专题09 对数与对数函数（重难点突破）-【教育机构专用】2022年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

专题09 对数与对数函数（重难点突破）

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

重难点一  对数的概念

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

重难点二   对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).

(2)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；   ②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)；    ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).

(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).

重难点三   对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质

三、重难点题型突破

重难点1 对数与对数式的化简求值

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

例1．（1）（2017·全国高一课时练习）已知lg 9=a,10b=5，则用a，b表示log3645为          ．

【答案】

【解析】由已知得，则，

因为，所以，

即.

（2）. 求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝lg(x－2)＋；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．

【解析】　(1)要使函数有意义，需满足解得x>2且x≠3，

所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．

(2)要使函数有意义，需满足解得－1<x<0或0<x<4，

所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．

【变式训练】（1）．（2017·全国高一单元测试）已知10m＝2，10n＝4，则的值为(　　)

A.2 B. C. D.2

【答案】B

【解析】＝＝＝＝.答案：B

（2）．（2013·全国高一课时练习）已知，则的值为（   ）

A． B．4 C．1 D．4或1

【答案】B

【解析】因为，

所以，，,

解得=1（舍去），=4，故选B.

重难点2 对数函数的图像与性质

例2求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝；(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；

【解析】(1)要使函数f(x)有意义，则logx＋1>0，即logx>－1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0,2)．

(2)函数式若有意义，需满足即解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1,2)．

例3．（1）（2017·北京市第二中学分校高一课时练习）函数，x∈(0,8]的值域是(　　)

A.[－3，＋∞) B.[3，＋∞)

C.(－∞，－3] D.(－∞，3]

【答案】A

【解析】∵，故选A.

（2）．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（  ）

A．  B．  C．  D．

【答案】B

【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为，则其关于直线的对称点的坐标为，由对称性知点在函数的图象上，所以，故选B．

（3）．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0   B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0   D．0<a<1，b<0

【答案】D

【解析】由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1，又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故选D.

（4）．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)

A　　    　B　           　C　             D

【答案】C　

【解析】∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.

重难点3 对数函数的单调性与最值（比较大小）

例4．函数的单调递增区间是(　　)

A．        B．           C．      D．

【答案】D

【解析】由，得或，设，则，关于单调递减，，关于单调递增，由对数函数的性质，可知单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为．选D．

例5．设，则(　　)

A．       B．     C．     D．

【答案】D

【解析】，

由下图可知D正确．

【变式训练】．(1)设，，则（  ）

A．      B．

C．      D．

【答案】B

【解析】由得，由得，

所以，所以，得．

又，，所以，所以．故选B．

（2）已知，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】 由题意，可知，

，，所以最大，，都小于1，因为，，而，所以，即，所以，故选A．

重难点4 对数型复合函数的应用

例6．（2017·山东滕州市第一中学新校高一课时练习）函数在上是减函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以在上是减函数，又因为在上是减函数，所以是增函数，所以；又因为对数的真数大于零，则，所以；则.

故选：C.

【变式训练】．.（1）判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域．

（2）已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(0,2)   D．[2，＋∞)

(3)函数f(x)＝log(x2＋2x＋3)的值域是________．

【解析】（1）　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，

∴y＝x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，∴0<u≤－1＝3，

∴原函数的值域为(0,3]．

（2）∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，

∴即∴∴1＜a＜2.

(3)f(x)＝log(x2＋2x＋3)＝log[(x＋1)2＋2]，

因为(x＋1)2＋2≥2。所以log[(x＋1)2＋2]≤log2＝－1，

所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]

四、课堂定时训练（45分钟）

1．=(　　)

A．         B．        C．  2      D． 4

【答案】D

【解析】．

2．如果那么(　　)

A．    B．      C．     D．

【答案】D

【解析】根据对数函数的性质得．

3.在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)

【答案】D

【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；

当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.

综上，选D.

4．当时，，则的取值范围是 （    ）

A．       B．      C．      D．

【答案】B

【解析】由指数函数与对数函数的图像知，解得，故选B

5．已知，，，则的大小关系为(　　)

A．           B．             C．           D．

【答案】A

【解析】 由题意，可知，

．，所以最大，，都小于1．因为，，而，所以，即，所以，故选A．

6．已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记

，，则 的大小关系为(　　)

A．                   B．

C．                   D．

【答案】C

【解析】因为函数为偶函数，所以，即，

所以，

， ，所以，故选C．

7.的值是____________．

【答案】1

【解析】．

8. 已知函数．

（1）判断奇偶性并证明你的结论；

（2）解方程．

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】（1）根据题意，为奇函数；

证明：，所以定义域为，关于原点对称；

任取，

则．

则有，为奇函数；

（2）由（1）知，

，即，

，

即，或，

又由，则有，

综上，不等式解集为

9．已知，函数.

（1）求的定义域；

（2）当时，求不等式的解集.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意得：，解得

因为，所以

故的定义域为

（2）因为，所以，，

因为，所以，即

从而，解得

故不等式的解集为.

10. 已知函数且．

当时，，求实数x的取值范围．

若在上的最大值大于0，求a的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）当a=3时，，

，得

（2）∵a＞0，∴在定义域内单调递增，

当a＞1时，函数在上单调递增，，

得即a＞，又a＞1，故a＞1；

当0<a＜1时，函数在上单调递减，，

得；

又因为在上恒成立，故，即

综上：的取值范围