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（实用性答案）2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级（下）期中数学试卷
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这是一份（实用性答案）2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级（下）期中数学试卷（学生版）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≠2 C．x=2 D．x＜2
2．（4分）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3．（4分）已知x=3是关于x的一元二次方程x2-x-2a=0的一个解，则a的值为（ ）
A．-6 B．-3 C．6 D．3
4．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=5，对角线AC的长度为（ ）
A．12 B．6.5 C．13 D．10
5．（4分）如图，下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC
C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，∠B=∠D
6．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB的垂直平分线EF交AC于点F，连接DF．若∠BAD=80°，则∠CDF的度数为（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
7．（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．菱形的两条对角线相等
B．矩形的两条对角线互相垂直
C．平行四边形的两条对角线互相平分
D．矩形的邻边相等
8．（4分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AB，BE⊥AC，E是OC的中点，OF=4，则BD的长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．8
9．（4分）如图，正方形OABC，顶点A在x轴上，OA=3，将正方形OABC绕原点O逆时针旋转105°至正方形OA'B′C'的位置，则点B′的坐标为（ ）
A．（-3，3） B．（-3，3） C．（-3，3） D．（-,）
10．（4分）若关于x的一元二次方程（2-a）x2-4x+2=0有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程=1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
11．（4分）礼嘉智慧公园自开园以来受到市民的青睐．五一期间，小重，小庆两人分别从公园“艺趣馆”和“5G馆”两地出发，相向而行．已知小重先出发4分钟后，小庆才出发，他们两人相遇时，小庆发现手机落在了“5G馆”，便立即以原速原路返回“5G馆”取手机，小重仍以原速继续向“5G馆”前行，若小重、小庆到达“5G馆”后都停止行走．小重，小庆两人相距的路程y（米）与小重出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．小重的速度为60米/分钟
B．小庆的速度是90米/分钟
C．小重比小庆晚到5G馆6分钟
D．小庆到达5G馆时小重距艺趣馆1440米
12．（4分）如图，正方形ABCD的边长为10，E为AD的中点，连接CE，过点B作BF⊥CE交CD于点F，垂足为G，连接AG、DG，下列结论：①BF=CE；②AG=CD；③∠CDG=∠AGE；④EG=2；⑤DG=CG．其中正确结论有（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．①②⑤ D．①④⑤
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）八边形内角和度数为______.
14．（4分）若分式的值为0，则x=______.
15．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，BE平分∠ABC交CD于点E，若AB=15，BC=6，则EF的长为______.
16．（4分）一元二次方程x2-5x+6=0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为________.
17．（4分）若关于x的方程有增根，则m的值为________.
18．（4分）如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为____________.
19．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=9，点E、F分别是AD和BC上的点，AE=3，CF=2BF，将矩形沿EF折叠，使得点D恰好落在CB的延长线上的点D′处，点C的对应点为C′，连接CC′，则点C到C′D′的距离为__________.
20．（4分）为响应国家号召，筑牢健康防线，重庆市民积极接种新冠疫苗，目前疫苗主要有三类：A类（腺病毒载体疫苗）、B类（灭活疫苗）、C类（重组亚单位疫苗）．甲、乙、丙三个接种点分别向市防疫站申请调拨了三类疫苗（其中每个接种点调拨的每一类疫苗剂数均为正整数），调拨一剂A类疫苗的费用是调拨一剂B类疫苗费用的3倍．甲接种点分别申请A类80剂、B类80剂、C类40剂；丙接种点分别申请A类80剂、B类50剂、C类80剂，丙调拨疫苗的总费用与甲的总费用相等．乙接种点申请的疫苗总数量比甲的总数量少20剂，其中B类疫苗的剂数为9的整数倍，乙调拨的总费用不高于甲总费用的68.7%，但不低于甲总费用的68%．则乙接种点申请调拨C类疫苗的最多数量是_____剂．
三、解答题（本大题7个小题，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
21．（15分）解方程：
（1）；
（2）3（x-2）2-27=0；
（3）2x2-4x-12=0．
22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DB和BD延长线上的两点，且满足BF=DE，连接AE，CF．求证：AE∥CF．
23．（8分）先化简，再求值：，其中x2+x-5=0．
24．（10分）2021年是中国共产党成立100周年，为从党的百年历程中汲取继续前进的智慧和力量，党中央决定，在全党开展党史学习．4月份，学校党委采购了《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》，已知每本《论中国共产党历史》的价格比每本《中国共产党简史》多4元，校党委购买《论中国共产党历史》花了2000元，购买《中国共产党简史》花了1280元，且《中国共产党简史》的数量为《论中国共产党历史》数量的.
（1）请问每本《中国共产党简史》的价格是多少元？
（2）5月份，全校教师学习热情高涨，校党委又采购了一批学习丛书，其中《论中国共产党历史》的数量比4月份增加2a%，《中国共产党简史》的数量不变．新华书店为鼓励老师们的积极性，《论中国共产党历史》的单价在4月份的基础上降低了a%，《中国共产党简史》的单价在4月份的基础上降低了a%．最终，5月采购学习丛书的总费用比4月份增加了8a元，求出a的值．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的点，延长CD至点E，使CD=DE，连接AE，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接CF．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：四边形ACFE为菱形；
（2）如图2，若AC=BC=6，连接BE，过点B作BG⊥BE，BG=BE，连接CG，CG=2，求四边形ACFE的面积．
26．（10分）对于一个两位数m（十位和个位均不为0），将这个两位数m的十位和个位上的数字对调得到新的两位数n，称n为m的“对调数”，将n放在m的左侧得到一个四位数，记为m'，将n放在m的右侧得到一个四位数，记为m″．规定F（m）=，例如：34的对调数为43，F（34）==9．
（1）填空：F（29）=______.
（2）请证明对于任意一个两位数m（十位和个位均不为0），F（m）都能够被9整除；
（3）若p=65+a（a为整数，1≤a≤9），q=30+2b（b为整数，1≤b≤4），p和q的十位、个位均不为0，p的对调数与q的对调数之和能被9整除，请求出的值．
27．（10分）在▱ABCD中，点E是CD上一点，连接AE、BE，AD=DE．
（1）如图1，若AB⊥BE，AB=16，BE=8，求△ADE的周长；
（2）如图2，若AB=AE，∠EBC=45°，点F、G分别是DA和AB延长线上的一点，且满足∠BCD+∠FEG=180°，求证：AG=AF+3BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P是△ABE内部一点，CE=2，请直接写出当PB+PE+PA取得最小值时△PDE的面积．
2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级（下）期中数学试卷（教师版）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≠2 C．x=2 D．x＜2
【答案】B
2．（4分）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】A
3．（4分）已知x=3是关于x的一元二次方程x2-x-2a=0的一个解，则a的值为（ ）
A．-6 B．-3 C．6 D．3
【答案】D
4．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=5，对角线AC的长度为（ ）
A．12 B．6.5 C．13 D．10
【答案】C
5．（4分）如图，下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC
C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，∠B=∠D
【答案】B
6．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB的垂直平分线EF交AC于点F，连接DF．若∠BAD=80°，则∠CDF的度数为（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
【答案】C
7．（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．菱形的两条对角线相等
B．矩形的两条对角线互相垂直
C．平行四边形的两条对角线互相平分
D．矩形的邻边相等
【答案】C
8．（4分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AB，BE⊥AC，E是OC的中点，OF=4，则BD的长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．8
【答案】A
9．（4分）如图，正方形OABC，顶点A在x轴上，OA=3，将正方形OABC绕原点O逆时针旋转105°至正方形OA'B′C'的位置，则点B′的坐标为（ ）
A．（-3，3） B．（-3，3） C．（-3，3） D．（-,）
【答案】C
10．（4分）若关于x的一元二次方程（2-a）x2-4x+2=0有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程=1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】D
11．（4分）礼嘉智慧公园自开园以来受到市民的青睐．五一期间，小重，小庆两人分别从公园“艺趣馆”和“5G馆”两地出发，相向而行．已知小重先出发4分钟后，小庆才出发，他们两人相遇时，小庆发现手机落在了“5G馆”，便立即以原速原路返回“5G馆”取手机，小重仍以原速继续向“5G馆”前行，若小重、小庆到达“5G馆”后都停止行走．小重，小庆两人相距的路程y（米）与小重出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．小重的速度为60米/分钟
B．小庆的速度是90米/分钟
C．小重比小庆晚到5G馆6分钟
D．小庆到达5G馆时小重距艺趣馆1440米
解：由题意可得，
小重的速度为：（1740-1500）÷4=60（米/分），
小庆的速度为：1500÷（14-4）-60=90（米/分），；
小庆原速原路返回“5G馆”的时间：14-4=10（分），
小重到达“5G馆”的时间：90×10÷60=15（分），
15-10=5（分），故C错误，符合题意；
小庆到达5G馆时小重距艺趣馆：60×（14+10）=1440（米），故D正确，不符合题意，
故选：C．
12．（4分）如图，正方形ABCD的边长为10，E为AD的中点，连接CE，过点B作BF⊥CE交CD于点F，垂足为G，连接AG、DG，下列结论：①BF=CE；②AG=CD；③∠CDG=∠AGE；④EG=2；⑤DG=CG．其中正确结论有（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．①②⑤ D．①④⑤
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCE+∠DEC=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠DCE+∠CFB=90°，
∴∠BFC=∠DEC，
∴△BFC≌△CED（AAS），
∴BF=CE，故①正确；
如图，延长GE，BA交于点H，过点D作DN⊥EC于N，
∵点E是AD中点，
∴AE=DE=5，
∵AB∥CD，
∴∠H=∠DCE，
又∵∠AEH=∠DEC，
∴△DEC≌△AEH（AAS），
∴CD=AH，
∴AB=AH，
又∵BF⊥CE，
∴AD=AB=AH，
∴AG=CD，故②正确；
∵△BFC≌△CED，
∴DE=CF=5，CE=BF，
∴BF=,
∴CE=5，
∵S△BFC=×BC×CF=×BF×CG，
∴10×5=5CG，
∴CG=2，
∴EG=3，故④错误；
∴点G不是EC的中点，
∴DG≠CG，
∴∠GDC≠∠GCD，
∵AG=AH，
∴∠AGE=∠H，
∴∠AGE=∠H=∠GCD≠∠GDC，故③错误；
∵S△DEC=×DE×DC=×CE×DN，
∴DN=2，
∴CN==4，
∴NG=2，
∴DG==2，
∴DG=CG，故⑤正确；
故选：C．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）八边形内角和度数为______.
答案为：1080°．
14．（4分）若分式的值为0，则x=______.
【答案】6．
15．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，BE平分∠ABC交CD于点E，若AB=15，BC=6，则EF的长为______.
答案为：3．
16．（4分）一元二次方程x2-5x+6=0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为________.
【答案】
17．（4分）若关于x的方程有增根，则m的值为________.
【答案】−．
18．（4分）如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为____________.
解：当AB为菱形的对角线时，如图1，设菱形的边长为m，
∵A（0，4），B（8，0），
∴OA=4，OB=8，
∵四边形ABCD为菱形，
∴CA=AD=BC，AD∥BC，
∴CA=CB=8-m，
在Rt△AOC中，42+（8-m）2=m2，解得m=5，
∴D（5，4）；
当AB为菱形的边时，如图2，
AB=，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=AB=AD=4，AD∥BC，
∴D（4，4），
综上所述，D点坐标为（5，4）或（4，4）．
故答案为（5，4）或（4，4）．
19．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=9，点E、F分别是AD和BC上的点，AE=3，CF=2BF，将矩形沿EF折叠，使得点D恰好落在CB的延长线上的点D′处，点C的对应点为C′，连接CC′，则点C到C′D′的距离为__________.
解：如图：延长D'C'，过点C作CG⊥D'C'于点G，则CG为点C到C'D'的距离，连接DF，
由折叠可得D'E=DE，DF=D'F，∠1=∠2，∠3=∠4，∠ED'C'=∠EDC，
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，CD=AB=9，∠DCB=∠ADC=90°，
∴∠ED'C'=90°，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴D'E=D'F，
∴D'F=DF=DE，
∵∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
∴ED=DF，
∵∠2+∠3+∠ED'F=180°，∠1+∠4+∠EDF=180°，
∴∠ED'F=∠EDF，
∴∠FD'C'=∠FDC，
∵CF=2BF，
∴设BF=x，则CF=2x，BC=3x，
∴AD=3x，
∴DE=AD-AE=3x-3，
∴DF=3x-3，
在Rt△DFC中，由勾股定理得DF2-FC2=CD2，
∴（3x-3）2-（2x）2=92，
解得x=6，x=-（舍去），
∴FC=12，D'F=DF=3x-3=15，
∴D'C=D'F+FC=27，
∵∠D'C'F=∠D'GC，∠CD'F=∠GD'C，
∴△D'CF∽△D'GC，
∴，
∴，
∴CG=21.6．
故答案为21.6．
20．（4分）为响应国家号召，筑牢健康防线，重庆市民积极接种新冠疫苗，目前疫苗主要有三类：A类（腺病毒载体疫苗）、B类（灭活疫苗）、C类（重组亚单位疫苗）．甲、乙、丙三个接种点分别向市防疫站申请调拨了三类疫苗（其中每个接种点调拨的每一类疫苗剂数均为正整数），调拨一剂A类疫苗的费用是调拨一剂B类疫苗费用的3倍．甲接种点分别申请A类80剂、B类80剂、C类40剂；丙接种点分别申请A类80剂、B类50剂、C类80剂，丙调拨疫苗的总费用与甲的总费用相等．乙接种点申请的疫苗总数量比甲的总数量少20剂，其中B类疫苗的剂数为9的整数倍，乙调拨的总费用不高于甲总费用的68.7%，但不低于甲总费用的68%．则乙接种点申请调拨C类疫苗的最多数量是_____剂．
解：（1）设B型x元每支，C型y元每支，则A型3x元每支，
根据“调拨疫苗的总费用与甲的总费用相等”，得到方程：80×3x+80×x+40×y=80×3x+50×x+80y，得到y＝
3
4
x．
（2）设在乙点，B类疫苗的剂数为9n支（n正整数），C疫苗的剂数是m支，（m是正整数），可以得到A疫苗的剂数是（180-9n-m）支．
根据条件（1）可以得到甲的总费用=80×3x+80×x+40×y=350x．
要m最大，需要n最小，取n=1，得到m=126．
本题答案是：126．
三、解答题（本大题7个小题，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
21．（15分）解方程：
（1）；
（2）3（x-2）2-27=0；
（3）2x2-4x-12=0．
【答案】（1）x=2是原方程的增根，原方程无解；
（2）x1=5，x2=-1；
（3）x1=+1，x2=-+1．
22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DB和BD延长线上的两点，且满足BF=DE，连接AE，CF．求证：AE∥CF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB．
∴∠ABD=∠CDB．
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠E=∠F，
∴AE∥CF．
23．（8分）先化简，再求值：，其中x2+x-5=0．
【答案】原式=−．
24．（10分）2021年是中国共产党成立100周年，为从党的百年历程中汲取继续前进的智慧和力量，党中央决定，在全党开展党史学习．4月份，学校党委采购了《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》，已知每本《论中国共产党历史》的价格比每本《中国共产党简史》多4元，校党委购买《论中国共产党历史》花了2000元，购买《中国共产党简史》花了1280元，且《中国共产党简史》的数量为《论中国共产党历史》数量的.
（1）请问每本《中国共产党简史》的价格是多少元？
（2）5月份，全校教师学习热情高涨，校党委又采购了一批学习丛书，其中《论中国共产党历史》的数量比4月份增加2a%，《中国共产党简史》的数量不变．新华书店为鼓励老师们的积极性，《论中国共产党历史》的单价在4月份的基础上降低了a%，《中国共产党简史》的单价在4月份的基础上降低了a%．最终，5月采购学习丛书的总费用比4月份增加了8a元，求出a的值．
解：（1）设每本《中国共产党简史》的价格是x元，则每本《论中国共产党历史》的价格是（x+4）元，
依题意得：
解得：x=16，
经检验，x=16是原方程的解，且符合题意．
答：每本《中国共产党简史》的价格是16元．
（2）每本《论中国共产党历史》的价格是20元，
4月份购进《中国共产党简史》的数量为=80（本），购进《论中国共产党历史》的数量为=100（本）．
依题意得：20（1-a%）×100（1+2a%）+16（1-a%）×80=1280+2000+8a，
整理得：0.4a2-4a=0，
解得：a1=10，a2=0（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的点，延长CD至点E，使CD=DE，连接AE，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接CF．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：四边形ACFE为菱形；
（2）如图2，若AC=BC=6，连接BE，过点B作BG⊥BE，BG=BE，连接CG，CG=2，求四边形ACFE的面积．
证明：（1）∵EF∥AC，
∴∠CAD=∠DFE，
∵CD=DE，∠ADC=∠FDE，
∴△ACD≌△FED（AAS），
∴EF=CA．AD=FD，
∵CD=DE，
∴四边形ACFE为平行四边形，
∵CD⊥AB，
即CE⊥AF，
∴平行四边形ACFE为菱形；
（2）过F作FH⊥BC于H，FK⊥AC于K，
在Rt△ACB中，AC=BC=6，
∴∠CAB=45°，
∵EF∥AC，
∴∠EFA=45°，
∵BG⊥BE，
∴∠EBG=90°，
∴∠GBC+∠CBA+∠ABE=90°，
∴∠GBC+∠ABE=45°，
∵∠AFE=∠FEB+∠ABE=45°，
∴∠GBC=∠FEB，
∵BG=BE，BC=AC=EF，
∴△BCG≌△EFB（SAS），
∴BF=CG=2，
在Rt△BFH中，FH=HB=2×＝2，
∴CH=4，CF=＝2，
在Rt△AFK中，∠KAF=45°，
设AK=FK=h，CK=6-h，
在Rt△KFC中，KF2+CK2=CF2，
即h2+(6−h)2＝(2)2，
解得：h=2（不合题意，舍去）或4，
∴S四边形ACFE=AC•KF=6×4=24．
26．（10分）对于一个两位数m（十位和个位均不为0），将这个两位数m的十位和个位上的数字对调得到新的两位数n，称n为m的“对调数”，将n放在m的左侧得到一个四位数，记为m'，将n放在m的右侧得到一个四位数，记为m″．规定F（m）=，例如：34的对调数为43，F（34）==9．
（1）填空：F（29）=______.
（2）请证明对于任意一个两位数m（十位和个位均不为0），F（m）都能够被9整除；
（3）若p=65+a（a为整数，1≤a≤9），q=30+2b（b为整数，1≤b≤4），p和q的十位、个位均不为0，p的对调数与q的对调数之和能被9整除，请求出的值．
解：（1）F（29）==63；
故答案为：63．
（2）设这个两位数m=10a+b，a，b为整数，1≤a≤9，1≤b≤9，
则m的对调数为10b+a．
∴m′=100（10b+a）+10a+b=1001b+110a．
m″=100（10a+b）+10b+a=1001a+110b．
∴F（m）==9|b-a|．
∴F（m）都能够被9整除．
（3）∵p=65+a（a为整数，1≤a≤9）中十位、个位均不为0，
∴a≠5．
当1≤a≤4时，p的对调数为：10（5+a）+6．
∵q的对调数为20b+3（b为整数，1≤b≤4），
∴10（a+5）+6+20b+3
=10a+20b+59
=9a+18b+54+a+2b+5
=9a+2b×9+6×9+a+2b+5，
∵p的对调数与q的对调数之和能被9整除，
∴a+2b+5能被9整除．
∵1≤a≤4，a为整数，b为整数，1≤b≤4，
∴a=2，b=1．
∴p=67，q=32．
∴F（67）=＝9，F（32）=＝9．
∴=1．
当6≤a≤9时，p的对调数为：10（a-5）+7，
∵q的对调数为20b+3（b为整数，1≤b≤4），
∴10（a-5）+7+20b+3
=10a+20b-40
=9a+18n-36+a+2b-4
=9a+9×2b-4×9+a+2b-4．
∵p的对调数与q的对调数之和能被9整除，
∴a+2b-4能被9整除．
∵6≤a≤9，a为整数，b为整数，1≤b≤4，
∴a=7，b=3或a=9，b=2．
当a=7，b=3时，p=72，q=36．
∴F（72）==45，F（36）==27．
∴．
当a=9，b=2时，p=74，q=34．
∴F（74）==27，F（34）==9．
∴=3．
综上，的值为：1或或3．
27．（10分）在▱ABCD中，点E是CD上一点，连接AE、BE，AD=DE．
（1）如图1，若AB⊥BE，AB=16，BE=8，求△ADE的周长；
（2）如图2，若AB=AE，∠EBC=45°，点F、G分别是DA和AB延长线上的一点，且满足∠BCD+∠FEG=180°，求证：AG=AF+3BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P是△ABE内部一点，CE=2，请直接写出当PB+PE+PA取得最小值时△PDE的面积．
（1）解：如图1中，设AD=BC=DE=x．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC=16，CE=16-x，AB∥CD，
∵BE⊥AB，
∴BE⊥CD，
∴∠BEC=∠ABE=90°，
∴BE2+CE2=BC2，
∴82+（16-x）2=x2，
∴x=10，
∴AD=DE=10，
∵AE==8，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=20+8．
（2）证明：如图2中，过点E作EH⊥AB于H，在AG上取一点M，使得∠AEM=120°，连接EM．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，∠D=∠ABC，
∴∠AED=∠EAB，
∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA=∠EAB，
设∠DAE=∠DEA=∠EAB=α，则∠D=∠ABC=180°-2α，
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=（180°-α）=90°-α，
∵∠EBC=45°，
∴90°-α+45°=180°-2α，
∴α=30°，
∴∠DAE=∠EAB=30°，
∵∠AEM=120°，
∴∠AME=180°-30°-120°=30°，
∴∠EAM=∠EMA，
∴EA=EM，
∴∠EAF=∠EMC=150°，
∵∠AEM=∠FEG=120°，
∴∠AEF=∠MEG，
∴△AEF≌△MEG（ASA），
∴AF=MG，
在Rt△AEH中，AH=AE•cos30°=AE，
∵AE=EM，EH⊥AM，
∴AH=HM，
∴AM=AE
同法可证AE=EM=AD=BC，
∴AM=3BC，
∴AG=MG+AM=AF+3BC．
（3）解：如图3-1中，将△APB绕点A顺时针旋转120°得到△AQN，连接EN，PQ．则NQ=PB，PQ=AP，
∴PE+PB+PA=EP+PQ+QN≥EN，
∵E，N是定点，EN的定长，
∴当E，P，Q，N共线时，PE+PB+PA的值最小，如图3-2中，
∵AE=AB=AN，
∴∠N=∠AEN，
∵∠DAE=∠N+∠AEN=30°，
∴∠N=∠AEN=15°，
∵AQ=AP，∠QAP=120°，
∴∠∠AQP=∠APQ=30°，
∵∠APQ=∠PAE+∠AEP=30°，
∴∠PAE=∠AEP=15°，
∴PA=PE，
∵∠EAB=30°，
∴∠PAB=15°，
∵AE=AB，∠PAE=∠PAB=15°，AP=AP，
∴△PAE≌△PAB（SAS），
∴PE=PB，
∴PA=PB=PE，
∵∠AEB=∠ABE=75°，
∴∠PEB=60°，
∴△PBE的等边三角形，
过点E作EK⊥BC于K，过点P作PR⊥DE于R．
在Rt△ECK中，∠EKC=90°，EC=2，∠C=60°，
∴CK=CE•cos60°=1，EK=CK=，
∵∠EBKK=45°，
∴BE=PB=PE=，
∴AD=BC=1+，
∴AB=CD=AE=AD=3+，
在Rt△PRE中，∠PRE=90°，∠PER=45°，PE=，
∴PR=PE=，
∵DE=CD-EC=3+-2=1+，
∴S△PDE=•DE•PR=××（1+）=．
2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级（下）期中数学试卷（学生版）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≠2 C．x=2 D．x＜2
2．（4分）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3．（4分）已知x=3是关于x的一元二次方程x2-x-2a=0的一个解，则a的值为（ ）
A．-6 B．-3 C．6 D．3
4．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=5，对角线AC的长度为（ ）
A．12 B．6.5 C．13 D．10
5．（4分）如图，下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC
C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，∠B=∠D
6．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB的垂直平分线EF交AC于点F，连接DF．若∠BAD=80°，则∠CDF的度数为（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
7．（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．菱形的两条对角线相等
B．矩形的两条对角线互相垂直
C．平行四边形的两条对角线互相平分
D．矩形的邻边相等
8．（4分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AB，BE⊥AC，E是OC的中点，OF=4，则BD的长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．8
9．（4分）如图，正方形OABC，顶点A在x轴上，OA=3，将正方形OABC绕原点O逆时针旋转105°至正方形OA'B′C'的位置，则点B′的坐标为（ ）
A．（-3，3） B．（-3，3） C．（-3，3） D．（-,）
10．（4分）若关于x的一元二次方程（2-a）x2-4x+2=0有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程=1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
11．（4分）礼嘉智慧公园自开园以来受到市民的青睐．五一期间，小重，小庆两人分别从公园“艺趣馆”和“5G馆”两地出发，相向而行．已知小重先出发4分钟后，小庆才出发，他们两人相遇时，小庆发现手机落在了“5G馆”，便立即以原速原路返回“5G馆”取手机，小重仍以原速继续向“5G馆”前行，若小重、小庆到达“5G馆”后都停止行走．小重，小庆两人相距的路程y（米）与小重出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．小重的速度为60米/分钟
B．小庆的速度是90米/分钟
C．小重比小庆晚到5G馆6分钟
D．小庆到达5G馆时小重距艺趣馆1440米
12．（4分）如图，正方形ABCD的边长为10，E为AD的中点，连接CE，过点B作BF⊥CE交CD于点F，垂足为G，连接AG、DG，下列结论：①BF=CE；②AG=CD；③∠CDG=∠AGE；④EG=2；⑤DG=CG．其中正确结论有（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．①②⑤ D．①④⑤
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）八边形内角和度数为______.
14．（4分）若分式的值为0，则x=______.
15．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，BE平分∠ABC交CD于点E，若AB=15，BC=6，则EF的长为______.
16．（4分）一元二次方程x2-5x+6=0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为________.
17．（4分）若关于x的方程有增根，则m的值为________.
18．（4分）如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为____________.
19．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=9，点E、F分别是AD和BC上的点，AE=3，CF=2BF，将矩形沿EF折叠，使得点D恰好落在CB的延长线上的点D′处，点C的对应点为C′，连接CC′，则点C到C′D′的距离为__________.
20．（4分）为响应国家号召，筑牢健康防线，重庆市民积极接种新冠疫苗，目前疫苗主要有三类：A类（腺病毒载体疫苗）、B类（灭活疫苗）、C类（重组亚单位疫苗）．甲、乙、丙三个接种点分别向市防疫站申请调拨了三类疫苗（其中每个接种点调拨的每一类疫苗剂数均为正整数），调拨一剂A类疫苗的费用是调拨一剂B类疫苗费用的3倍．甲接种点分别申请A类80剂、B类80剂、C类40剂；丙接种点分别申请A类80剂、B类50剂、C类80剂，丙调拨疫苗的总费用与甲的总费用相等．乙接种点申请的疫苗总数量比甲的总数量少20剂，其中B类疫苗的剂数为9的整数倍，乙调拨的总费用不高于甲总费用的68.7%，但不低于甲总费用的68%．则乙接种点申请调拨C类疫苗的最多数量是_____剂．
三、解答题（本大题7个小题，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
21．（15分）解方程：
（1）；
（2）3（x-2）2-27=0；
（3）2x2-4x-12=0．
22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DB和BD延长线上的两点，且满足BF=DE，连接AE，CF．求证：AE∥CF．
23．（8分）先化简，再求值：，其中x2+x-5=0．
24．（10分）2021年是中国共产党成立100周年，为从党的百年历程中汲取继续前进的智慧和力量，党中央决定，在全党开展党史学习．4月份，学校党委采购了《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》，已知每本《论中国共产党历史》的价格比每本《中国共产党简史》多4元，校党委购买《论中国共产党历史》花了2000元，购买《中国共产党简史》花了1280元，且《中国共产党简史》的数量为《论中国共产党历史》数量的.
（1）请问每本《中国共产党简史》的价格是多少元？
（2）5月份，全校教师学习热情高涨，校党委又采购了一批学习丛书，其中《论中国共产党历史》的数量比4月份增加2a%，《中国共产党简史》的数量不变．新华书店为鼓励老师们的积极性，《论中国共产党历史》的单价在4月份的基础上降低了a%，《中国共产党简史》的单价在4月份的基础上降低了a%．最终，5月采购学习丛书的总费用比4月份增加了8a元，求出a的值．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的点，延长CD至点E，使CD=DE，连接AE，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接CF．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：四边形ACFE为菱形；
（2）如图2，若AC=BC=6，连接BE，过点B作BG⊥BE，BG=BE，连接CG，CG=2，求四边形ACFE的面积．
26．（10分）对于一个两位数m（十位和个位均不为0），将这个两位数m的十位和个位上的数字对调得到新的两位数n，称n为m的“对调数”，将n放在m的左侧得到一个四位数，记为m'，将n放在m的右侧得到一个四位数，记为m″．规定F（m）=，例如：34的对调数为43，F（34）==9．
（1）填空：F（29）=______.
（2）请证明对于任意一个两位数m（十位和个位均不为0），F（m）都能够被9整除；
（3）若p=65+a（a为整数，1≤a≤9），q=30+2b（b为整数，1≤b≤4），p和q的十位、个位均不为0，p的对调数与q的对调数之和能被9整除，请求出的值．
27．（10分）在▱ABCD中，点E是CD上一点，连接AE、BE，AD=DE．
（1）如图1，若AB⊥BE，AB=16，BE=8，求△ADE的周长；
（2）如图2，若AB=AE，∠EBC=45°，点F、G分别是DA和AB延长线上的一点，且满足∠BCD+∠FEG=180°，求证：AG=AF+3BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P是△ABE内部一点，CE=2，请直接写出当PB+PE+PA取得最小值时△PDE的面积．
2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学八年级（下）期中数学试卷（教师版）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≠2 C．x=2 D．x＜2
【答案】B
2．（4分）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】A
3．（4分）已知x=3是关于x的一元二次方程x2-x-2a=0的一个解，则a的值为（ ）
A．-6 B．-3 C．6 D．3
【答案】D
4．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=5，对角线AC的长度为（ ）
A．12 B．6.5 C．13 D．10
【答案】C
5．（4分）如图，下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC
C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，∠B=∠D
【答案】B
6．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB的垂直平分线EF交AC于点F，连接DF．若∠BAD=80°，则∠CDF的度数为（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
【答案】C
7．（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．菱形的两条对角线相等
B．矩形的两条对角线互相垂直
C．平行四边形的两条对角线互相平分
D．矩形的邻边相等
【答案】C
8．（4分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AB，BE⊥AC，E是OC的中点，OF=4，则BD的长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．8
【答案】A
9．（4分）如图，正方形OABC，顶点A在x轴上，OA=3，将正方形OABC绕原点O逆时针旋转105°至正方形OA'B′C'的位置，则点B′的坐标为（ ）
A．（-3，3） B．（-3，3） C．（-3，3） D．（-,）
【答案】C
10．（4分）若关于x的一元二次方程（2-a）x2-4x+2=0有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程=1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】D
11．（4分）礼嘉智慧公园自开园以来受到市民的青睐．五一期间，小重，小庆两人分别从公园“艺趣馆”和“5G馆”两地出发，相向而行．已知小重先出发4分钟后，小庆才出发，他们两人相遇时，小庆发现手机落在了“5G馆”，便立即以原速原路返回“5G馆”取手机，小重仍以原速继续向“5G馆”前行，若小重、小庆到达“5G馆”后都停止行走．小重，小庆两人相距的路程y（米）与小重出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．小重的速度为60米/分钟
B．小庆的速度是90米/分钟
C．小重比小庆晚到5G馆6分钟
D．小庆到达5G馆时小重距艺趣馆1440米
解：由题意可得，
小重的速度为：（1740-1500）÷4=60（米/分），
小庆的速度为：1500÷（14-4）-60=90（米/分），；
小庆原速原路返回“5G馆”的时间：14-4=10（分），
小重到达“5G馆”的时间：90×10÷60=15（分），
15-10=5（分），故C错误，符合题意；
小庆到达5G馆时小重距艺趣馆：60×（14+10）=1440（米），故D正确，不符合题意，
故选：C．
12．（4分）如图，正方形ABCD的边长为10，E为AD的中点，连接CE，过点B作BF⊥CE交CD于点F，垂足为G，连接AG、DG，下列结论：①BF=CE；②AG=CD；③∠CDG=∠AGE；④EG=2；⑤DG=CG．其中正确结论有（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．①②⑤ D．①④⑤
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCE+∠DEC=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠DCE+∠CFB=90°，
∴∠BFC=∠DEC，
∴△BFC≌△CED（AAS），
∴BF=CE，故①正确；
如图，延长GE，BA交于点H，过点D作DN⊥EC于N，
∵点E是AD中点，
∴AE=DE=5，
∵AB∥CD，
∴∠H=∠DCE，
又∵∠AEH=∠DEC，
∴△DEC≌△AEH（AAS），
∴CD=AH，
∴AB=AH，
又∵BF⊥CE，
∴AD=AB=AH，
∴AG=CD，故②正确；
∵△BFC≌△CED，
∴DE=CF=5，CE=BF，
∴BF=,
∴CE=5，
∵S△BFC=×BC×CF=×BF×CG，
∴10×5=5CG，
∴CG=2，
∴EG=3，故④错误；
∴点G不是EC的中点，
∴DG≠CG，
∴∠GDC≠∠GCD，
∵AG=AH，
∴∠AGE=∠H，
∴∠AGE=∠H=∠GCD≠∠GDC，故③错误；
∵S△DEC=×DE×DC=×CE×DN，
∴DN=2，
∴CN==4，
∴NG=2，
∴DG==2，
∴DG=CG，故⑤正确；
故选：C．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）八边形内角和度数为______.
答案为：1080°．
14．（4分）若分式的值为0，则x=______.
【答案】6．
15．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，BE平分∠ABC交CD于点E，若AB=15，BC=6，则EF的长为______.
答案为：3．
16．（4分）一元二次方程x2-5x+6=0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为________.
【答案】
17．（4分）若关于x的方程有增根，则m的值为________.
【答案】−．
18．（4分）如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为____________.
解：当AB为菱形的对角线时，如图1，设菱形的边长为m，
∵A（0，4），B（8，0），
∴OA=4，OB=8，
∵四边形ABCD为菱形，
∴CA=AD=BC，AD∥BC，
∴CA=CB=8-m，
在Rt△AOC中，42+（8-m）2=m2，解得m=5，
∴D（5，4）；
当AB为菱形的边时，如图2，
AB=，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=AB=AD=4，AD∥BC，
∴D（4，4），
综上所述，D点坐标为（5，4）或（4，4）．
故答案为（5，4）或（4，4）．
19．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=9，点E、F分别是AD和BC上的点，AE=3，CF=2BF，将矩形沿EF折叠，使得点D恰好落在CB的延长线上的点D′处，点C的对应点为C′，连接CC′，则点C到C′D′的距离为__________.
解：如图：延长D'C'，过点C作CG⊥D'C'于点G，则CG为点C到C'D'的距离，连接DF，
由折叠可得D'E=DE，DF=D'F，∠1=∠2，∠3=∠4，∠ED'C'=∠EDC，
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，CD=AB=9，∠DCB=∠ADC=90°，
∴∠ED'C'=90°，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴D'E=D'F，
∴D'F=DF=DE，
∵∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
∴ED=DF，
∵∠2+∠3+∠ED'F=180°，∠1+∠4+∠EDF=180°，
∴∠ED'F=∠EDF，
∴∠FD'C'=∠FDC，
∵CF=2BF，
∴设BF=x，则CF=2x，BC=3x，
∴AD=3x，
∴DE=AD-AE=3x-3，
∴DF=3x-3，
在Rt△DFC中，由勾股定理得DF2-FC2=CD2，
∴（3x-3）2-（2x）2=92，
解得x=6，x=-（舍去），
∴FC=12，D'F=DF=3x-3=15，
∴D'C=D'F+FC=27，
∵∠D'C'F=∠D'GC，∠CD'F=∠GD'C，
∴△D'CF∽△D'GC，
∴，
∴，
∴CG=21.6．
故答案为21.6．
20．（4分）为响应国家号召，筑牢健康防线，重庆市民积极接种新冠疫苗，目前疫苗主要有三类：A类（腺病毒载体疫苗）、B类（灭活疫苗）、C类（重组亚单位疫苗）．甲、乙、丙三个接种点分别向市防疫站申请调拨了三类疫苗（其中每个接种点调拨的每一类疫苗剂数均为正整数），调拨一剂A类疫苗的费用是调拨一剂B类疫苗费用的3倍．甲接种点分别申请A类80剂、B类80剂、C类40剂；丙接种点分别申请A类80剂、B类50剂、C类80剂，丙调拨疫苗的总费用与甲的总费用相等．乙接种点申请的疫苗总数量比甲的总数量少20剂，其中B类疫苗的剂数为9的整数倍，乙调拨的总费用不高于甲总费用的68.7%，但不低于甲总费用的68%．则乙接种点申请调拨C类疫苗的最多数量是_____剂．
解：（1）设B型x元每支，C型y元每支，则A型3x元每支，
根据“调拨疫苗的总费用与甲的总费用相等”，得到方程：80×3x+80×x+40×y=80×3x+50×x+80y，得到y＝
3
4
x．
（2）设在乙点，B类疫苗的剂数为9n支（n正整数），C疫苗的剂数是m支，（m是正整数），可以得到A疫苗的剂数是（180-9n-m）支．
根据条件（1）可以得到甲的总费用=80×3x+80×x+40×y=350x．
要m最大，需要n最小，取n=1，得到m=126．
本题答案是：126．
三、解答题（本大题7个小题，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
21．（15分）解方程：
（1）；
（2）3（x-2）2-27=0；
（3）2x2-4x-12=0．
【答案】（1）x=2是原方程的增根，原方程无解；
（2）x1=5，x2=-1；
（3）x1=+1，x2=-+1．
22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DB和BD延长线上的两点，且满足BF=DE，连接AE，CF．求证：AE∥CF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB．
∴∠ABD=∠CDB．
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠E=∠F，
∴AE∥CF．
23．（8分）先化简，再求值：，其中x2+x-5=0．
【答案】原式=−．
24．（10分）2021年是中国共产党成立100周年，为从党的百年历程中汲取继续前进的智慧和力量，党中央决定，在全党开展党史学习．4月份，学校党委采购了《论中国共产党历史》和《中国共产党简史》，已知每本《论中国共产党历史》的价格比每本《中国共产党简史》多4元，校党委购买《论中国共产党历史》花了2000元，购买《中国共产党简史》花了1280元，且《中国共产党简史》的数量为《论中国共产党历史》数量的.
（1）请问每本《中国共产党简史》的价格是多少元？
（2）5月份，全校教师学习热情高涨，校党委又采购了一批学习丛书，其中《论中国共产党历史》的数量比4月份增加2a%，《中国共产党简史》的数量不变．新华书店为鼓励老师们的积极性，《论中国共产党历史》的单价在4月份的基础上降低了a%，《中国共产党简史》的单价在4月份的基础上降低了a%．最终，5月采购学习丛书的总费用比4月份增加了8a元，求出a的值．
解：（1）设每本《中国共产党简史》的价格是x元，则每本《论中国共产党历史》的价格是（x+4）元，
依题意得：
解得：x=16，
经检验，x=16是原方程的解，且符合题意．
答：每本《中国共产党简史》的价格是16元．
（2）每本《论中国共产党历史》的价格是20元，
4月份购进《中国共产党简史》的数量为=80（本），购进《论中国共产党历史》的数量为=100（本）．
依题意得：20（1-a%）×100（1+2a%）+16（1-a%）×80=1280+2000+8a，
整理得：0.4a2-4a=0，
解得：a1=10，a2=0（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的点，延长CD至点E，使CD=DE，连接AE，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接CF．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：四边形ACFE为菱形；
（2）如图2，若AC=BC=6，连接BE，过点B作BG⊥BE，BG=BE，连接CG，CG=2，求四边形ACFE的面积．
证明：（1）∵EF∥AC，
∴∠CAD=∠DFE，
∵CD=DE，∠ADC=∠FDE，
∴△ACD≌△FED（AAS），
∴EF=CA．AD=FD，
∵CD=DE，
∴四边形ACFE为平行四边形，
∵CD⊥AB，
即CE⊥AF，
∴平行四边形ACFE为菱形；
（2）过F作FH⊥BC于H，FK⊥AC于K，
在Rt△ACB中，AC=BC=6，
∴∠CAB=45°，
∵EF∥AC，
∴∠EFA=45°，
∵BG⊥BE，
∴∠EBG=90°，
∴∠GBC+∠CBA+∠ABE=90°，
∴∠GBC+∠ABE=45°，
∵∠AFE=∠FEB+∠ABE=45°，
∴∠GBC=∠FEB，
∵BG=BE，BC=AC=EF，
∴△BCG≌△EFB（SAS），
∴BF=CG=2，
在Rt△BFH中，FH=HB=2×＝2，
∴CH=4，CF=＝2，
在Rt△AFK中，∠KAF=45°，
设AK=FK=h，CK=6-h，
在Rt△KFC中，KF2+CK2=CF2，
即h2+(6−h)2＝(2)2，
解得：h=2（不合题意，舍去）或4，
∴S四边形ACFE=AC•KF=6×4=24．
26．（10分）对于一个两位数m（十位和个位均不为0），将这个两位数m的十位和个位上的数字对调得到新的两位数n，称n为m的“对调数”，将n放在m的左侧得到一个四位数，记为m'，将n放在m的右侧得到一个四位数，记为m″．规定F（m）=，例如：34的对调数为43，F（34）==9．
（1）填空：F（29）=______.
（2）请证明对于任意一个两位数m（十位和个位均不为0），F（m）都能够被9整除；
（3）若p=65+a（a为整数，1≤a≤9），q=30+2b（b为整数，1≤b≤4），p和q的十位、个位均不为0，p的对调数与q的对调数之和能被9整除，请求出的值．
解：（1）F（29）==63；
故答案为：63．
（2）设这个两位数m=10a+b，a，b为整数，1≤a≤9，1≤b≤9，
则m的对调数为10b+a．
∴m′=100（10b+a）+10a+b=1001b+110a．
m″=100（10a+b）+10b+a=1001a+110b．
∴F（m）==9|b-a|．
∴F（m）都能够被9整除．
（3）∵p=65+a（a为整数，1≤a≤9）中十位、个位均不为0，
∴a≠5．
当1≤a≤4时，p的对调数为：10（5+a）+6．
∵q的对调数为20b+3（b为整数，1≤b≤4），
∴10（a+5）+6+20b+3
=10a+20b+59
=9a+18b+54+a+2b+5
=9a+2b×9+6×9+a+2b+5，
∵p的对调数与q的对调数之和能被9整除，
∴a+2b+5能被9整除．
∵1≤a≤4，a为整数，b为整数，1≤b≤4，
∴a=2，b=1．
∴p=67，q=32．
∴F（67）=＝9，F（32）=＝9．
∴=1．
当6≤a≤9时，p的对调数为：10（a-5）+7，
∵q的对调数为20b+3（b为整数，1≤b≤4），
∴10（a-5）+7+20b+3
=10a+20b-40
=9a+18n-36+a+2b-4
=9a+9×2b-4×9+a+2b-4．
∵p的对调数与q的对调数之和能被9整除，
∴a+2b-4能被9整除．
∵6≤a≤9，a为整数，b为整数，1≤b≤4，
∴a=7，b=3或a=9，b=2．
当a=7，b=3时，p=72，q=36．
∴F（72）==45，F（36）==27．
∴．
当a=9，b=2时，p=74，q=34．
∴F（74）==27，F（34）==9．
∴=3．
综上，的值为：1或或3．
27．（10分）在▱ABCD中，点E是CD上一点，连接AE、BE，AD=DE．
（1）如图1，若AB⊥BE，AB=16，BE=8，求△ADE的周长；
（2）如图2，若AB=AE，∠EBC=45°，点F、G分别是DA和AB延长线上的一点，且满足∠BCD+∠FEG=180°，求证：AG=AF+3BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P是△ABE内部一点，CE=2，请直接写出当PB+PE+PA取得最小值时△PDE的面积．
（1）解：如图1中，设AD=BC=DE=x．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC=16，CE=16-x，AB∥CD，
∵BE⊥AB，
∴BE⊥CD，
∴∠BEC=∠ABE=90°，
∴BE2+CE2=BC2，
∴82+（16-x）2=x2，
∴x=10，
∴AD=DE=10，
∵AE==8，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=20+8．
（2）证明：如图2中，过点E作EH⊥AB于H，在AG上取一点M，使得∠AEM=120°，连接EM．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，∠D=∠ABC，
∴∠AED=∠EAB，
∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA=∠EAB，
设∠DAE=∠DEA=∠EAB=α，则∠D=∠ABC=180°-2α，
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=（180°-α）=90°-α，
∵∠EBC=45°，
∴90°-α+45°=180°-2α，
∴α=30°，
∴∠DAE=∠EAB=30°，
∵∠AEM=120°，
∴∠AME=180°-30°-120°=30°，
∴∠EAM=∠EMA，
∴EA=EM，
∴∠EAF=∠EMC=150°，
∵∠AEM=∠FEG=120°，
∴∠AEF=∠MEG，
∴△AEF≌△MEG（ASA），
∴AF=MG，
在Rt△AEH中，AH=AE•cos30°=AE，
∵AE=EM，EH⊥AM，
∴AH=HM，
∴AM=AE
同法可证AE=EM=AD=BC，
∴AM=3BC，
∴AG=MG+AM=AF+3BC．
（3）解：如图3-1中，将△APB绕点A顺时针旋转120°得到△AQN，连接EN，PQ．则NQ=PB，PQ=AP，
∴PE+PB+PA=EP+PQ+QN≥EN，
∵E，N是定点，EN的定长，
∴当E，P，Q，N共线时，PE+PB+PA的值最小，如图3-2中，
∵AE=AB=AN，
∴∠N=∠AEN，
∵∠DAE=∠N+∠AEN=30°，
∴∠N=∠AEN=15°，
∵AQ=AP，∠QAP=120°，
∴∠∠AQP=∠APQ=30°，
∵∠APQ=∠PAE+∠AEP=30°，
∴∠PAE=∠AEP=15°，
∴PA=PE，
∵∠EAB=30°，
∴∠PAB=15°，
∵AE=AB，∠PAE=∠PAB=15°，AP=AP，
∴△PAE≌△PAB（SAS），
∴PE=PB，
∴PA=PB=PE，
∵∠AEB=∠ABE=75°，
∴∠PEB=60°，
∴△PBE的等边三角形，
过点E作EK⊥BC于K，过点P作PR⊥DE于R．
在Rt△ECK中，∠EKC=90°，EC=2，∠C=60°，
∴CK=CE•cos60°=1，EK=CK=，
∵∠EBKK=45°，
∴BE=PB=PE=，
∴AD=BC=1+，
∴AB=CD=AE=AD=3+，
在Rt△PRE中，∠PRE=90°，∠PER=45°，PE=，
∴PR=PE=，
∵DE=CD-EC=3+-2=1+，
∴S△PDE=•DE•PR=××（1+）=．
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