2021年广东省惠州高三一模数学试卷及答案

这是一份2021年广东省惠州高三一模数学试卷及答案，共17页。试卷主要包含了已知向量，向量，若，则实数.，函数的部分图象的大致形状是.等内容，欢迎下载使用。

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1．设集合，集合, 则（ ）.
A． B．
C． D．
2．复数满足，其中为虚数单位，则复数=（ ）.
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）.
A． B． C． D．
4．已知向量，向量，若，则实数（ ）.
A． B． C． D．
5．已知正方体的棱长为1，则直线与直线所成角的余弦值
为（ ）.
A． B． C． D．
6．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，
则双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
7．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间。其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同。已知第一日织布5尺，30日共织布390尺，则该女子织布每日增加（ ）尺.
A． B． C． D．
8．函数的部分图象的大致形状是（ ）.

A B C D
9．根据中央关于精准脱贫的要求，某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等共4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）.
A． B． C． D．
10．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，称为“局部奇函数”.若为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．

二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。
11．下列选项中正确的是（　　）
A．不等式恒成立． B．存在实数a，使得不等式成立．
C．若为正实数，则． D．若正实数x，y满足，则．
12．在空间中，已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，且，，则．
B．若，且，，则．
C．若与相交，且，，则与相交．
D．若，且，，则．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分。
13．函数在点的切线方程为_________．
14．二项式的展开式中的系数是_________．
15．若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是_________．
16．已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2，点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，
则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知等差数列的公差，若，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．


18．（本小题满分12分）
在△中，角的对边分别为，且.
（1）求角的值；
（2）若，△的面积为，求△的周长．







19．（本小题满分12分）
C
E
D
B
A
F
如图，是边长为3的正方形，平面，，，
与平面所成角为
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；




20．（本小题满分12分）
已知椭圆（）的一个焦点为，且该椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点、，试问在轴上是否存在定点 使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.




21．（本小题满分12分）
已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者。血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康．
（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；
（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者。
（i）采取逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望；
（ii）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），求不同分组方法所需化验次数的数学期望。
你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由。




22．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若，求正实数的取值范围.






数学参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
B
C
D
B
D
A
B
1.【解析】由题意可得，，所以，故选A．
2.【解析】，故选C．
3.【解析】，故选A．
4.【解析】由已知得，故选B．
5.【解析】连接，则，可知是正三角形，，故选C．
6.【解析】 由题知双曲线的一条渐近线方程为，则，， ，故选D．
7.【解析】由题意可知该女子每日织布数呈等差数列，设为，首项，，可得，解之得，故选B．
8.【解析】由，所以为奇函数，排除A，C；因为 的大于0的零点中，最小值为；又因为，故选D．
9.【解析】先从4个专家中选2个出来，看成1个专家有种选法，再将捆绑后的专家分别派到3 个县区，共有种分法，故总共有种派法。 其中甲、乙两位专家派遣至同一县区有种，其概率为. 故选A．
10.【解析】 由“局部奇函数”可得： ，整理可得：，考虑到，从而可将视为整体，方程转化为：，利用换元设（），则问题转化为只需让方程存在大于等于2的解即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设．
（1）若方程有一个解，则有相切（切点大于等于2）或相交（其中交点在两侧），
即或，解得：或．
（2）若方程有两解，则，解得：，
综上所述：，答案B．

二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。

11题选项
12题选项
可得分数
全部正确
BCD
AC
5分
部分正确
B、C、D、BC、BD、CD
A、C
3分
11.【解析】不等式恒成立的条件是，，故A不正确；
当a为负数时，不等式成立．故B正确；由基本不等式可知C正确；
对于，
当且仅当，即，时取等号，故D正确．故选：BCD．
12.【解析】若，且，即两平面的法向量平行，则成立，故A正确；
若，且，则与互相平行或相交或异面，故B错误；
若相交，且，即两平面的法向量相交，则相交成立，故C正确；
若，且，则与平行或相交，故D错误；故选：AC．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分。）
13. 14. 280 15. 9 16. （3分），（2分）
【注：14题结果写成不扣分】
13.【解析】 因此切线方程为.
14.【解析】展开式的第项为，故令，即，
所以的系数为．
15.【解析】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9.
16.【解析】法1：依题意作出图形，如图所示，则sin∠DBC＝sin∠ABC，
由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，则sin∠ABC＝，cos∠ABC＝，
所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC＝×2×2×＝，
F
2θ
θ
A
C
B
E
D
因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－＝＝， 所以CD＝，
由余弦定理，得cos∠BDC＝＝.
答案：；
法2：如图，作AE垂直BC，作DF垂直BC，由勾股及相似比可得面积。
由二倍角公式可得目标角度的余弦值。
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
17.（本小题满分10分）
【解析】（1）法1：，，① .................................................................1分
，，成等比数列，，化简得，②..............2分
又因为 ...............................................3分【注：无此步骤，本得分点不得分】
且由①②可得，，．.....................................4分【注：只要算出即可给分】
数列的通项公式是 .......................................................................5分
法2：，，，成等比数列，， ...................1分
，化简得， ..................................................2分
又因为 ...............................................3分【注：无此步骤，本得分点不得分】
得． ...................................................................................................................4分

数列的通项公式是 ................................................................5分
（2）由（1）得， ....................................7分
......................................8分
． ............................................................................................9分

所以 ...............................................................................................................10分
18.（本小题满分12分）
【解析】（1）法1：由已知bcosA＝(2c－a)cosB，及正弦定理可得：
2sinCcosB＝sinBcosA＋sinAcos B .............................................................1分
2sinCcosB＝sin(A＋B)， ..............................................................................2分
因为A＋B＝π－C，所以2sinCcosB＝sinC， ........................................3分
因为sinC≠0， ................................................4分【注：无此步骤，本得分点不得分】
所以cosB＝. ...............................................................................................5分
因为0＜B＜π， .............................................6分【注：无此步骤，本得分点不得分】
所以B＝. ..................................................................................7分
法2：由已知bcosA＝(2c－a)cosB，及余弦定理可得：
........................................................................1分
化简得...................................................................................................2分
余弦定理可得...........................................................................................3分
因为≠0，.............................................................4分【注：无此步骤，本得分点不得分】
所以cosB＝. ................................................................................................................5分
因为0＜B＜π，......................................................6分【注：无此步骤，本得分点不得分】
所以B＝. ........................................................................................................7分
（2）由S△ABC＝acsinB ..........................................8分【注：单独写出此步骤，即可得1分】
得＝×4×c×，所以c＝1. ............................................................9分
又由余弦定理：，..........10分【注：单独写出此步骤，即可得1分】

得， ...................................................................11分
故△ABC的周长为5＋. ...............................................................12分
【注：第二问也可过A作BC边上的高，然后通过勾股定理求得边长，此过程按踩分点给分即可】

19.（本小题满分12分）
C
E
D
B
A
F
x
y
z
【解析】（1）证明：因为平面，面
所以..............................................................................1分
因为是正方形，所以 ............................2分
又, 面，面.............3分
【注：此步骤未写全3个条件，本得分点不得分】
故平面 ...............................................................4分
（2）法1：【向量法】
因为两两垂直，
建立空间直角坐标系如图所示．.................................................................................5分
因为平面，且与平面所成角为，即，.........6分
所以由已知，可得 ...........................7分
则
所以 ...............................8分
设平面的法向量为，则，即
令，则 ...............................9分
因为平面，所以为平面的法向量， .................10分
所以 .........................................11分
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 .................................12分
N
C
E
D
B
A
F
G
H
M
P
Q
法2：【几何法】
如图，G、P分别为线段ED、EB的三等分点，
M、N分别为线段EB、DB的中点，
MN∩GP=H，连结FH，
AF//NH，且AF=NH，所以FH//AN，且FH= AN
所以FH⊥面BDE，
过F作FQ⊥EB垂足为Q，连结HQ
由三垂线定理知，∠FQH为二面角的平面角。......................................................6分
由已知可得，所以 ..............................................................................7分
因为平面，且与平面所成角为，即，.................8分
△PHQ为直角三角形，∠QPH=60°，，所以，.......................9分
由勾股定理得，得，....................................................................10分
所以cos∠FQH.........................................................................................................11分
所以二面角的余弦值为 ..............................................................................12分
20.（本小题满分12分）
【解析】（1）法1：【待定系数法】
由题意可得，............................................................................1分
又因为点在椭圆上得 ..............................................................2分
联立解得，. ............................................................................3分
所以椭圆的方程为.......................................................................4分
法2：【定义法】
设另一个焦点为，则△为直角三角形，
由勾股定理得，............................................................................................1分
所以，即，........................................................................................2分
由得 .........................................................................................................3分
所以椭圆的方程为 .......................................................................................4分
（2）当直线为非轴时，可设直线的方程为，与椭圆联立，
整理得. .................................................................................5分
由
设，，定点 (且
则由韦达定理可得，. ....................................................6分
直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.
所以，即得. ...................................................7分
又，，得，
所以，
整理得. .............................................................................8分
从而可得，
即， .............................................................................9分
所以当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. ..........10分
特别地，当直线为轴时，也符合题意. ...................................................11分
综上，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称......12分

21.（本小题满分12分）
【解析】（1）6名密切接触者中随机抽取3名共有种方法，……………1分
抽取3名中有感染者的抽法共有种方法，……………2分
所以抽到感染者的概率 …………………………3分
（2）（i）按逐一化验法，的可能取值是1，2，3，4，5， ………………4分
， ， ，
， ，
【表示第5次化验呈阳性或前5次化验都呈阴性（即不检验可确定第6个样本为阳性）】
分布列如下：

1
2
3
4
5







…………………5分
【注：无列表不给分】
所以 ……………………………………6分
（ii）平均分组混合化验，6个样本可按平均分成2组，或者按分成3组。
如果按分2组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，
，，……………7分
分布列如下：

2
3



…………………………………………………………………8分
如果按分3组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，
，，……………9分
分布列如下：

2
3



…………………………………………………………………10分
【参考回答1】：
因为， ……………………………………………………………11分
所以我认为平均分组混合化验法较好，按或分组进行化验均可。……12分
【参考回答2】：
因为，
按分2组比按分3组所需硬件资源及操作程序更少， ………………11分
所以我认为平均分组混合化验法且按分2组更好。……………………………12分
【注】第三问属于开放性问题，以上仅为参考答案，能给出理由并作出合理判断就可给分。
请注意后续的开放题考查评分可能涉及满意原则（如回答1）及加分原则（如回答2）。
22. （本小题满分12分）
【解析】（1）因为，则函数定义域为，，……………1分
若，则，在单调递减；………………………2分
若，则，单调递增， ………………………3分









………………4分
【注：无列表不得分】


极小

所以当时，的极小值为，无极大值；…………5分
（2）法1： ，则， ……………………6分
由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，
所以，所以，
……………………………………………………………………7分
令，，
…………………………8分
令 ，，
恒成立，所以
所以恒成立， ………………………………………………………………………9分
所以；；；
则 ………………………………………………………………10分
所以，当且仅当时等号成立。 ……………………11分
所以，正实数的取值范围为.……………………………………………………12分
法2：由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，
所以，所以，……………………………………………6分
因为，
所以，所以，（*），……………7分
令，，
则
，
因为，所以，
①若，则，
当时，则，所以在单调递增，
当时，则，所以在单调递减，
所以，………………………………………………………8分
又因为，且和都在处取得最值，
所以当，解得，所以， ………………………9分
②若，则，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减， ……………………………10分
所以，与（*）矛盾，不符合题意，舍去. ………………………11分
综上，正实数的取值范围为.………………………………………………12分