高中数学北师大版 必修第二册第六章 ——章末测试【含解析+原卷】

第六章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)

1.下列几何体是旋转体的是(　　)

①圆柱;②六棱锥;③正方体;④球体;⑤四面体.

A.①④ B.②③ C.①③ D.②④

2.已知在边长为1的菱形ABCD中,A=,则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为(　　)

A. B. C. D.

3.设正方体的表面积为24,那么其外接球的体积是(　　)

A.π B.

C.4π D.32π

4.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有以下四个命题:

①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.

其中正确的命题是(　　)

A.①② B.③④ C.②④ D.①③

5.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为(　　)

A.(60+4)π B.(60+8)π

C.(56+8)π D.(56+4)π

6.《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“禾盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为              (　　)

A. B. C. D.

7.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”,“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命题称为“可换命题”,下列四个命题:

①垂直于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③平行于同一直线的两直线平行;④平行于同一平面的两直线平行.

其中是“可换命题”的是(　　)

A.①③ B.③④ C.①② D.①④

8.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为(　　)

A.30° B.60° C.90° D.120°

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

9.下列四个命题中,是真命题的有(　　)

A.若直线a,b互相平行,则直线a,b确定一个平面

B.平行于同一条直线的两条直线互相平行

C.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线

D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面

10.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题不正确的是(　　)

A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3

B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3

C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面

D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面

11.如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,下列结论正确的是(　　)

A.PD∥平面OMN

B.平面PCD∥平面OMN

C.直线PD与直线MN所成角的大小为90°

D.ON⊥PB

12.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则(　　)

A.直线D1D与直线AF垂直

B.直线A1G与平面AEF平行

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为

D.点C与点G到平面AEF的距离相等

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.圆柱的高是8 cm,表面积是130π cm2,则它的底面圆的半径等于　　　　cm,圆柱的体积是　　　　cm3. 

14.如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB,则直线a与直线l的位置关系是　. 

15.如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC=　　　　　　. 

16.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为　　　　　g. 

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)在三棱锥A-BCD中,E,H分别是线段AB,AD的中点,F,G分别是线段CB,CD上的点,且.求证:

(1)四边形EFGH是梯形;

(2)AC,EF,GH三条直线相交于同一点.

18.(12分)如图,矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直,MB∥NC,MN⊥MB.

(1)求证:平面AMB∥平面DNC;

(2)若MC⊥CB,求证:BC⊥AC.

19.(12分)《九章算术》是我国古代极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵,将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM-DCP与刍童ABCD-A1B1C1D1的组合体中,∠MAB=90°,AB=AD,A1B1=A1D1.

(1)证明:直线BD⊥平面MAC;

(2)已知AB=1,A1D1=2,MA=,且三棱锥A-A1B1D1的体积V=,求该组合体的体积.

20.(12分)如图①所示的等边△ABC的边长为2a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC边的中点.现将△ABC沿CD折叠,使平面ADC⊥平面BDC,如图②所示.

(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;

(2)求四面体A-DBC的外接球体积与四棱锥D-ABFE的体积之比.

21.(12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,侧棱AA1⊥底面ABC,且AA1=2,E是BC的中点.

(1)求异面直线AE与A1C所成角的余弦值;

(2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值.

22.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=AC=2,BC=2,M,N分别为BC,AB的中点.

(1)求证:MN∥平面PAC.

(2)求证:平面PBC⊥平面PAM.

(3)在AC上是否存在点E,使得ME⊥平面PAC?若存在,求出ME的长;若不存在,请说明理由.