

【考点4】向量的应用

14．（2021·湖南高一月考）内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求的值；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由正弦定理的边化角公式求出的值；

（2）由得出，再由的范围结合余弦函数的性质得出答案.

【详解】解：（1）因为，所以.

又，所以，即.

又，所以.

（2）因为，所以

所以.

由题可知，，则，

故的取值范围是.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用正弦定理的边化角公式求出，再由三角函数的性质得出的取值范围.

15．（2021·天津静海区·静海一中高一月考）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求的值即可；

（2）利用正弦定理求得，结合角的范围可得，再由二倍角的正余弦公式以及两角和的正弦公式可得结果．

【详解】（1）在中，由，整理得，

又由余弦定理，可得；

（2）由（1）可得，又由正弦定理，

及已知，可得；

可得，由已知，可得，故有，

为锐角，故由，可得，从而有,

．

【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”．

16．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）在中，内角所对的边分别为．已知，，，．

（1）求和的值；

（2）求三角形BC边的中线长；

（3）求的值．

【答案】（1），；（2）；（3）.

【分析】（1）确定锐角，求得，由余弦定理求得，再由正弦定理得；

（2）在中由余弦定理求得中线，

（3）确定是锐角，求得，由二倍角公式求得，然后由两角和的正弦公式求值．

【详解】（1）在中，因为，故由，可得．

由已知及余弦定理，有，所以.

由正弦定理,得.

所以，的值为，的值为.

（2）设BC边的中点为D，在中，

由余弦定理得:，

（3）由（1）及，得，所以，

．

故．

【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，解题时根据已知条件选用正弦定理或余弦定理求解，注意在用平方关系求得角的余弦时，先确定角的范围，然后计算．

17．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，经过测量得到在点D处的仰角为45，C处的仰角为75，且CD=20,测角仪的高为1.2，求出建筑物的高度.

【答案】

【分析】在中，求得，根据正弦定理可得，再在直角中，由，即可求解.

【详解】在中，根据题意可得，

由正弦定理可得，

在直角中，可得

所以建筑的高为.

18．（2021·浙江高一期末）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50.在甲出发2后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1后，再匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130，山路AC长为1260，经测量得，，为钝角.

（1）求缆车线路AB的长：

（2）问乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短.

【答案】（1）1040；（2）

【分析】（1）在中，根据，，由正弦定理，可得AB；

（2）假设乙出发t分钟时，甲，乙两游客距离为d，此时，甲行走了，乙距离A处，由余弦定理得，再利用二次函数求解.

【详解】（1）在中，根据，，

由正弦定理得：，得()

所以缆车线路AB的长为1040

（2）假设乙出发t分钟时，甲，乙两游客距离为d，此时，甲行走了，乙距离A处，

由余弦定理得

，

又在AB段的时间，即，

故时，甲，乙两游客的距离最短.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了解三角形的实际应用．实际应用题关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，转化为数学模型，列出数学表达式，再通过正弦、余弦定理，勾股定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．