初中数学北师大版九年级下册1 二次函数第2课时学案

2.2  二次函数的图象与性质

第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质

学习目标:

1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．

2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．

3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．

学习重点:

二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．

学习难点:

由函数图象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性质．函数图象都由（1）列表，（2）描点、连线三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．

学习过程:

一、复习：

二次函数y=x2 与y=-x2的性质：

二、问题引入：

你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？

刹车距离与什么因素有关？

有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：

晴天时：；雨天时：，请分别画出这两个函数的图像：

三、动手操作、探究：

1.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象。

2.在同一平面内画出函数y=3x2与y=3x2-1的图象。比较它们的性质，你可以得到什么结论？

四、例题：

【例1】              已知抛物线y=（m＋1）x开口向下，求m的值．

【例2】在同一坐标系中，作出函数①y=－3x2，②y=3x2，③y=x2，④y=－x2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=x2比y=3x2大（或小）多少？（2）当x=－2时，y=－x2比y=－3x2大（或小）多少？

【例3】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为k的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

五、课后练习

1．抛物线y=－4x2－4的开口向      ，当x=      时，y有最      值，y=      ．

2．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x=      ，y=      ．

3．当m=      时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是      ．在对称轴左侧，y随x的增大而      ；在对称轴右侧，y随x的增大而      ．

4．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k=      ，b=      ．

5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为                                                                                           ．

6．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（      ）

A．y=x2   B．y=－x2   C．y=－2x2   D．y=－x2

7．抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（      ）

A．y=x2   B．y=4x2   C．y=－2x2   D．无法确定

8．对于抛物线y=x2和y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（      ）

A．两条抛物线关于x轴对称    B．两条抛物线关于原点对称

C．两条抛物线关于y轴对称    D．两条抛物线的交点为原点

9．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（      ）

10．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（      ）

A．4    B．2    C．    D．

11．求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：

（1）y=ax2经过（1，2）；

（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；

（3）y=ax2与直线y=x＋3交于点（2，m）．

12.已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．

（1）求a、m的值；

（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；

（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；

（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．

13．如图，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：

（1）△AOC的面积；

（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．

14．有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m．水位上升3m，就达到警戒线CD，这时，水面宽度为10m．

（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；

（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？