高考数学(理数)一轮复习单元检测05《平面向量与复数》提升卷（教师版）

这是一份高考数学(理数)一轮复习单元检测05《平面向量与复数》提升卷（教师版），共7页。试卷主要包含了已知a＝，b＝，O为坐标原点等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间100分钟，满分130分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若复数z满足iz＝3＋4i，则|z|等于( )
A．1B．2C.eq \r(5)D．5
答案 D
解析 因为z＝eq \f(3＋4i,i)＝－(3＋4i)i＝4－3i，所以|z|＝eq \r(42＋－32)＝5.
2．若z1＝(1＋i)2，z2＝1－i，则eq \f(z1,z2)等于( )
A．1＋iB．－1＋iC．1－iD．－1－i
答案 B
解析 ∵z1＝(1＋i)2＝2i，z2＝1－i，∴eq \f(z1,z2)＝eq \f(2i,1－i)＝eq \f(2i1＋i,1－i1＋i)＝eq \f(－2＋2i,2)＝－1＋i.
3．设平面向量m＝(－1,2)，n＝(2，b)，若m∥n，则|m＋n|等于( )
A.eq \r(5)B.eq \r(10)C.eq \r(2)D．3eq \r(5)
答案 A
解析 由m∥n，m＝(－1,2)，n＝(2，b)，得b＝－4，
故n＝(2，－4)，所以m＋n＝(1，－2)，故|m＋n|＝eq \r(5)，故选A.
4.如图所示，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，点A，B，C在一条直线上，且eq \(AC,\s\up6(→))＝－4eq \(CB,\s\up6(→))，则( )
A．c＝eq \f(1,2)a＋eq \f(3,2)bB．c＝eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b
C．c＝－a＋2bD．c＝－eq \f(1,3)a＋eq \f(4,3)b
答案 D
解析 c＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(4,3)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)b－eq \f(1,3)a.故选D.
5．设向量a＝(x,1)，b＝(1，－eq \r(3))，且a⊥b，则向量a－eq \r(3)b与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6)B.eq \f(π,3)C.eq \f(2π,3)D.eq \f(5π,6)
答案 D
解析 因为a⊥b，所以x－eq \r(3)＝0，解得x＝eq \r(3)，所以a＝(eq \r(3)，1)，a－eq \r(3)b＝(0,4)，则cs〈a－eq \r(3)b，b〉＝eq \f(a－\r(3)b·b,|a－\r(3)b|·|b|)＝eq \f(－4\r(3),4×2)＝－eq \f(\r(3),2)，所以向量a－eq \r(3)b与b的夹角为eq \f(5π,6)，故选D.
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若eq \(OB,\s\up6(→))＝a1eq \(OA,\s\up6(→))＋a2019eq \(OC,\s\up6(→))，且A，B，C三点共线(O为该直线外一点)，则S2019等于( )
A．2019B．2020C.eq \f(2019,2)D．1010
答案 C
解析 A，B，C三点共线，且eq \(OB,\s\up6(→))＝a1eq \(OA,\s\up6(→))＋a2019eq \(OC,\s\up6(→))，则a1＋a2019＝1，
所以S2019＝eq \f(2019,2)(a1＋a2019)＝eq \f(2019,2)，故选C.
7．设a，b是非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由a·b＝|a||b|，得cs〈a，b〉＝1，所以a∥b；反之，a∥b不能推得
cs〈a，b〉＝1，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件，故选B.
8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cs∠BAC＝eq \f(1,3)，eq \(DC,\s\up6(→))＝2eq \(BD,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的值为( )
A．2B．－2C．3D．－3
答案 B
解析 eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(CB,\s\up6(→))))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))－\(AC,\s\up6(→))))·eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝－eq \f(2,3)|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝－6＋1＋3＝－2，故选B.
9．已知a＝(2，csx)，b＝(sinx，－1)，当x＝θ时，函数f(x)＝a·b取得最大值，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(7\r(2),10)B.eq \f(\r(2),10)C．－eq \f(\r(2),10)D．－eq \f(7\r(2),10)
答案 D
解析 f(x)＝a·b＝2sinx－csx＝eq \r(5)sin(x－φ)，其中sinφ＝eq \f(1,\r(5))，csφ＝eq \f(2,\r(5))，
θ－φ＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得θ＝2kπ＋eq \f(π,2)＋φ，k∈Z，所以sinθ＝csφ＝eq \f(2,\r(5))，
csθ＝－sinφ＝－eq \f(1,\r(5))，所以sin2θ＝2sinθcsθ＝－eq \f(4,5)，cs2θ＝1－2sin2θ＝－eq \f(3,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)(sin2θ＋cs2θ)＝－eq \f(7\r(2),10)，故选D.
10.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝2，eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝－1，则eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))等于( )
A．5B．6
C．7D．8
答案 C
解析 eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))2－eq \(BD,\s\up6(→))2＝4eq \(FD,\s\up6(→))2－eq \(BD,\s\up6(→))2＝2，eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(FD,\s\up6(→))2－eq \(BD,\s\up6(→))2＝－1，所以eq \(FD,\s\up6(→))2＝1，eq \(BD,\s\up6(→))2＝2，
因此eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \(BD,\s\up6(→))2＝9eq \(FD,\s\up6(→))2－eq \(BD,\s\up6(→))2＝7，故选C.
11.定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．6B．－8或8
C．－8D．8
答案 D
解析 csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－6,10)＝－eq \f(3,5)，且θ∈[0，π]，
则sinθ＝eq \f(4,5)，则|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝10×eq \f(4,5)＝8，故选D.
12．在△ABC中，eq \(CM,\s\up6(→))＝2eq \(MB,\s\up6(→))，过点M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点P，Q，若eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AQ,\s\up6(→))＝neq \(AC,\s\up6(→))，则mn＋m的最小值为( )
A．6eq \r(3) B．2eq \r(3) C．6 D．2
答案 D
解析 由已知易得，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3m)eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \f(1,3n)eq \(AQ,\s\up6(→)).
又M，P，Q三点共线，∴eq \f(2,3m)＋eq \f(1,3n)＝1，∴m＝eq \f(2n,3n－1)，易知3n－1>0.
mn＋m＝m(n＋1)＝eq \f(2n,3n－1)·(n＋1)＝eq \f(2,9)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3n－1＋\f(4,3n－1)＋5))≥2，
当且仅当m＝n＝1时取等号．
∴mn＋m的最小值为2.
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是________．
答案 －1
解析 因为复数(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，
所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2－1,2a)．
又因为该点在y轴负半轴上，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－1＝0，,2a<0，))解得a＝－1.
14．已知若对任意一个单位向量e，满足(a＋b)·e≤2成立，则a·b的最大值是______．
答案 1
解析 (a＋b)·e＝|a＋b|·|e|cs〈a＋b，e〉≤|a＋b|≤2，
当且仅当a＋b，e同向共线时取等号，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2≤4，a·b＝x1x2＋y1y2≤eq \f(x1＋x22,4)＋eq \f(y1＋y22,4)≤eq \f(1,4)×4＝1，当且仅当x1＝x2，y1＝y2时取等号，故a·b的最大值是1.
15．欧拉在1748年给出了著名公式eiθ＝csθ＋isinθ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e＝2.71828…，根据欧拉公式eiθ＝csθ＋isinθ，任何一个复数z＝r(csθ＋isinθ)，都可以表示成z＝reiθ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z1＝，z2＝，则复数z＝eq \f(z1,z2)在复平面内对应的点在第________象限．
答案 四
解析 因为z1＝＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))＝1＋eq \r(3)i，z2＝＝cseq \f(π,2)＋isineq \f(π,2)＝i，
所以z＝eq \f(z1,z2)＝eq \f(1＋\r(3)i,i)＝eq \f(1＋\r(3)i－i,i－i)＝eq \r(3)－i.
复数z在复平面内对应的点为Z(eq \r(3)，－1)，点Z在第四象限．
16．已知点O为△ABC内一点，且满足eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋4eq \(OC,\s\up6(→))＝0.设△OBC与△ABC的面积分别为S1，S2，则eq \f(S1,S2)＝______.
答案 eq \f(1,6)
解析 设E为AB的中点，连接OE，延长OC到D，使OD＝4OC，因为点O为△ABC内一点，且满足eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋4eq \(OC,\s\up6(→))＝0，所以eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝0，则点O是△ABD的重心，则E，O，C，D共线，OD∶OE＝2∶1，所以OC∶OE＝1∶2，则CE∶OE＝3∶2，则S1＝eq \f(1,3)S△BCE＝eq \f(1,6)S△ABC，所以eq \f(S1,S2)＝eq \f(1,6).
三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)在平面内一点D满足eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→))，若△ACD为直角三角形，且A为直角，试求实数t的值．
解 (1)由题意得eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,5)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,1)，故eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,6)，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝(4,4)，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(10)，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，
故所求对角线的长分别为2eq \r(10)，4eq \r(2).
(2)由题设知eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t,5＋t)，
故D(3＋2t,5＋t)，则eq \(AD,\s\up6(→))＝(2t＋4，t＋7)．
由△ACD为直角三角形，且A＝eq \f(π,2)，
得eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，即(2t＋4，t＋7)·(－1,1)＝0，解得t＝3.
所以满足题意的实数t的值为3.
18．已知a＝(3，－2)，b＝(2,1)，O为坐标原点．
(1)若ma＋b与a－2b的夹角为钝角，求实数m的取值范围；
(2)设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，求△OAB的面积．
解 (1)∵a＝(3，－2)，b＝(2,1)，
∴ma＋b＝(3m＋2，－2m＋1)，a－2b＝(－1，－4)，
令(ma＋b)·(a－2b)<0，即－3m－2＋8m－4<0，解得m∵当m＝－eq \f(1,2)时，ma＋b＝－eq \f(1,2)a＋b，
a－2b与ma＋b方向相反，夹角为平角，不合题意．
∴m≠－eq \f(1,2)，
∴若ma＋b与a－2b的夹角为钝角，m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(6,5))).
(2)设∠AOB＝θ，△OAB面积为S，则S＝eq \f(1,2)|a|·|b|sinθ，
∵sin2θ＝1－cs2θ＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a·b,|a|·|b|)))2，
∴4S2＝|a|2|b|2·sin2θ＝|a|2|b|2－(a·b)2＝65－16＝49.∴S＝eq \f(7,2).
19．如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→)).
(1)若λ＝eq \f(1,2)，用向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))表示eq \(OP,\s\up6(→))；
(2)若|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝3，且∠AOB＝60°，求eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))取值范围．
解 (1)∵eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(PB,\s\up6(→))，∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))，∴eq \f(3,2)eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，即eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→)).
(2)∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))|·|eq \(OB,\s\up6(→))|·cs60°＝6，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))(λ>0)，
∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λ(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))，(1＋λ)eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,1＋λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(λ,1＋λ)eq \(OB,\s\up6(→)).
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1＋λ) \(OA,\s\up6(→))＋\f(λ,1＋λ) \(OB,\s\up6(→))))·(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,1＋λ)eq \(OA,\s\up6(→))2＋eq \f(λ,1＋λ)eq \(OB,\s\up6(→))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1＋λ)－\f(λ,1＋λ)))eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))
＝eq \f(－16＋9λ＋6－6λ,1＋λ)＝eq \f(3λ－10,1＋λ)＝3－eq \f(13,1＋λ).
∵λ>0，∴3－eq \f(13,1＋λ)∈(－10,3)．
∴eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))的取值范围是(－10,3)．
20．已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)sin \f(x,4)，1))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(x,4)，cs2\f(x,4)))，记f(x)＝m·n.
(1)若f(x)＝1，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的值；
(2)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)csB＝bcsC，求f(2A)的取值范围．
解 (1)f(x)＝m·n＝eq \r(3)sineq \f(x,4)cseq \f(x,4)＋cs2eq \f(x,4)＝eq \f(\r(3),2)sineq \f(x,2)＋eq \f(1,2)cseq \f(x,2)＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2).
由f(x)＝1，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2).
(2)因为(2a－c)csB＝bcsC，
由正弦定理得(2sinA－sinC)csB＝sinBcsC，
所以2sinAcsB－sinCcsB＝sinBcsC，
所以2sinAcsB＝sin(B＋C)．
因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，
所以csB＝eq \f(1,2).
又0又0又因为f(2A)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，故函数f(2A)的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2))).