2020届广东省惠州高三一模数学理试卷及答案
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理科数学参考答案及评分细则
一、选择题:
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | A | B | A | C | B | C | D | D | A | B | C |
1.【解析】由中不等式得,解得,即,,故选B.
2.【解析】由,得,
∴,解得,∴.故选A.
3.【解析】由频率分布直方图可得,320名学生中每周的自习时间不足小时的人数
是人.故选B.
4.【解析】除甲乙外,其余5个排列数为种,再用甲乙去插6个空位有种,不同的排法种
数是种,故选A.
5.【解析】因为点是的中点,所以,点是的中点,所以,
所以,故选C.
6.【解析】由题意得.由得,
∴,∴.又,∴.故选B.
7.【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),
所以解得 ,双曲线方程为.故选C.
8.【解析】函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象,
为偶函数,排除A;的周期为,排除B;
因为,所以的图象不关于直线对称,排除C. 故选D.
9.【解析】对于A,若存在一条直线,∥,∥,则∥或与相交,若∥,则存在一条直线,使得∥,∥β,所以选项A的内容是∥的一个必要条件;同理,选项B,C的内容也是∥的一个必要条件而不是充分条件;对于D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有∥,所以选项D的内容是∥的一个充分条件。故选D。
10.【解析】由题意得点的坐标为,设点的坐标,点的坐标,
所以向量:,,
由向量线性关系可得:,,解得:,
代入抛物线方程可得:,则,
由两点之间的距离公式可得:.故选A.
11.【解析】 由题意,120对都小于1的正实数,满足,面积为1,
两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对,满足且,面积为,
∵统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数为,
则,∴,故选B.
12.【解析】∵,
∴,
∴,∴函数是偶函数,∴当时,易得为增函数,
∴,,
∵,,,∴,∴,故选C.
二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.7 14. 15. 16.
13.【解析】y=4x+=(4x-5)++5≥2+5=7.当且仅当4x-5=,即x=时取等号.
14.【解析】由题意得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=2+9-6·=5,
即AC=,则=,=,得sin A=.
15.【解析】设等差数列的公差为,则,
因为,所以,整理得,
.
16.【解析】如图所示,由外接球的表面积为,可得外接球的半径为,则
设,则,又变式上的高,
当平面时,棱锥的体积最大,
此时,
当时,体积最大,此时最大值为.
三.解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(本小题满分12分)
解:(1)由正弦定理可得 ……………………1分
化简得, ……………………2分
由余弦定理得, ……………4分
又因为,……………………………5分(注1:无此步骤,本得分点不能给分)
所以. …………………………………………………………………………6分
(2)解法一:由正弦定理得, ………8分
由余弦定理得, …………9分
即,(当且仅当时取等号) ………………………………10分
故(当且仅当时取等号).……11分
即面积的最大值为 ……12分(注2:无此步骤,本得分点不能给分)
(注3:最大值正确但无取等号的说明,扣1分)
解法二:由正弦定理:,∴
, ………………7分
∵,∴ ………8分
∴ ………………………9分
…………………10分
∵,∴当,即时,…………………………………11分
即面积的最大值为 …………………………………………12分
(注:本题解题过程的缺少“”(4分点)和“”(11分点)不重复扣分)
18.(本小题满分12分)
(1)证明:因为平面,平面,
所以.…………1分
由得为等腰直角三角形,
故.………………2分
又,且面,面,……3分
(注:此步骤中写出任意一个可得1分;全部不写,本得分点不给分)
故平面.……………4分
(2)解:如图所示,过点作垂直于,
易知,又,故.
由,得,,
故.………………………………5分
以点为坐标原点,分别以,,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,
建立如图空间直角坐标系, ……………………………………6分
,,,,,
……………………………………7分
设平面的法向量为,则,
即,……………………………………8分
令,则,故可取.…………9分(注:与共线的非零向量都可给分)
由(1)可知平面,故平面的法向量可取为,即.………10分
则,……11分(注:根据法向量方向不同结果可正可负,都可给分)
又二面角为锐二面角,
所以二面角的余弦值为.………12分(注:无此步骤,本得分点不能给分)
19.(本小题满分12分)
解:(1)设动点,则,………………………………………1分
,…………………………………………………………………2分
,即.化简得:,………………3分
由已知,故曲线的方程为.………………………4分
(注:方程正确,只要在解答过程出现过,就不扣分;否则扣1分)
(2)由已知直线过点,设的方程为,……………………………5分
则联立方程组,消去得,………………6分
设,,则,………………………………………………7分
直线与斜率分别为 , ,……8分
………………………………………………9分
当时,,; ………………………10分
当时,,.………………………11分
所以存在定点,使得直线与斜率之积为定值.……………………12分
20.(本小题满分12分)
解:(1)函数的定义域是(1,+∞).……………………………1分
因为,………………2分
又,令,解得,……………………3分
所以函数的单调递增区间是(1,2). ……………………4分
(注:单调区间也可以是(1,2],写成其它形式,本得分点不能给分)
(2)由,得
令,……………………………………………5分
则()………………………………. ………6分
由,得,由,得………………………7分
所以函数在[2,3]内单调递减,在[3,4]内单调递增,…………………8分
画出草图,可知方程在区间[2,4]内恰有两个相异的实根,
则,………………………9分(注:此步骤中,写对任意一个可得1分)
即,…………………10分
解得,………………11分
综上所述,实数取值范围是.…12分
(注:此步骤中,最终结果可以是集合、区间或不等式。若区间端点开闭错误,本得分点不给分。)
21.(本小题满分12分)
解:(1)所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6. ………1分(注:此步骤中,全部写对可得1分)
, ,
, ,
, ,
,………3分(注:此步骤中,写对任意一个可得1分,全对得2分)
∴的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
……………………5分
(2)选择延保方案一,所需费用元的分布列为:
7000 | 9000 | 11000 | 13000 | 15000 | |
P |
…………7分(注:此步骤中,取值全对可得1分)
(元). …………8分
选择延保方案二,所需费用元的分布列为:
10000 | 11000 | 12000 | |
P |
…………10分(注:此步骤中,取值全对可得1分)
(元). ………………………11分
∵,∴该医院选择延保方案二较合算. ……………………12分
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。
22.(本小题满分10分)
解:(1)消去参数可得的普通方程为,…………1分
由,得,………………………………2分
又因为,…………3分(注:此步骤中写出任意一个可得1分)
所以的直角坐标方程为.……………………4分
(2)解法1:标准方程为,表示圆心为,半径的圆.………5分
到直线的距离,………………………………………………6分
故.……………………………………………………………7分
原点到直线的距离,…………………………………………8分
所以. …………………………………9分
综上,的面积为 ……………………………………10分
解法2:联立方程组得,…………………5分
∴,……………………………………………………………6分
∴ ……………7分
原点到直线的距离,……………………………………8分
所以.…………………………………9分
综上,的面积为 ……………………………………10分
23.(本小题满分10分)
解:(1)解法1:当时,不等式可化简为.………1分
当时,,解得,所以;………………………2分
当时,,无解;………………………………………3分
当时,,解得,所以.………………………………4分
综上,不等式的解集为.………5分(注:解集必须是集合或区间形式)
解法2:当时,………1分
当时,,解得,所以; ………………2分
当时,,无解; …………………………………………3分
当时,,解得,所以. ……………………4分
综上,不等式的解集为. ………………5分
(2)解法1:当时,不等式可化简为.……………6分
令,则的图像为过定点斜率为的一族直线, ………7分
数形结合可知,当时,在上恒成立………………………9分
所以,所求的取值范围为.………10分(注:最终结果可以是集合、区间或不等式)
解法2:当时,不等式可化简为.……………6分
由不等式的性质得或,
即或.……………………………………………………7分
当时,,不等式不恒成立;…………………………8分
为使不等式恒成立,则.………………………9分
综上,所求的取值范围为.……………………………………………10分
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