专题05 立体几何的直观图与简单几何体的表面积、体积（重难点突破）-【教育机构专用】2022年春季高一数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题05 立体几何的直观图与简单几何体的表面积、体积
一、考情分析

二、经验分析
一、水平放置的平面图形的直观图
1．斜二测画法及其规则
对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′= ，它们确定的平面表示水平面.
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 x′轴或y′轴的线段.
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度为原来的 .
2．水平放置的平面图形的直观图的画法步骤
（1）画轴：在已知图形中建立适当的直角坐标系xOy，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°.
（2）定点：根据“原图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点.
（3）连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图.
3．建立坐标系的原则
（1）平面图形中若有互相垂直的直线，一般取这两条互相垂直的直线作为 ．
（2）若平面图形为轴对称图形，一般取对称轴作为 ；若平面图形为中心对称图形，一般取对称中心为 ．
（3）若以上条件都不具备，则建系的原则是使多边形的顶点尽可能多地落在 上．
4．常见平面图形的直观图
原图



直观图



二、中心投影与平行投影
1．投影的概念
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做 .其中，我们把光线叫做 ，把留下物体影子的屏幕叫做 .
2．中心投影
（1）概念
光由一点向外散射形成的投影，叫做 ,如图所示.现实生活中见到的很多投影都是中心投影，如在电灯泡、蜡烛等点光源照射下物体的影子.

（2）性质
①中心投影的投影线相交于 .
②平行于投影面放置的物体，点光源离物体越近，投影形成的影子越 .
例如，在电灯泡的照射下，物体后面的屏幕上会形成影子，而且随物体距离灯泡（或屏幕）的远近，形成的影子大小会有所不同.
3．平行投影
（1）概念
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做 ．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做 ，否则叫做斜投影．如图所示. 在日常生活中，常常把太阳光线看作平行光线.

（2）性质
①平行投影的投影线互相 .
②在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全 的.
③当图形中的直线或线段不平行于投影线时：
(ⅰ)直线或线段的平行投影仍是 ；
(ⅱ)平行直线的平行投影是 的直线；
(ⅲ)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段 ；
(ⅳ)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形 ；
(ⅴ)在同一直线或平行直线上的两条线段的平行投影的长度比 这两条线段的长度比.
三、空间几何体的三视图
1．三视图的概念
(1)光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的 ;
(2)光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的 ;
(3)光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的 .
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.


2．三视图的画法规则
（1）排列规则：一般地，侧视图在正视图的 ，俯视图在正视图的 .如下图：
正
侧
俯

（2）画法规则
①正视图与俯视图的长度一致，即“ ”；
②侧视图和正视图的高度一致，即“ ”；
③俯视图与侧视图的宽度一致，即“ ”.
（3）线条的规则
①能看见的轮廓线用 表示；
②不能看见的轮廓线用 表示.
3．常见几何体的三视图
常见几何体
正视图
侧视图
俯视图
长方体
矩形
矩形
矩形
正方体
正方形
正方形
正方形
圆柱
矩形
矩形
圆
圆锥
等腰三角形
等腰三角形
圆
圆台
等腰梯形
等腰梯形
两个同心的圆
球
圆
圆
圆


四、空间几何体的表面积
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念
棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的面积之 ,因此,我们可以把多面体展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积.
2．棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个 、 、 所组成的.侧面展开图的面积称为几何体的侧面面积（即侧面积）.由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和.
（2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有 和 展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积.可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和，也可表示为：
，，.
3．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积
（1）直棱柱的侧面积：把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形.如图(1)所示，则直棱柱的侧面面积为 (c为底面周长，h为侧棱长).
（2）正棱锥的侧面积：正棱锥(底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是几个全等的等腰三角形.如图(2)所示，则正棱锥的侧面面积为 (c为底面周长，h′为斜高,即侧面等腰三角形底边上的高).
（3）正棱台的侧面积：正棱台(由正棱锥截得)的侧面展开图是几个全等的等腰梯形.如图(3)所示，则正棱台的侧面面积为 (c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高,即侧面等腰梯形的高).

4．圆柱、圆锥、圆台的侧面面积

圆柱（底面半径为r，母线长为l）
圆锥（底面半径为r，母线长为l）
圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l）
侧面展开图



底面面积
S底=_____
S底=πr2
S上底=πr′2，S下底=πr2
侧面面积
S侧=2πrl
S侧=_____
S侧=πl(r′+r)
表面积
S表=2πr(r+l)
S表=πr(r+l)
S表=____________
四、空间几何体的体积
1．柱体、椎体、台体的高
（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.圆柱的 即圆柱的高.
（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
（3）棱台（圆台）的高是指两个 之间的距离.
2．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体
V柱体= (S为底面面积，h为高),V圆柱=πr2h(r为底面半径，h为高)
锥体
V锥体=Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥= (r为底面半径，h为高)
台体
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
V圆台=πh(r′2+r′r+r2)(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)
【知识点四、组合体的表面积与体积】
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.
求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
三、重难点题型分析
重难点题型突破1 空间几何体的认识
例1．（1）（2021·浙江）如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是（ ）

A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．组合体
【答案】B
【分析】
根据几何体的结构特征即可判断.
【详解】
根据棱锥的结构特征可判断，余下部分是四棱锥A′－BCC′B′．
故选：B.
（2）．（2021·全国高一课时练习）下面四个几何体中，是棱台的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，观察可得答案.
【详解】
A项中的几何体是棱柱．
B项中的几何体是棱锥；
D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；
C项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台．
故选：C
（3）．（2021·全国高一课时练习）下面图形中，为棱锥的是（ ）

A．①③ B．③④ C．①②④ D．①②
【答案】C
【分析】
根据棱锥的定义和结构特征进行判断可得答案.
【详解】
根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.
故选：C
【变式训练1-1】、（2021·浙江）观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号).

【答案】①④
【分析】
根据棱柱的定义直观分析即可求解.
【详解】
①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.
②③显然不是棱柱拼接而成.
故答案为：①④
【变式训练1-2】、（2021·浙江高一单元测试）下列说法正确的是________(填序号).
①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.
【答案】⑤
【分析】
根据正棱锥的定义结合反例可判断各选项的正误，从而可得正确的选项.
【详解】
对于①，如果棱锥的顶点在底面上的射影不是正多边形的中心，则此棱锥不是正棱锥，
故①错误.
对于②，如图（1），棱锥的顶点是圆锥的顶点，而底面多边形是圆锥底面圆的内接非正多边形，
此时棱锥满足各侧棱都相等，但不是正棱锥，故②错误.

对于③④，如图（2），侧面都是等腰三角形，且它们全等，但该三棱锥不是正棱锥，
故③④错误.


对于⑤，因为底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥，
故顶点底面上的射影为正多边形的中心，此时棱锥为正棱锥，故⑤正确.
故答案为：⑤
【变式训练1-3】、（多选题）（2020·肇庆市实验中学高二期中）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体
D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面
【答案】CD
【分析】
根据空间几何体的定义，对选项中的命题判断正误即可．
【详解】
解：对于A，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定为棱台，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点，错误；
对于B，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面与底面平行，错误；
对于C，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，正确；
对于D，球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面，正确；
故选：CD.
例2．（2020·重庆万州区·万州纯阳中学校高二月考）（多选题）如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（ ）

A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为
C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为
【答案】BC
【分析】
根据，，由，求得底面半径，再根据母线，利用圆柱的侧面积公式和表面积公式求解.
【详解】
因为，，
所以，即，
又因为，
所以圆柱的侧面积是，
圆柱的表面积是，
故选：BC
【变式训练2-1】、（2021·全国高三专题练习）（多选题）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，、为上两点，且的长为定值，则下面四个值中是定值的是（ ）

A．点到平面的距离 B．直线与平面所成的角
C．三棱锥的体积 D．的面积
【答案】ACD
【分析】
由为上任意一点，知平面是确定，从而判断A，而，因此与平面平行，根据直线与平面所成的角的定义可判断B，由棱锥体积公式和三角形面积公式可判断CD．
【详解】
平面就是平面，是确定的平面，因此点到平面的距离为定值，A正确；
平面即平面，而在直线上，，因此与平面平行，到平面的距离为定值，但运动时，的长度在变化，因此直线与平面所成的角也在变化，B错误；
点到直线的距离是确定，而的长度不变，因此为定值，又到平面的距离为定值，从而三棱锥的体积为定值，C正确；
，到的距离为定值，的长度不变，∴的面积为定值，D正确．
故选：ACD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查点到平面的距离，直线与平面所成的角，棱锥的体积等知识，解题关键是抓住，由此得平面是确定的平面，再结合定点和定长，从而确定各选项中的定值．
重难点题型突破2 直观图与斜二测画法
例3．（1）（2020·江苏苏州市·高一期中）已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为，那么原正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积.
【详解】
设原正方形的边长为，


根据斜二测画法的原则可知，，
高，
对应直观图的面积为，
即，
故原正方形的面积为，
故选：C.
（2）．（2021·浙江高一单元测试）如图所示为水平放置的正方形，在平面直角坐标系中点的坐标为，用斜二测画法画出它的直观图，则四边形的面积为___________.

【答案】
【分析】
用斜二测画法画出直观图后可求其面积.
【详解】
用斜二测画法画出正方形的直观图如图所示：

其中，，，
故四边形的面积为，
故答案为：.
【变式训练3-1】、（2021·浙江高一期末）如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________．

【答案】
【分析】
根据斜二测画法的规则得到直角三角形的直角边长，用勾股定理求出斜边长可得结果.
【详解】
根据斜二测画法的规则可知，，，，

所以，
所以的周长为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：掌握斜二测画法的规则是解题关键.
【变式训练3-2】、．（2021·浙江丽水市·高二月考）一个三角形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正三角形，则原三角形的面积等于________.
【答案】
【分析】
根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积与它的直观图的面积之间的关系是，先求出直观图即正三角形的面积，根据比值求出原三角形的面积即可．
【详解】
解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积与它的直观图的面积之间的关系是，
本题中直观图的面积为，所以原三角形的面积等于．
故答案为：
【变式训练3-3】、（2021·浙江）关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【答案】B
【分析】
根据斜二测画法的方法：平行于轴的线段长度减半，水平长度不变即可判断..
【详解】
由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；
当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，
当线段与x轴平行时，线段长度减半，
直角坐标系变成斜坐标系，而平行关系没有改变.
故选：B.
【变式训练3-4】、如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解.
【详解】
因为是等腰直角三角形，，所以，
所以原平面图形为：

且，，
所以原平面图形的面积是，
故选D
【变式训练3-5】、（2021·河南洛阳市·高一期末）已知水平放置的平面四边形，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则的周长为（ ）

A．2 B．6 C． D．8
【答案】D
【分析】
根据斜二测画法可换元原图形，根据原图形计算周长即可.
【详解】
由直观图可得原图形如图，

根据斜二测画法可知，,
在中, ,
又,
所以四边形的周长为,
故选：D
：D
重难点题型突破3 三视图与空间几何体的表面积与体积
例4．（1）（2021·全国高三专题练习（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据三视图得到几何体是底面是直角梯形的一个四棱锥，再根据锥体的体积计算公式求解即可.
【详解】
根据几何体的三祝图可知，还原到正方体如图，

该几何体是底面为直角梯形(上底是1，下底是，高是)，高为的四棱推，
∴该几何体的体积，
故选：A
【点睛】
方法点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，由三视图画出直观图的步骤和思考方法：①首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③画出整体，然后再根据三视图进行调整.
（2）（2021·浙江高三其他模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．

【答案】
【分析】
根据三视图确定空间几何体的形状，运用体积公式进行求解即可.
【详解】
由该几何体的三视图可知，该几何体为一个长方体与一个三棱锥的组合体，


长方体的体积为：，
三棱锥的体积为：，故该几何体的体积为．
故答案为：
（3）（2021·浙江高一单元测试）将半径为4的半圆卷成一个圆锥，则圆锥底面半径为________，圆锥的体积为________．
【答案】2，
【分析】
根据侧面展开图列方程计算圆锥的底面半径，根据勾股定理计算圆锥的高，代入体积公式计
算即可.
【详解】
显然圆锥的母线长为 设圆锥的底面半径为，则 即,
所以圆锥的高
圆锥的体积
故答案为：2，.
【变式训练4-1】、（2021·全国高三专题练习（理））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据三视图画出几何体的直观图，最后利用球和棱柱的体积公式进行求解即可.
【详解】
由三视图可知该几何体是由个半径为的球和个高为，
底面为等腰三角形(底边上的高为，底边长为)的三棱柱构成的组合体，

其体积为，
故选：B
【变式训练4-2】、（2021·全国高三专题练习（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据三视图得到几何体是底面是直角梯形的一个四棱锥，再根据锥体的体积计算公式求解即可.
【详解】
根据几何体的三祝图可知，还原到正方体如图，

该几何体是底面为直角梯形(上底是1，下底是，高是)，高为的四棱推，
∴该几何体的体积，
故选：A
【变式训练4-3】、．（2021·全国高三专题练习（理））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据三视图画出几何体的直观图，最后利用球和棱柱的体积公式进行求解即可.
【详解】
由三视图可知该几何体是由个半径为的球和个高为，
底面为等腰三角形(底边上的高为，底边长为)的三棱柱构成的组合体，

其体积为，
故选：B
【变式训练4-4】、（2021·全国高三专题练习（文））已知某空间几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长均为)，则该空间几何体的表面积是（ ）．

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由三视图还原几何体，分别求得各个面的面积，加和得到表面积.
【详解】
根据三视图还原该几何体的直观图，如图中的四棱锥，

其中补形成的正方体的棱长为，为所在棱的中点，
则，，，，，
该几何体的表面积是．
故选：D.
【变式训练4-5】、（2021·江苏高一课时练习）一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为____ cm2.
【答案】1012
【分析】
首先求出侧面为等腰梯形高，求出侧面面积以及上、下底面面积即可求解.
【详解】
正四棱台侧面为等腰梯形，
其高为，
所以正四棱台的表面积S＝4××(8＋18)×12＋82＋182＝1 012(cm2).
故答案为：1012