高中数学北师大版 必修第二册第四章 ——同角三角函数的基本关系【课件+同步练习】
展开第四章三角恒等变换
同角三角函数的基本关系
1.1 基本关系式 1.2 由一个三角函数值求其他三角函数值 1.3 综合应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知tan α=2,则=( )
A.-2 B.3 C.6 D.7
2.在△ABC中,若cos(A+B)>0,sin C=,则tan C等于( )
A. B.- C.± D.
3.若=-5,则tan α的值为( )
A.-2 B.2 C. D.-
4.记cos(-80°)=k,那么tan 100°=( )
A. B.-
C. D.-
5.(多选)下列结论中成立的是( )
A.sin α=且cos α=
B.tan α=2 020且
C.tan α=1且cos α=±
D.sin α=1且tan α·cos α=1
6.(多选)已知sin α-cos α=(0<α<π),则下列选项正确的是( )
A.sin αcos α= B.sin α+cos α=
C.cos4α+sin4α= D.cos4α+sin4α=
7.已知tan α=-2,且α为第二象限角,则sin α= ,cos α= .
8.若角α的终边落在直线x+y=0上,则= .
9.已知tan α=2,则的值为 .
10.求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ.
能力提升练
1.若△ABC的内角A满足sin Acos A=,则sin A+cos A的值为( )
A. B.- C. D.-
2.化简的结果为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.已知tan α=-,则sin α(sin α-cos α)=( )
A. B. C. D.
4.已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则=( )
A.- B. C. D.-
5.化简的结果是( )
A.sin 4+cos 4 B.sin 4-cos 4
C.cos 4-sin 4 D.-(sin 4+cos 4)
6.已知cos2α+4sin αcos α+4sin2α=5,则tan α= .
7.证明:.
素养培优练
1.若sin α+cos α=1,则sinnα+cosnα(n∈Z)的值为 .
2.已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
第四章三角恒等变换
同角三角函数的基本关系
1.1 基本关系式 1.2 由一个三角函数值求其他三角函数值 1.3 综合应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知tan α=2,则=( )
A.-2 B.3 C.6 D.7
解析由tanα=2,
得=7.
答案D
2.在△ABC中,若cos(A+B)>0,sin C=,则tan C等于( )
A. B.- C.± D.
解析由cos(A+B)>0知,-cosC>0,即cosC<0,
又sinC=,所以cosC=-=-,
故tanC==-.
答案B
3.若=-5,则tan α的值为( )
A.-2 B.2 C. D.-
解析由已知可得=-5,解得tanα=-.
答案D
4.记cos(-80°)=k,那么tan 100°=( )
A. B.-
C. D.-
解析因为sin80°=,所以tan100°=-tan80°=-=-.
答案B
5.(多选)下列结论中成立的是( )
A.sin α=且cos α=
B.tan α=2 020且
C.tan α=1且cos α=±
D.sin α=1且tan α·cos α=1
解析因为sin2α+cos2α=≠1,所以A错误;因为,即tanα=2020,所以B正确;因为tanα=1,所以α=kπ+(k∈Z),所以cosα=±,所以C正确;因为sinα=1时,角α的终边落在y轴的非负半轴上,此时tanα无意义,所以D错误.
答案BC
6.(多选)已知sin α-cos α=(0<α<π),则下列选项正确的是( )
A.sin αcos α= B.sin α+cos α=
C.cos4α+sin4α= D.cos4α+sin4α=
解析sinα-cosα=两边平方,得(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=,即2sinαcosα=,则sinαcosα=,选项A正确.因为0<α<π,所以sinα>0,
因为sinαcosα=>0,所以cosα>0.
因为(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+,
所以sinα+cosα=,选项B正确.
cos4α+sin4α=-2sin2αcos2α=1-2,选项D正确,选项C错误.故选ABD.
答案ABD
7.已知tan α=-2,且α为第二象限角,则sin α= ,cos α= .
解析因为α为第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,
由解得
答案 -
8.若角α的终边落在直线x+y=0上,则= .
解析因为角α的终边落在直线y=-x上,
所以角α的终边可能在第二或第四象限,
则
答案0
9.已知tan α=2,则的值为 .
解析原式=.
答案
10.求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ.
证明因为左边=sinθ+cosθ
=sinθ++cosθ+
==右边,所以原等式成立.
能力提升练
1.若△ABC的内角A满足sin Acos A=,则sin A+cos A的值为( )
A. B.- C. D.-
解析因为sinAcosA=>0,
所以内角A为锐角,
所以sinA+cosA=.
答案A
2.化简的结果为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
解析,因为sin4<0,cos3<0,所以原式==-2-1=-3.
答案A
3.已知tan α=-,则sin α(sin α-cos α)=( )
A. B. C. D.
解析sinα(sinα-cosα)=sin2α-sinαcosα
=,
将tanα=-代入,得原式=.
答案A
4.已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则=( )
A.- B. C. D.-
解析因为sinα+cosα=,
所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=,
所以sinαcosα=-,又因为α∈(0,π),
所以sinα>0,cosα<0,所以cosα-sinα<0,
因为(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα
=1-2×-=,所以cosα-sinα=-,
所以=-.
答案A
5.化简的结果是( )
A.sin 4+cos 4 B.sin 4-cos 4
C.cos 4-sin 4 D.-(sin 4+cos 4)
解析先判断4是第几象限角,再比较sin4与cos4的大小.
因为<4<,所以0>cos4>sin4,
所以=|sin4-cos4|=cos4-sin4,故选C.
答案C
6.已知cos2α+4sin αcos α+4sin2α=5,则tan α= .
解析由题意知
==5,
整理得tan2α-4tanα+4=0,所以tanα=2.
答案2
7.证明:.
证明左边=
=
==右边,故原等式成立.
素养培优练
1.若sin α+cos α=1,则sinnα+cosnα(n∈Z)的值为 .
解析因为sinα+cosα=1,
所以(sinα+cosα)2=1,又sin2α+cos2α=1,
所以sinαcosα=0,所以sinα=0或cosα=0,
当sinα=0时,cosα=1,此时有sinnα+cosnα=1;
当cosα=0时,sinα=1,也有sinnα+cosnα=1,
所以sinnα+cosnα=1.
答案1
2.已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
证明法一:因为tan2α=2tan2β+1,
所以tan2β=.①
因为tan2β=,所以tan2β=,
所以sin2β=.②
由①②,得sin2β=
==2sin2α-1.
法二:因为tan2α=2tan2β+1,
所以tan2α+1=2(tan2β+1).
所以=2·.
所以.
所以cos2β=2cos2α.所以1-sin2β=2(1-sin2α).
所以sin2β=2sin2α-1.
