北师大版第二章 解析几何初步综合与测试优秀练习
展开第二章 学业质量标准检测(B)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知P(3,m)在过M(2,-1)和N(-3,4)的直线上,则m的值是( C )
A.5 B.2
C.-2 D.-6
[解析] 由两点式求直线MN的方程为x+y-1=0,将点P(3,m)代入x+y-1=0得m=-2.
2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( A )
A.m< B.m<0
C.m> D.m≤
[解析] 由D2+E2-4F=2-4m>0,解得m<.
3.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是( D )
A.(2,3) B.(-2,3)
C.(-2,-3) D.(2,-3)
[解析] 该题考查圆的一般方程与标准方程的互化.
将一般式化为标准式(x-2)2+(y+3)2=13.
∴圆心坐标为(2,-3).
4.直线3x+4y-2=0与直线6x+8y-5=0间的距离是( C )
A.3 B.7
C. D.
[解析] 根据两平行线间距离公式得=.
5.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( A )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+=0或2x+y-=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+=0或2x-y-=0
[解析] 设所求切线方程为2x+y+c=0,依题意有=,解得c=±5,所以所求的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0,故选A.
6.已知A(2,5,-6),点P在y轴上,|PA|=7,则点P的坐标是( C )
A.(0,8,0) B.(0,2,0)
C.(0,8,0)或(0,2,0) D.(0,-8,0)
[解析] 点P在y轴上,可设为(0,y,0),
因为|PA|=7,A(2,5,-6),
所以=7,
解得y=2或8.故选C.
7. 过两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的交点的直线方程是( A )
A.x+y+2=0 B.x+y-2=0
C.5x+3y-2=0 D.不存在
[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线,因此该直线方程为x2+y2+6x+4y-(x2+y2+4x+2y-4)=0,即x+y+2=0.
8.(2018·辽宁省沈阳市高三模拟)若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第二象限,则t的取值范围是( B )
A. B.
C. D.
[解析] ∵直线方程可化为y=(3-2t)x-6,∴直线的斜率k=3-2t,纵截距b=-6<0.
∴当3-2t=0,即t=时,直线方程为y=-6,符合题意;
当3-2t≠0时,则由题意得3-2t>0,∴t<.
综上可知,t的取值范围是t≤.
9.两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数是( C )
A.4 B.3
C.2 D.1
[解析] 圆O1为(x-3)2+(y+8)2=121,
O1(3,-8),r=11;圆O2为(x+2)2+(y-4)2=64,
O2(-2,4),R=8,
∴|O1O2|==13,
∴|r-R|<|O1O2|
10.若PQ是圆x2+y2=16的弦,PQ的中点是M(1,3),则直线PQ的方程是( B )
A.x+3y-4=0 B.x+3y-10=0
C.3x-y+4=0 D.3x-y=0
[解析] 圆心为O(0,0),故kOM==3.因为弦PQ所在直线与圆心和弦中点的连线垂直,所以直线PQ的斜率k=-,其方程为y-3=-(x-1),整理得x+3y-10=0.
11.从原点向圆x2+y2-6x+=0作两条切线,则两条切线间圆的劣弧长为( B )
A.π B.π
C.π D.π
[解析] 如图所示,数形结合,圆心C(3,0)
半径r=,在Rt△OCA中,OC=3,CA=,
∴∠OCA=60°
从而∠ACB=120°,劣弧AB长l=×=π.
12.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( B )
A.10 B.20
C.30 D.40
[解析] 本题考查圆的相关知识.
圆的方程为x2+y2-6x-8y=0得圆心(3,4),半径为5.
由题意知,AC为圆的直径且BD⊥AC,
∴|BD|=2=4,|AC|=10.
∴S四边形ABCD=×4×10=20,故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.过点(1,2),倾斜角是120°的直线方程的点斜式是__y-2=-(x-1)__.
[解析] 斜率是k=tan 120°=-,
所以直线方程是y-2=-(x-1).
14.若直线4ax-3by+6=0(a,b∈R)始终平分圆x2+y2+6x-8y+1=0的周长,则a、b满足的条件是__2a+2b-1=0__.
[解析] 圆的方程可化为(x+3)2+(y-4)2=24,由圆心(-3,4)在直线4ax-3by+6=0上,得2a+2b-1=0.
15.直线l过点(-5,-10)且在圆x2+y2=25上截得的弦长为5,则直线l的方程为__x-y-5=0或7x-y+25=0__.
[解析] 若直线l的斜率不存在,则其直线方程为x=-5,此时直线l与圆相切,不符合题意.
故设直线l的斜率为k,
其方程为y+10=k(x+5),即kx-y+5k-10=0
由()2+()2=25可得k=1或k=7.
即x-y-5=0或7x-y+25=0为所求.
16.已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l∶y=x-1被该圆所截得的弦长为2,则圆C的标准方程为__(x-3)2+y2=4__.
[解析] 设圆心C(a,0),由已知a>0作CD⊥AB,则由|AB|=2⇒AD=,|CD|=.
|CA|=|a-1|,
由勾股定理得:()2+()2=(|a-1|)2
⇒a=3或a=-1,
又a>0,∴a=3,∴r=3-1=2,
∴⊙C的方程为(x-3)2+y2=4.
三、解答题(本大题共6个小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知动点P到点A(4,0)的距离是到点B(1,1)距离的倍.
(1)求动点P的轨迹;
(2)求动点P的轨迹图形的面积.
[解析] 设点P(x,y)由题意可得|PA|=|PB|,
即=
化简整理得(x+2)2+(y-2)2=20,
所以动点P的轨迹是以(-2,2)为圆心以2为半径的圆.
(2)由(1)知动点P的轨迹是圆,半径是2,因此其面积S=π·(2)2=20π.
18.(本小题满分12分)求点A(-2,3)关于直线l∶3x-y-1=0对称的点A′的坐标.
[解析] 解法1:由题意,设A′(x0,y0),直线AA′的方程为y-3=-(x+2),与3x-y-1=0联立方程组得解得所以直线AA′与l的交点坐标为P(1,2).因为点A,A′关于直线l对称,也关于点P对称,所以解得所以点A关于直线l的对称点为A′(4,1).
解法2:设A′(x0,y0),则kAA′=-,且AA′的中点在直线l上.
所以,
解得,
所以A′点的坐标为(4,1).
19.(本小题满分12分)一束光线l自A(-3,3)发出,射到x轴上,被x轴反射后与圆C:x2+y2-4x-4y+7=0有公共点.求:
(1)反射光线通过圆心C时,光线l所在直线的方程;
(2)在x轴上,反射点M的横坐标的取值范围.
[解析] 圆C的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1.
(1)圆心C关于x轴的对称点为C′(2,-2),过点A,C′的直线方程为x+y=0,此即为光线l所在直线的方程.
(2)点A关于x轴的对称点为A′(-3,-3),设过点A′的直线为y+3=k(x+3).当该直线与圆C相切时,有=1,解得k=或k=.所以过点A′的圆C的两条切线方程分别为y+3=(x+3),y+3=(x+3).分别令y=0,得x1=-,x2=1,所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[-,1].
20.(本小题满分12分)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由.
[解析] 假设存在直线l,设其方程为y=x+b.
解方程组
得2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0.①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-b-1,x1x2=.
∴y1y2=(x1+b)(x2+b)
=x1x2+b(x1+x2)+b2
=+b(-b-1)+b2
=.
又OA⊥OB,
∴x1x2+y1y2=0.
∴+=0.
解得b=1或b=-4.
把b=1和b=-4分别代入①式,验证判别式均大于0,故存在b=1或b=-4.
所以存在满足条件的直线方程是x-y+1=0,或x-y-4=0.
21.(本小题满分12分)直线y=kx与圆x2+y2-6x-4y+10=0相交于两个不同点A,B,当k取不同的实数值时,求AB中点的轨迹.
[解析] 方法一:联立方程,得
消去y,得(1+k2)x2-(6+4k)x+10=0.
设此方程的两根为x1,x2,AB的中点坐标为P(x,y),
由根与系数的关系和中点坐标公式得
x===,①
又∵P点在直线y=kx上,
∴y=kx,即k=.②
将②代入①,得x=(x≠0),
整理得x2+y2-3x-2y=0.
∵点P始终在圆x2+y2-6x-4y+10=0的内部,
∴点P的轨迹是圆x2+y2-3x-2y=0位于圆x2+y2-6x-4y+10=0内的部分弧.
方法二:∵直线y=kx过坐标原点,圆x2+y2-6x-4y+10=0的圆心为C(3,2),
设AB的中点为M,则MC⊥AB,
∴点M在以OC为直径的圆上,
此圆的圆心为(,1),半径为,
其方程为(x-)2+(y-1)2=,
即x2+y2-3x-2y=0.
又∵点M在圆x2+y2-6x-4y+10=0的内部,
∴轨迹是圆x2+y2-3x-2y=0位于圆x2+y2-6x-4y+10=0内的部分弧.
22.(本小题满分12分)已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0.
(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1,求直线l的方程.
(2)设过点P的直线l1与圆C交于M,N两点,当|MN|=4时,求以线段MN为直径的圆Q的方程.
(3)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
[解析] (1)直线l斜率存在时,设直线l的斜率为k,则方程为y-0=k(x-2),即kx-y-2k=0.
又圆C的圆心为(3,-2),半径r=3,由=1,解得k=-.
所以直线方程为y=-(x-2),即3x+4y-6=0.
当l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经验证x=2也满足条件.
即直线l的方程为3x+4y-6=0或x=2.
(2)由于|CP|=,而弦心距d==,
所以d=|CP|=.
所以P恰为MN的中点.
故以MN为直径的圆Q的方程为(x-2)2+y2=4.
(3)把直线y=ax+1代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.
由于直线ax-y+1=0交圆C于A,B两点,
故Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,
即-2a>0,解得a<0.
则实数a的取值范围是(-∞,0).
设符合条件的实数a存在,
由于l2垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l2上.所以l2的斜率kPC=-2,而kAB=a=-,
所以a=.由于∉(-∞,0),
故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB.
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