2022高考数学一轮复习专题14 结构不良题型（数列）（解析卷）

专题14  结构不良题型（数列）

结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。数列部分主要涉及到数列的求和以及与不等式有关的问题。

一、题型选讲

题型一 、数列中的求和问题

例1、（江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研）已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，（1）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n，均为数列中的项，说明理由；

（2）设数列满足，n，求数列的前n项和．

注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解：（1）选①，

    因为S1＋S3＝2S2＋2，

    所以S3－S2＝S2－S1＋2，即a3＝a2＋2，

    又数列{an}是公比为2的等比数列，

    所以4a1＝2a1＋2，解得a1＝1，                    

因此an＝1×2n－1＝2n－1．

    此时任意m，n∈N*，aman＝2m－1·2n－1＝2m＋n－2，

由于m＋n－1∈N*，所以aman是数列{an}的第m＋n－1项，

    因此数列{an}满足条件P．

    选②，

    因为S3＝，即a1＋a2＋a3＝，

    又数列{an}是公比为2的等比数列，

    所以a1＋2a1＋4a1＝，解得a1＝，     

    因此an＝×2n－1．

    此时a1a2＝＜a1≤an，即a1a2不为数列{an}中的项，

    因此数列{an}不满足条件P．

    选③，

    因为a2a3＝4a4，

    又数列{an}是公比为2的等比数列，

    所以2a1×4a1＝4×8a1，又a1≠0，故a1＝4， 

    因此an＝4×2n－1＝2n＋1．

    此时任意m，n∈N*，aman＝2m＋1·2n＋1＝2m＋n＋2，

由于m＋n＋1∈N*，所以aman是为数列{an}的第m＋n＋1项，

    因此数列{an}满足条件P．

（2）因为数列{an}是公比为2的等比数列，

 所以＝2，因此bn＝n×2n－1．

所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2，

则2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2＋n×2，

两式相减得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2－n×2    

              ＝－n×2 

               ＝(1－n)2－1，     

所以Tn＝(n－1)2＋1．

例2、（湖北黄冈地区高三联考）已知函数（k为常数，且）．

（1）在下列条件中选择一个，使数列是等比数列，说明理由；

① 数列是首项为2，公比为2的等比数列；

② 数列是首项为4，公差为2的等差数列；

③ 数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．

（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.

【解析】（1）①③不能使成等比数列.②可以：

由题意，                                  ………1分

即，得，且，.   ………3分

常数且，为非零常数，

数列是以为首项，为公比的等比数列．                        ………4分

（2）由（1）知，所以当时，.           ………5分

因为，

所以，所以，         ………7分

. ……10分

例3、（2021年辽宁锦州联考）在①，②，，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．

设等差数列的前项和为，数列为等比数列，_____，．求数列的前项和．

解：选①：

当时，，当时，，又满足，所以．设的公比为，又因为，得，，所以；

由数列的前项和为，又可知，

数列的前项和为，

故．

选②：

设公差为，由解得

所以．设的公比为，又因为，得，，所以．

由数列的前项和为，又可知，数列的前项和为，故．

选③：

由，，所以，所以．

设的公比为，

又因为，得．

由数列的前项和为，又可知，

数列的前项和为，

故．

例4、（江苏省扬州2021届高三上学期期初学情调研）在①，，成等差数列，②，，成等比数列，③，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

已知为数列的前n项和，，(n)，，且       ．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前n项和．

题型二、数列中的不等式问题

例5、（江苏省南通2021届高三上学期期初学情调研）在①为等比数列，,②为等差数列，,③为等比数列，。这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答。

已知数列满足,数列满足____________,为数列的前项和,是否存在正整数,使得成立?若存在,求出的最小值；若不存在,请说明理由。

解：由可得,,

两式相减可得,,      所以,     

当时,由可得,,满足,   所以, 

若选①可得,所以,此时,

可得, ,可得,

所以存在最小值为.

若选②,可得，所以，此时

可得，，所以存在最小值为10

若选③,可得，所以，此时

所以

那么

两式相减得，所以不存在整数k

例6、（2021年湖北咸阳中学联考）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列的公比前项和为，若 _____，数列满足．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和，并证明．

解：（1）若选择①，可得，

化为，解得舍去），又因为，，解得，所以，；

选择②，可得，解得，又，解得，

可得，又因为，，解得，所以，；

选择③，可得，即，解得，

又因为，，解得，所以，；

（2）证明：，

，

由，可得．

例7、（2021年湖北仙桃中学模拟）在①，②这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．

已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．

（1）求和的通项公式；

（2）证明：．

解：选择①②：

（1）解：由当时，有，两式相减得：，即，．又当时，有，又，，也适合，所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；设正项等差数列的公差为，，且，，成等比数列，，

即，解得：或（舍，，故，．

（2）证明：由（1）可得，．

选择：②③：

（1）解：由当时，，两式相减得：，即，．又当时，有，又，，也适合，所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；设正项等差数列的公差为，，且，，成等比数列，，

即，解得：或（舍，，故，．

（2）证明：由（1）可得，．

二、达标训练

1、在等差数列中，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若____，求数列的前项和．

在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．

解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则

，解得，

，．

（2）方案一：选条件①

由（1）知，，

．

方案二：选条件②

由（1）知，，

，

当为偶数时，

，

，

当为奇数时，为偶数，

，

，

；

方案三：选条件③

由（1）知，，

，

，

两式相减，可得

．

．

2、在①，②，③三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．

已知等差数列的前项和为，满足：　　，．

（1）求的最小值；

（2）设数列的前项和，证明：．

解：（1）①若选择②③；

由题知：，

又因为，所以．

所以，解得．

所以．

所以，

所以

②若选择①②；

由题知：，

又因为，

所以．

所以，．

所以．

所以，

所以

③若选择①③；

由题知：，所以

由题知：，所以

所以，．

所以．

所以，

所以．

证明（2）因为，

所以

所以．

3、从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．

已知数列的前项和为，，_____．若，，成等比数列，求的值．

解：选择①，，相减可得：，，

，可得：．

．

，，成等比数列，

，，，解得．

选择②，变形得：，，化为：，

数列是等差数列，首项为1，公差为1．，解得．

时，．

，，成等比数列，

，，，解得．

选择③，，，相减可得：，化为：，

可得：，

数列是首项与公差都为1的等差数列，

．

，

，，成等比数列，

，，，解得．

4、在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．

已知为等差数列的前项和，若____．

（1）求；

（2）记，求数列的前项和．

解：（1）选择条件①：设等差数列的公差为，

则解得

，；

选择条件②：，

当时，

即，

当时，，也适合上式，

，；

选择条件③：设等差数列的公差为，

则，

解得，，或，，不合题意，舍去，

，；

（2）由（1）可知，，

．