第5节　科学验证：机械能守恒定律

1.知道机械能的各种形式，能够分析动能与势能(包括弹性势能和重力势能)之间的相互转化问题.

2.会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题.

3.能正确进行实验操作，能够根据实验数据的分析得出实验结论．

一、机械能守恒定律

1．机械能

(1)定义：物体的动能与势能之和称为机械能．

(2)表达式：E＝Ek＋Ep.

2．重力势能与动能的转化

如图所示，质量为m的木块，由A自由下落至C，中间经过B时速度为vB，取过C点的平面为参考平面，则

(1)在A点的机械能：EA＝EkA＋EpA＝0＋mgH＝mgH.

(2)在B点的机械能：EB＝EkB＋EpB＝mv＋mgh

由于v＝2g(H－h)，所以EB＝mgH.

(3)落至C点时的机械能：EC＝EkC＋EpC＝mv＋0

由于v＝2gH，所以EC＝mgH.

(4)结论：在只有重力做功的物体系统内，动能和重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．

3．弹性势能与动能的转化

在只有弹力做功的物体系统内，动能与弹性势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．

4．机械能守恒定律及其应用

(1)内容

在只有重力或弹力这类力做功的情况下，物体系统的动能与势能相互转化，机械能的总量保持不变．

(2)守恒定律表达式

①mv＋mgh2＝mv＋mgh1.

②Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.

(3)守恒条件：物体系统内只有重力或弹力做功．

二．验证机械能守恒定律

实验原理与方法：在只有重力做功的自由落体运动中，物体的重力势能和动能互相转化，但总的机械能保持不变．若物体某时刻瞬时速度为v，下落高度为h，则重力势能的减少量为mgh，动能的增加量为mv2，看它们在实验误差允许的范围内是否相等，若相等，则验证了机械能守恒定律．

一、机械能守恒定律

1．对机械能守恒条件的理解

(1)物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化，如自由落体运动．

(2)只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．

(3)重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化，如自由下落的物体落到竖直的弹簧上和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．

(4)除受重力或弹力外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零．如物体在沿斜面的拉力F的作用下沿斜面运动，拉力与摩擦力的大小相等，方向相反，在此运动过程中，其机械能守恒．

2．判断机械能是否守恒的方法

(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：若物体动能、势能均不变，机械能不变．若动能和势能中，一种能变化，另一种能不变，则其机械能一定变化．

(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．

(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．

应用机械能守恒定律解题的一般步骤

二、验证机械能守恒定律

1．数据处理

方法一：利用起始点和第n点计算

将相关数据代入mghn和mv，如果在实验误差允许的条件下，若mghn和mv相等，则验证了机械能守恒定律．

方法二：任取两点计算

任取两点A、B，测出hAB，计算出mghAB的值．

计算出mv－mv的值．

在实验误差允许的条件下，若mghAB＝mv－mv成立，则验证了机械能守恒定律．

方法三：图像法

从纸带上选取多个点，测量从第一个点到选取各点的下落高度h，并计算出各点速度的二次方v2，然后以v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据绘出v2­h图像．若在实验误差允许的范围内，图像是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒定律．

2.减小实验误差的方法

应尽可能控制实验满足机械能守恒的条件，这就要求尽量减小各种阻力的影响，采取的措施有：

(1)安装打点计时器时，必须使两个限位孔的中线严格竖直，以减小摩擦阻力．

(2)应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，使空气阻力减小．

典例1、(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒

B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒

C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒

D．丁图中，小球沿水平面做速率不变的圆周运动时，小球的机械能守恒

[思路点拨] 判断机械能是否守恒的关键：一是注意系统的选择；二是看系统内重力、弹力之外的力是否做功．

[解析]　甲图中重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，但弹簧的弹性势能增加，A的机械能减少，A错；B物体下滑，B对A的弹力做功，A的动能增加，B的机械能减少，B错；丙图中A、B组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C对；丁图中小球受重力和拉力作用，但都不做功，小球动能不变，机械能守恒，D对．[答案]　CD

典例2、(2019·广东广州期末)如图所示，绕过光滑定滑轮两端分别拴有A、B两个小球，A球的质量为3m，B球的质量为m，现将两球从距地面高度为h处由静止释放．若细绳足够长，细绳的质量、空气的阻力均不计．求：

(1)A球落地的瞬间，B球的速度多大？

(2)B球上升到距地面的最大高度为多少？

[解析]　(1)从开始到落地的瞬间，对系统由机械能守恒可得：

3mgh－mgh＝×4mv2  解得v＝.

(2)对B在A落地之后有：mv2＝mgh′  联立解得：h′＝h

故B的离地最大高度为：H＝h′＋2h＝h.

[答案]　(1)　(2)h

典例3：在“科学验证:机械能守恒定律”的实验中：

(1)有下列器材可供选用：重锤、铁架台、天平、停表、电磁打点计时器、复写纸、纸带、低压直流电源。其中不必要的器材有________________________；缺少的器材是________________。

(2)实验中用打点计时器打出的纸带如图所示，其中，A为打下的第1个点，C、D、E、F为距A较远的连续选取的四个点(其他点未标出)。用刻度尺量出C、D、E、F到A的距离分别为s1＝20.06 cm，s2＝24.20 cm，s3＝28.66 cm，s4＝33.60 cm。重锤的质量为m＝1.00 kg；打点周期为T＝0.02 s；实验地点的重力加速度为g＝9.8 m/s2。为了验证从打下A点到打下D点过程中重锤的机械能守恒，应计算出：打下D点时重锤的速度vD＝________(用题中字母表达)＝________ m/s，重锤重力势能的减少量ΔEp＝________(用题中字母表达)＝________ J，重锤动能的增加量ΔEk＝________(用题中字母表达)＝________ J。(保留三位有效数字)

解析　(1)该实验中通过打点计时器来记录重锤的运动时间，不需要停表，打点计时器需要的是交流电源，因此不需要低压直流电源，缺少低压交流电源，由于验证机械能守恒定律公式中可以把重锤的质量约掉，因此不需要天平，同时实验器材中缺少刻度尺。

(2)由匀变速直线运动的推论得打下D点时重锤的速度vD＝＝＝ m/s＝2.15 m/s。重锤动能的增加量ΔEk＝mv＝＝2.31 J。从打下A点到打下D点的过程中，重力势能的减少量ΔEp＝mgs2＝1.00×9.8×24.20×10－2 J＝2.37 J。

答案　(1)天平、停表、低压直流电源'刻度尺、低压交流电源

(2)　2.15　mgs2　2.37　　2.31

1.一个质量为m的滑块，以初速度v0沿光滑斜面向上滑行，当滑块从斜面底端滑到高为h的地方时，以斜面底端为参考平面，滑块的机械能是(　　)

A.mv   B.mgh

C.mv＋mgh   D.mv－mgh

2.(2019·山东烟台期末)下列物体机械能守恒的是(　　)

A．在水中下沉的石块

B．被匀速吊起的集装箱

C．在草坪上滚动的足球

D．在光滑曲面上自由运动的物体

3.(2019·黑龙江齐齐哈尔期末)在蹦床比赛中，从运动员接触蹦床面到运动至最低点的过程中(忽略空气阻力的影响)，以下说法正确的是(　　)

A．运动员重力势能的改变与零势能参考面的选取有关

B．蹦床的弹力做负功，弹性势能增加

C．运动员的动能始终减小

D．运动员机械能守恒

4.(如图所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3，求：

(1)物体在A点时的速度大小；

(2)物体离开C点后还能上升多高？

5.如图所示在“验证：机械能守恒定律”的实验中：

(1)(多选)在”验证机械能守恒定律”的实验中，下列物理量中要用工具测量和通过计算得到的有(　　)

A．重锤的质量

B．重力加速度

C．重锤下落的高度

D．与重锤下落高度对应的重锤瞬时速度

(2)有同学按以下步骤进行实验操作：

A．用天平称出重锤和夹子的质量。

B．固定好打点计时器，将连着重锤的纸带穿过限位孔，用手提住，且让手尽量靠近打点计时器。

C．松开纸带，接通电源，开始打点。并如此重复多次，以得到几条打点纸带。

D．取下纸带，挑选点迹清晰的纸带，记下起始点O，在距离O点较近处选择连续几个计数点(或计时点)，并计算出各点的速度值。

E．测出各点到O点的距离，即得到重锤下落的高度。

F．计算出mghn和mv，看两者是否相等。

在以上步骤中，不必要的步骤是__________；有错误或不妥的步骤是__________(填写代表字母)；更正情况是

①______________________________________________________________，

②______________________________________________________________，

③______________________________________________________________，

④______________________________________________________________。

(3)实验时，应使打点计时器的两个限位孔在同一竖直线上，这样做可以________(选填“消除”“减小”或“增大”)纸带与限位孔之间的摩擦。

(4)在实际测量中，重物减少的重力势能通常会________(选填“略大于”“等于”或“略小于”)增加的动能。

参考答案：

1.　A  2.　D  3.　B 

4.　解析　(1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点为零势能点，设物体在B点的速度为vB，

由机械能守恒定律得mg·3R＋mv＝mv，

解得v0＝。

(2)设物体从B点上升到最高点的高度为HB，

由机械能守恒定律得mgHB＝mv，解得HB＝4.5R

所以物体离开C点后还能上升HC＝HB－R＝3.5R。

答案　(1)　(2)3.5R

5.解析　(1)通过实验原理可知，重锤下落高度要用毫米刻度尺直接量出，下落这一高度时对应的瞬时速度用相邻两点间的平均速度求出，故需用工具测量的是C，通过计算得到的是D。

(2)因本实验是通过比较重力势能的减少量ΔEp是否等于动能的增加量ΔEk来验证机械能守恒的，由mghn＝mv可得ghn＝v，即只需验证ghn与v是否相等即可，不需要知道动能的具体数值，因而不需要测出重物(含重锤和夹子)的质量，故步骤A是不必要的。有错误或不妥的步骤是B、C、D、F。原因和更正办法分别是：①B中“让手尽量靠近打点计时器”应改为“让重锤尽量靠近打点计时器”。因打点计时器应从与重锤靠近的纸带处开始打点，不致留下过长的空白纸带，纸带也不宜过长，约40 cm即可。②C中应先接通电源，后松开纸带。因为只有当打点计时器工作正常后再让重锤下落，才可保证打第一个点时重锤的初速度为零，并且使纸带上的第一个点是清晰的小点。③D中应将“距离O点较近处”改为“距离O点较远处”。因为所取的各计数点应尽量是重锤自由下落运动的真实记录，而打点计时器接通电源开始工作后不一定很快就能达到稳定状态，同时开始的几个点比较密集，会增加长度测量的误差。④F中应将“mghn和mv”改为“ghn和v”。因本实验中是通过比较重锤的重力势能减少量mghn和动能增加量mv的大小来达到验证的目的，对于同一个研究对象(重锤)来说，质量是一定的，故只需比较ghn和v就能达到目的。

(3)打点计时器的两个限位孔如果不在同一竖直线上，纸带运动中就会与限位孔之间有摩擦，重物下落时要克服这个阻力做功，重力势能不能全部转化为动能，实验存在误差，纸带与限位孔之间的摩擦是无法避免的，这样做只能减小纸带与限位孔之间的摩擦。

(4)实际实验中，重锤要受到空气阻力，纸带和打点计时器的振针和限位孔之间有摩擦力，故重物下落时要克服这些阻力做功，重力势能不能全部转化为动能，有一小部分转化为内能，故重物减少的重力势能通常会略大于增加的动能。

答案：(1)CD　(2)A　BCDF　B中手应抓住纸带末端让重锤尽量靠近打点计时器　C中应先接通电源再松开纸带　D中应选取离O点较远的点　F中应计算ghn和v的值　(3)减小　(4)略大于