高考数学(理数)一轮复习单元检测07《不等式、推理与证明》提升卷（教师版）

这是一份高考数学(理数)一轮复习单元检测07《不等式、推理与证明》提升卷（教师版），共9页。试卷主要包含了若直线l等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间100分钟，满分130分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若aA.eq \f(1,a)eq \r(－b)
C．|a|>－bD.eq \f(1,a－b)>eq \f(1,b)
答案 A
解析 因为a0，即eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，A不成立；－a>－b>0，eq \r(－a)>eq \r(－b)，
B成立；－a＝|a|>|b|＝－b，C成立；当a＝－3，b＝－1时，eq \f(1,a－b)＝－eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝－1，
故eq \f(1,a－b)>eq \f(1,b)，D成立．
2．不等式eq \f(2x＋1,3－x)≤0的解集为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，3)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，3)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪(3，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[3，＋∞)
答案 C
解析 不等式eq \f(2x＋1,3－x)≤0可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋13－x≤0，,3－x≠0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1x－3≥0，,3－x≠0，))解得x≤－eq \f(1,2)或x>3，
∴不等式eq \f(2x＋1,3－x)≤0的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪(3，＋∞)．
3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人
B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an－1＋\f(1,an－1)))，由此归纳出{an}的通项公式
答案 C
解析 因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分．
4．“1＋eq \f(3,x－1)≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由1＋eq \f(3,x－1)≥0，得eq \f(x＋2,x－1)≥0，等价于(x－1)(x＋2)≥0，且x≠1，解得x≤－2或x>1.由(x＋2)(x－1)≥0，得x≤－2或x≥1，所以“1＋eq \f(3,x－1)≥0”能推出“(x＋2)·(x－1)≥0”，“(x＋2)(x－1)≥0”推不出“1＋eq \f(3,x－1)≥0”，故“1＋eq \f(3,x－1)≥0”是“(x＋2)(x－1)≥0”的充分不必要条件，故选A.
5．若x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则xy的最小值为( )
A．8B．14C．16D．64
答案 D
解析 ∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，
∴xy＝2x＋8y≥2eq \r(16xy)，∴eq \r(xy)≥8，
∴xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时取等号，
∴xy的最小值为64，故选D.
6．已知实数a>0，b>0，eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b＋1)＝1，则a＋2b的最小值是( )
A．3eq \r(2)B．2eq \r(2)C．3D．2
答案 B
解析 ∵a>0，b>0，eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b＋1)＝1，
∴a＋2b＝(a＋1)＋2(b＋1)－3＝[(a＋1)＋2(b＋1)]·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a＋1)＋\f(1,b＋1)))－3
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋2＋\f(2b＋1,a＋1)＋\f(a＋1,b＋1)))－3≥3＋2eq \r(2)－3＝2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(2b＋1,a＋1)＝eq \f(a＋1,b＋1)，即a＝eq \r(2)，b＝eq \f(\r(2),2)时取等号，
∴a＋2b的最小值是2eq \r(2)，故选B.
7．若直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．10B．8C．5D．4
答案 B
解析 由题意知，已知圆的圆心C(－4，－1)在直线l上，所以－4a－b＋1＝0，
所以4a＋b＝1.所以eq \f(1,2a)＋eq \f(2,b)＝(4a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)＋\f(2,b)))＝4＋eq \f(b,2a)＋eq \f(8a,b)≥4＋2eq \r(\f(b,2a)·\f(8a,b))＝8，
当且仅当eq \f(b,2a)＝eq \f(8a,b)，即a＝eq \f(1,8)，b＝eq \f(1,2)时，等号成立．所以eq \f(1,2a)＋eq \f(2,b)的最小值为8.故选B.
8．在不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0))所表示的平面区域内随机地取一点M，则点M恰好落在第二象限的概率为( )
A.eq \f(2,3)B.eq \f(3,5)C.eq \f(2,9)D.eq \f(4,7)
答案 C
解析 如图，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0))所表示的平面区域为一直角三角形，
其面积为eq \f(1,2)×3×eq \f(3,2)＝eq \f(9,4)，其中在第二象限的区域为一直角三角形，其面积为eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2).
所以点M恰好落在第二象限的概率为eq \f(\f(1,2),\f(9,4))＝eq \f(2,9)，故选C.
9．已知变量x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤2，,2x－y≥－2，,2y－x≥1，))则z＝3y－x的取值范围为( )
A．[1,2]B．[2,5]C．[2,6]D．[1,6]
答案 D
解析 画出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤2，,2x－y≥－2，,2y－x≥1))表示的平面区域，如图中阴影部分所示(△ABC边界及其内部)．
因为z＝3y－x，所以y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3)z.当直线y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(z,3)在y轴上的截距有最小值时，z有最小值；当在y轴上的截距有最大值时，z有最大值．由图可知，当直线y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(z,3)经过点A(－1,0)，在y轴上的截距最小，zmin＝0－(－1)＝1；经过点C(0,2)时，在y轴上的截距最大，zmax＝3×2－0＝6.所以z＝3y－x的取值范围为[1,6]，故选D.
10．小王计划租用A，B两种型号的小车安排30名队友(大多有驾驶证，会开车)出去游玩，A与B两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆，不少于6辆，且A型车至少有1辆，则租车所需的最少租金为( )
A．1000元B．2000元
C．3000元D．4000元
答案 D
解析 设分别租用A，B两种型号的小车x辆、y辆，所用的总租金为z元，则z＝1000x＋600y，其中x，y满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x＋5y≥30，,6≤x＋y≤12，,x≥1，))(x，y∈N)，作出可行域，如图阴影部分(包括边界)所示．
易知当直线y＝－eq \f(5,3)x＋eq \f(z,600)过点D(1,5)时，z取最小值，所以租车所需的最少租金为1×1000＋5×600＝4000(元)，故选D.
11．若变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2≤4，,y≥－x，,y≤x＋2，))则t＝eq \f(y－2,x－3)的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(12,5)))C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(12,5)))D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(12,5)，0))
答案 B
解析 作出可行域，如图中阴影部分所示(包括边界)．
t＝eq \f(y－2,x－3)表示可行域内的点与点M(3,2)连线的斜率．由图可知，当可行域内的点与点M的连线与圆x2＋y2＝4相切时斜率分别取最大值和最小值．设切线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2＝0，则有eq \f(|3k－2|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq \f(12,5)或k＝0，所以t＝eq \f(y－2,x－3)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(12,5)))，故选B.
12．已知甲、乙两个容器，甲容器的容量为x(单位：L)，装满纯酒精，乙容器的容量为z(单位：L)，其中装有体积为y(单位：L)的水(xA．当x＝y＝a时，数列{an}有最大值eq \f(a,2)
B．设bn＝an＋1－an(n∈N*)，则数列{bn}为递减数列
C．对任意的n∈N*，始终有an≤eq \f(xy,z)
D．对任意的n∈N*，都有an≤eq \f(xy,x＋y)
答案 D
解析 对于A，若x＋y>z，每次倾倒后甲容器都有剩余，则aneq \f(xy,z)，故C错误；对于D，当n→＋∞时，甲乙两容器浓度趋于相等，当x＋y≤z时，an＝eq \f(xy,x＋y)，当x＋y>z时，an第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a的取值范围是____________．
答案 [－2,4]
解析 关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a＝1时，(x－1)2<0，无解，满足题意；当a>1时，不等式的解集为{x|1所以实数a的取值范围是[－2,4]．
14．已知x≥eq \f(3,2)，则eq \f(2x2－2x＋1,x－1)的最小值为__________．
答案 2eq \r(2)＋2
解析 设t＝x－1，则x＝t＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t≥\f(1,2)))，所以eq \f(2x2－2x＋1,x－1)＝eq \f(2t＋12－2t＋1＋1,t)＝eq \f(2t2＋2t＋1,t)＝2t＋eq \f(1,t)＋2≥2eq \r(2)＋2，当且仅当t＝eq \f(\r(2),2)时等号成立，所以所求最小值为2eq \r(2)＋2.
15．某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是________．(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持)
答案 影视配音
解析 由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音，故答案为影视配音．
16．已知定义在R上的函数y＝f(x)为增函数，且函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)成中心对称，若实数a，b满足不等式f(4a－a2)＋f(b2－2b－3)≤0，则当2≤a≤4时，a2＋(b－1)2的最大值为______．
答案 20
解析 易知f(x)是奇函数，又f(x)是增函数，∴4a－a2≤－b2＋2b＋3，∴|a－2|≥|b－1|，在平面直角坐标系中画出eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a－2|≥|b－1|，,2≤a≤4))表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，a2＋(b－1)2表示定点(0,1)到该平面区域内的动点(a，b)的距离的平方，由图可知动点(a，b)在图中点(4,3)或点(4，－1)处时，a2＋(b－1)2取得最大值，最大值为42＋22＝20.
三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知函数f(x)＝2x＋eq \f(2,x＋1).
(1)若x∈(－1，＋∞)，求f(x)的最小值，并指出此时x的值；
(2)求不等式f(x)≥2x＋2的解集．
解 (1)由x∈(－1，＋∞)可得x＋1>0.
因为f(x)＝2x＋eq \f(2,x＋1)＝2x＋2＋eq \f(2,x＋1)－2≥4－2＝2，所以f(x)≥2，
当且仅当2x＋2＝eq \f(2,x＋1)，即x＝0时取等号．
故f(x)的最小值为2，此时x＝0.
(2)由f(x)≥2x＋2，得eq \f(－2x,x＋1)≥0，所以－1故所求不等式的解集为(－1,0]．
18．已知函数f(x)＝(3x－1)a－2x＋b.
(1)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \f(20,3)，且a>0，b>0，求ab的最大值；
(2)当x∈[0,1]时，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，求z＝eq \f(a＋b＋2,a＋1)的取值范围．
解 (1)因为f(x)＝(3a－2)x＋b－a，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \f(20,3)，
所以a＋b－eq \f(4,3)＝eq \f(20,3)，即a＋b＝8.
因为a>0，b>0，
所以a＋b≥2eq \r(ab)，即4≥eq \r(ab)，所以ab≤16，
当且仅当a＝b＝4时等号成立，
所以ab的最大值为16.
(2)因为当x∈[0,1]时，f(x)≤1恒成立，且2a＋3b≥3，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0≤1，,f1≤1，))且2a＋3b≥3，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b－a≤1，,b＋2a≤3，,2a＋3b≥3，))
作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)．
由图可得经过可行域内的点(a，b)与点(－1，－1)的直线的斜率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，2))，
所以z＝eq \f(a＋b＋2,a＋1)＝eq \f(b＋1,a＋1)＋1的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,5)，3)).
19．某企业计划引进新能源汽车生产设备，已知该设备全年需投入固定成本2 500万元，每生产x百辆新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10x2＋100x，0由市场调研知，若每辆新能源汽车售价5万元，则全年内生产的新能源汽车当年能全部售完．
(1)求该企业的利润L(x)万元关于年产量x(单位：百辆)的函数解析式(利润＝销售额－成本)；
(2)产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
解 (1)当0当x≥40时，L(x)＝5×100x－501x－eq \f(10000,x)＋4500－2500＝2000－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(10000,x))).
所以L(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－10x2＋400x－2500，0(2)当0所以当0当x≥40时，L(x)＝2000－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(10000,x)))≤2000－2eq \r(x·\f(10000,x))＝2000－200＝1800，
当且仅当x＝eq \f(10000,x)，即x＝100时取等号，
所以L(x)max＝L(100)＝1800.
因为1800>1500，所以当x＝100，即2019年年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为1800万元．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn与2an的等差中项为3(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数k，使不等式k(－1)naeq \\al(2,n)(3)设eq \f(bn,an)＝eq \f(nn＋2,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n(n∈N*)，若集合M＝{n|bn≥λ，n∈N*}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．
解 (1)由4Sn与2an的等差中项为3，得4Sn＋2an＝6，①
当n≥2时，4Sn－1＋2an－1＝6，②
①－②得an＝eq \f(1,3)an－1.
又因为在①式中，令n＝1，得a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，eq \f(1,3)为公比的等比数列，
所以数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,3n－1)(n∈N*)．
(2)原问题等价于k(－1)neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2(n－1)当n为奇数时，对任意正整数为k，不等式恒成立；
当n为偶数时，原不等式等价于2keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2(n－1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n－1－3<0恒成立，
令eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n－1＝t,0因为f(t)＝2kt2＋t－3在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))上单调递增，
故f(t)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(2,9)k－eq \f(8,3)<0，即k<12.综上，正整数k的最大值为11.
(3)由eq \f(bn,an)＝eq \f(nn＋2,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n(n∈N*)及an＝eq \f(1,3n－1)，得bn＝eq \f(nn＋2,2n)，bn＋1－bn＝eq \f(－n2＋3,2n＋1)，
当n＝1时，b2>b1；当n≥2时，bn＋1且b1＝eq \f(3,2)，b2＝2，b3＝eq \f(15,8)，b4＝eq \f(3,2)，b5＝eq \f(35,32).
由集合M＝{n|bn≥λ，n∈N*}恰有4个元素，得eq \f(35,32)<λ≤eq \f(3,2)，
即实数λ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(35,32)，\f(3,2))).