数学九年级上册第21章 二次根式21.1 二次根式精练

专题21.1  二次根式-重难点题型

【华东师大版】

【知识点1  二次根式的定义】

形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.

【题型1  判断二次根式的个数】

【例1】（2021春•林州市月考）在式子，，，（y≤0），和（a＜0，b＜0）中，是二次根式的有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式进行分析即可．

【解答】解：式子，，（y≤0），（a＜0，b＜0）是二次根式，共4个，

故选：B．

【点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数．

【变式1-1】（2020秋•遂宁期末）下列式子中二次根式的个数有（　　）

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（x＞1）；（7）．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】根据二次根式的定义对各小题分析判断即可得解．

【解答】解：（1）是二次根式；

（2）不是二次根式；

（3）是二次根式；

（4）是三次根式；

（5）是二次根式；

（6）（x＞1）不是二次根式；

（7）是二次根式．

综上所述，是二次根式的有（1）（3）（5）（7）共4个．

故选：C．

【点评】本题考查了二次根式的定义，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．

【变式1-2】（2020秋•沈丘县期末）在式子中，二次根式有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】根据二次根式的定义对各数分析判断即可得解．

【解答】解：根据二次根式的定义，y＝﹣2时，y+1＝﹣2+1＝﹣1＜0，无意义，故不符合题意；是三次根式，不符合题意；x+y是整式，不符合题意；

所以二次根式有（x＞0），，（x＜0），，共4个．

故选：C．

【点评】本题考查了二次根式的定义，比较简单，要注意被开方数是非负数，熟记概念是解题的关键．

【变式1-3】（2020春•文登区期中）在式子，（x＞0），，（y＝﹣2），（x＞0），，，x+y中，二次根式有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】根据二次根式的定义作答．

【解答】解：（x＞0），，符合二次根式的定义．

（y＝﹣2），（x＞0）无意义，不是二次根式．

属于三次根式．

x+y不是根式．

故选：B．

【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．

【题型2  根据二次根式的定义求字母的值】

【例2】（2021春•河西区期中）已知是整数，正整数n的最小值为（　　）

A．96 B．6 C．24 D．2

【分析】根据96＝42×6n，若是整数，则96n一定是一个完全平方数，即可求解．

【解答】解：96＝42×6n，则是整数，

则正整数n的最小值6．

故选：B．

【点评】本题主要考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键．

【变式2-1】（2020秋•偃师市期中）已知n是正整数，是整数，则n的值可以是（　　）

A．5 B．7 C．9 D．10

【分析】将选项的值逐个代入验证即可．

【解答】解：A、当n＝5时，2，不是整数，故A不符合题意；

B、当n＝7时，，不是整数，故B不符合题意；

C、当n＝9时，2，不是整数，故C不符合题意；

D、当n＝10时，7，是整数，故D符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式的定义及二次根式的化简，属于基础知识的考查，比较简单．

【变式2-2】（2020春•青山区期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为　13　．

【分析】将变形为，根据是整数判断即可得．

【解答】解：∵3，且是整数，

∴正整数n的最小值为13，

故答案为：13．

【点评】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

【变式2-3】（2020春•南昌期中）若是正整数，则x的最大值是　11　．

【分析】根据二次根式的性质解答．

【解答】解：由题意得：12﹣x≥0，

∴x≤12．

又是正整数，

∴x的最大值是 11．

故答案是：11．

【点评】本题考查了二次根式的定义，注意“是正整数”暗含条件x≠12．

【知识点2  二次根式有意义的条件】

（1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：.

【知识点3  判断二次根式有意义的条件】

（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是

非负数；（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．

【题型3  根据二次根式有意义条件求范围】

【例3】（2021•宁波模拟）使代数式有意义的x的取值范围是（　　）

A．x≠3 B．x C．x且x≠3 D．x

【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．

【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0，3﹣x≠0，

解得，x且x≠3，

故选：C．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．

【变式3-1】（2020春•历城区校级月考）若式子有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣2 B．x≥﹣2，且x≠2 C．x≥﹣2 D．x＞﹣2，且x≠2

【分析】根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负数解答．

【解答】解：根据题意，得x+2≥0且x2﹣4≠0．

解得x＞﹣2且x≠2．

故选：D．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母不为零；

（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

【变式3-2】（2021•怀化模拟）使有意义的x的取值范围为　       　．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．

【解答】解：根据题意得：，

解得：x＞﹣1且x≠1．

故答案是：x＞﹣1且x≠1．

【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

【变式3-3】（2021春•海淀区校级月考）求有意义的a的整数值：　   　．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的范围，进一步求得a的整数值．

【解答】解：由题意得，a+4≥0，|a|﹣2≠0，3﹣a＞0，

解得﹣4≤a＜3且a≠±2．

故a的整数值为﹣4，﹣3，﹣1，0，1．

故答案为：﹣4，﹣3，﹣1，0，1．

【点评】本题考查的是二次根式的性质和分式的意义，掌握被开方数大于或等于0，分母不等于0是解题的关键．

【题型4  根据二次根式有意义条件求值】

【例4】（2021春•蜀山区校级期中）已知，则（x+y）2000（x﹣y）2001的值为（　　）

A． B． C．﹣1 D．1

【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而利用积的乘方运算法则计算得出答案．

【解答】解：∵，

∴x＝2，y，

则（x+y）2000（x﹣y）2001＝（2）2000×（2）2001

＝[（2）×（2）]2000×（2）

＝（4﹣3）2000×（2）

＝1×（2）

＝2．

故选：B．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确运用积的乘方运算法则是解题关键．

【变式4-1】（2021春•淮北月考）已知|2020﹣a|a，则4a﹣40402的值为（　　）

A．8084 B．6063 C．4042 D．2021

【分析】根据二次根式有意义的条件求出a的范围，把已知式子变形，代入计算即可．

【解答】解：由题意得，a﹣2021≥0，

解得，a≥2021，

原式变形为：a﹣2020a，

则2020，

∴a﹣2021＝20202，

∴4a＝4×20202+8084，

∴4a﹣40402＝40402+8084﹣40402＝8084，

故选：A．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

【变式4-2】（2021•石家庄模拟）若a、b为实数，且b，则a+b＝　   　．

【分析】根据二次根式有意义的条件可求出a的值，将a的值代入原式即可求出b的值．

【解答】解：由题意可知：，

∴a2＝1，

∴a＝±1，

∴b＝0，

当a＝1时，

原式＝1．

当a＝﹣1时，

原式＝﹣1．

故答案为：±1

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．

【变式4-3】（2021春•雨花区校级月考）已知实数x、y为实数，是否存在实数m满足关系式？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．

【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+y＝100，等式右边等于0，可得方程组，解方程组即可．

【解答】解：由题意得：，

解得：x+y＝100，

∴0，

∴，

解得：m＝102，

∴存在，m的值为102．

【点评】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到方程组是解题的关键．

【知识点4  二次根式的性质】

性质1：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；

性质2：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.

【题型5  利用二次根式的性质化简】

【例5】（2021春•柯桥区月考）已知在数轴上的位置如图所示，化简：

　     　．

【分析】根据|a|化简即可．

【解答】解：根据数轴得：n＞0，m＜n，m＜﹣1，

∴m﹣n＜0，m+1＜0，

∴原式＝n+n﹣m﹣（m+1）

＝n+n﹣m﹣m﹣1

＝2n﹣2m﹣1．

故答案为：2n﹣2m﹣1．

【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，根据数轴判断出绝对值里面的数的正负是解题的关键．

【变式5-1】（2021春•江油市月考）已知0＜a＜1，化简得　   　．

【分析】根据（a）2﹣4＝（a）2，（a）2+4＝（a）2，再根据二次根式的性质进行化简即可．

【解答】解：∵0＜a＜1，

∴a

∴原式|a|+|a|a+a，

故答案为：．

【点评】本题考查二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质是正确解答的前提．

【变式5-2】（2021春•合肥期中）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简．

【分析】由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简开方，计算．

【解答】解：由三边关系定理，得3+5＞c，5﹣3＜c，即8＞c＞2，

∴原式

＝|c﹣2||c﹣8|

＝c﹣2（8﹣c）

c﹣6．

【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用，掌握其性质是解决此题关键．

【变式5-3】（2021春•龙口市期中）阅读下列解题过程

例：若代数式的值是2，求a的取值范围．

解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，

当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；

当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；

当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）

所以，a的取值范围是1≤a≤3

上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题

（1）当2≤a≤5时，化简：　  　；

（2）若等式4成立，则a的取值范围是　    　；

（3）若8，求a的取值．

【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案；

（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；

（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；

【解答】解：（1）∵2≤a≤5，

∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，

∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|

＝a﹣2﹣（a﹣5）

＝3；

（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，

当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，

∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，

∴a＝3，符合题意；

当3＜a＜7时，

∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，

∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，

∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；

当a≥7时，

∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，

∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，

∴a＝7，符合题意；

综上所述，3≤a≤7；

（3）原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8，

当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0，

∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8，

∴a＝﹣2，符合题意；

当﹣1＜a＜5时，

∴a+1＞0，a﹣5＜0，

∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8，

∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意；

当a≥5时，

∴a+1＞0，a﹣5≥0，

∴a+1+a﹣5＝8，

∴a＝6，符合题意；

综上所述，a＝﹣2或a＝6；

故答案为：（1）3；（2）3≤a≤7

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．

【题型6  化简复合二次根式】

【例6】（2020秋•雨城区校级期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn，则a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使得以化简．例如，因为5+23+2+2（）2+（）2+2（）2，所以．

请仿照上面的例子化简下列根式：

（1）；

（2）．

【分析】将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简即可．

【解答】解：（1）∵4+2（）2+12+21＝（1）2，

∴|1|1，

（2）∵9﹣4（）2+22﹣22＝（2）2，

∴|2|2．

【点评】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握二次根式化简的方法是得出答案的前提．

【变式6-1】（2020秋•武侯区校级期中）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m，n，使m2+n2＝x且mn，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．

例如：化简．

解：∵3+21+2+212+（）2+2×1（1）2，

∴1．

请你仿照上面的方法，化简下列各式：

（1）；

（2）．

【分析】（1）（2）根据完全平方公式把原式变形，根据二次根式的性质化简即可．

【解答】解：（1）∵7+44+43＝22+2×2（）2＝（2）2，

∴2；

（2）∵5﹣23﹣22＝（）2﹣2（）2＝（）2，

∴．

【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键．

【变式6-2】（2020秋•济南期中）先阅读下列材料，再解决问题：

阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且mn，则可变形为|m±n|，从而达到化去一层根号的目的．

例如：|1|1

仿照上例完成下面各题：

①填上适当的数：|　　|＝　　；

②试将化简．

【分析】直接利用完全平方公式将原式变形得出答案．

【解答】解：①

＝||

；

故答案为：；；

②原式

．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确运用乘法公式是解题关键．

【变式6-3】（2020秋•漳浦县期中）阅读下面例题：化简

解：∵2+5＝7，2；

7+2

∴

由上述例题的方法化简：

（1）；

（2）；

（3）．

【分析】（1）根据完全平方公式、二次根式的性质化简；

（2）先把变形，再根据完全平方公式、二次根式的性质化简；

（3）x，求出x2，再根据完全平方公式、二次根式的性质化简．

【解答】解：（1）∵5﹣23﹣22＝（）2﹣2（）2＝（）2，

∴；

（2）；

（3）设x，

则x2＝（）2

＝424

＝8+2

＝8+2

＝8+2

＝8+22

＝6+2，

∴x1，即1．

【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．