北师必修第二册易错点梳理

易错点梳理 数学中的隐含条件往往最容易被忽视，这些隐含条件通常被称为题中的“陷阱”，解题过程中一不小心就会掉进去。本文列举出了课本中一些常见的易错点，希望同学们在今后的学习中引以为戒。 一、三角函数 易错点1 求解时忽略角的范围 【问题】1: 在中，=,=，求，的值。 错解：cosA=±，sinB=± 剖析：基础不实，忽视开方时符号的选取。 正确答案：cosA=，sinB= 【问题】2: 在中，为锐角，且，求的值。 错解： 先求出sin()=，∵，∴ 剖析：知识残缺，由于为锐角，所以。又由于正弦函数在上不是单调函数，所以本题不宜求sin()，宜改求cos()或tan()。 正确答案： 【问题】1: 在中，已知a=,b=,B=,求角A 错解：用正弦定理求得，∴ 剖析：基础不牢，忽视隐含条件出错。 正确答案： 反思：三角函数中的平方关系是三角变换的核心，也是易错点之一。解题时，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号”。 易错点2 求关于最值时忽视正、余弦函数值域 【问题】:已知，求的最大值。 错解：令，得，通过配方、作图解得的最大值为 剖析：本题虽注意到的值域，但未考虑到与相互制约，即由于-1≤siny≤1， ∴必须同时满足。 正确答案： 反思：求关于最值的常规方法是通过令（或cosx）将三角函数的最值问题转化为关于的二次函数问题求解。但由于正、余弦函数值域限制，只能在某一特定范围内取值，解题时务必要注意此点。 易错点3 三角函数单调性判断错误 【问题】:已知函数y=cos(-2x)，求它的单调减区间。 错解： ≤-2x≤ 剖析：概念混淆，错因在于把复合函数的单调性与基本函数的单调性概念相混淆。应化成y=cos(2x-)求解 正确答案： 反思：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。 易错点4 图象变换的方向把握不准 【问题】: 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A向右平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向左平移个单位 错解一：C 剖析：知识残缺，未将函数化成同名函数。 错解二：D 剖析：基础不牢，弄错了平移方向。 正确答案：A 反思：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为， 平移的量为。 二．平面向量及其应用 易错点1 忽视平面向量基本定理的成立条件 【问题】：下列各组向量中，可以作为基底的是 ①=（0，0），=（1，-2）; ②=（-1，2），=（5，7）; ③=（3，5），=（6，10）; ④=（2，-3），=（4，-6）; 错解：选①或③或④ 正确答案： = 2 \* GB3 ② 剖析：概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底。 反思：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使=λ1+λ2。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。 易错点2 忽视“向量数量积运算”与“实数运算”区别 【问题】：已知向量的夹角为钝角，求实数x的取值范围为 错解： 剖析：概念模糊，错误地认为为钝角 正确答案： 反思：为钝角不共线 三、立体几何 易错点1 不会将三视图还原为几何体 【问题】：若某空间几何体的三视图如图所示， 求该几何体的体积。 错解： 如图该几何体是底面为边长正方形，高为1 的棱柱，∴该几何体的体积为 剖析：识图能力欠缺，由三视图还原几何体时出错。 正确答案：V=1 反思：在由三视图还原空间几何体时，要根据三个视图综合考虑，根据三视图的规则，可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为实线。在还原几何体形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。 易错点2 空间点、线、面位置关系不清 【问题】：给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；. ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 错解：A 剖析：①空间想象能力欠缺，不会借助身边的几何体作出判断； ②空间线面关系模糊，定理不熟悉或定理用错。 正确答案：D 反思：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用准确，考虑问题全面细致。 易错点3 平行关系定理使用不当 【问题】：正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且，给出下列四个命题：（1）；（2）C1Q // 面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNP // 面APC.正确序号为（ ） A、（1）（2） B、（1）（4） C、（2）（3） D、（3）（4） 错解：A、B、D 剖析：空间线面关系模糊，定理不熟悉，未能推出MN在平面APC内而导致错误。 正确答案：C 反思：证明空间平行关系的基本思想是转化和化归，但要正确应用定理并注意定理的应用条件。如在证明直线a//平面α时，不能忽略直线a在平面α外。证明有关线线，线面，面面平行时使用定理应注意找足条件，书写规范，推理严谨。 易错点4　垂直关系定理使用不当 【问题】：已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB= 4AN，M、S分别为PB、BC的中点。 ①证明：CM⊥SN； ②求SN与平面CMN所成角的大小. 剖析：①在利用线面垂直的判定定理证明两个平面互相垂直时， 只证明了该直线垂直于这个平面内的两条直线，没有说明这两 条直线是否相交，不符合定理的条件；②在求线面角时，没有 说明找角的过程。 反思：证明空间垂直关系的基本思想是转化和化归。如在证明线线垂直时，可先把其中一条直线视为某平面内的直线，然后再利用线面垂直的性质定理和判定定理证明另一条直线垂直于这个平面，进而达到证明线线垂直的目的。 易错点5 利用空间向量求线面角几种常见错误 【问题】：如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 ,若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的余弦值。 剖析：本题在求得平面DCEF的一个法向量=（0，0，2）及 =(－1,1,2)后，可得cos<,> =· 可能出现的错误为：; 正确答案： 反思：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。 易错点6 二面角概念模糊 【问题】： 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。 ①证明：是侧棱的中点； ②求二面角的余弦值。 剖析：本题在求得平面、的法向量=(，1，1)，=(，0，2)后，然后计算出cos=；接着可能错误地以为二面角余弦值为，其实本题中的二面角是钝角，仅为其补角。 正确答案： 反思：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，在解此类题时，应先求出两个平面的法向量及其夹角，然后视二面角的大小而定。 利用空间向量证明线面位置关系基本步骤为①建立空间坐标系，写出相关点的坐标；②用向量表示相应的直线；③进行向量运算；④将运算结果转化为相应的位置关系。解此类问题常见错误有①不会将空间问题转化为向量问题；②不会建系，不会用向量表示直线，③计算错误，④使用定理出错，⑤书写不规范。