初中数学第七章 观察、猜想与证明综合与测试随堂练习题

京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明专项测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列命题中是真命题的是（    ）

A．对顶角相等 B．两点之间，直线最短

C．同位角相等 D．同旁内角互补

2、下列语句中叙述正确的有（     ）

①画直线cm；

②连接点A与点B的线段，叫做A、B两点之间的距离；

③等角的余角相等； 

④射线AB与射线BA是同一条射线．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

3、如图，直线l1l2，直线l3与l1、l2分别相交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠2＝30°，则∠1的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

4、如图，下列给定的条件中，不能判定的是（　　）

A． B． C． D．

5、如图，O是直线AB上一点，OE平分∠AOB，∠COD=90°，则图中互余的角有（　）对．

A．5 B．4 C．3 D．2

6、如图，，交于点，，，则的度数是（    ）

A．34° B．66° C．56° D．46°

7、下列说法中，真命题的个数为（      ）

①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；

③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；

④点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8、若∠A与∠B互为补角，且∠A＝28°，则∠B的度数是（    ）

A．152° B．28° C．52° D．90°

9、直线、、、如图所示．若∠1=∠2，则下列结论错误的是（ ）

A．ABCD B．∠EFB=∠3 C．∠4=∠5 D．∠3=∠5

10、如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（    ）

A．77° B．64° C．26° D．87°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知，那么的余角是_____．

2、已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角是______度．

3、若α＝25°57′，则2α的余角等于_____．

4、如图，，，，则∠CAD的度数为____________．

5、如图，∠AOB与∠BOC互补，OM平分∠BOC，且∠BOM＝35°，则∠AOB＝____ °．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°，

（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；

（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；

（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．

2、如图1，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC＝∠AOB，OD平分∠AOC．

（1）分别求∠AOB的补角和∠AOC的度数；

（2）现有射线OE，使得∠BOE＝30°．

①小明在图2中补全了射线OE，根据小明所补的图，求∠DOE的度数；

②小静说：“我觉得小明所想的情况并不完整，∠DOE还有其他的结果．”请你判断小静说的是否正确？若正确，请求出∠DOE的其他结果；若不正确，请说明理由．

3、如图，已知∠1+∠AFE=180°，∠A=∠2，求证：∠A=∠C+∠AFC

证明：∵ ∠1+∠AFE=180°

∴ CD∥EF（               ，            ）

∵∠A=∠2   ∴（             ）

（                 ，              ）

∴ AB∥CD∥EF（              ，            ）

∴ ∠A=             ，∠C=          ，

（                  ，             ）

∵ ∠AFE =∠EFC+∠AFC ，∴              =           ．

4、完成下列证明：已知，，垂足分别为、，且，求证．

证明：，（已知），

（        ）

（        ）

（        ）

又（已知）

（        ）

（        ）

5、完成下面的证明．

如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：∠BAC+∠AGD＝180°．

证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），

∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（      ），

∴∠EFB＝∠ADB（等量代换），

∴EFAD（      ），

∴∠1＝∠BAD（      ），

又∵∠1＝∠2（已知），

∴∠2＝∠   （等量代换），

∴DGBA（内错角相等，两直线平行），

∴∠BAC+∠AGD＝180°（      ）．

---------参考答案-----------

一、单选题

1、A

【分析】

根据对顶角相等，两点之间，线段最短，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补进行判断求解即可．

【详解】

解：A、对顶角相等，是真命题，符合题意；

B、两点之间，直线最短，是假命题，应该是两点之间，线段最短，不符合题意；

C、同位角相等，是假命题，应该是两直线平行，同位角相等，不符合题意；

D、同旁内角互补，是假命题，应该是两直线平行，同旁内角互补，不符合题意；

故选A．

【点睛】

本题主要考查了判断命题真假，解题的关键在于能够熟知相关定义和定理．

2、B

【分析】

根据直线的性质判断①，根据两点间距离的定义判断②，根据余角的性质判断③，根据射线的表示方法判断④．

【详解】

解：因为直线是向两端无限延伸的，所以①不正确；

因为连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离，所以②不正确；

③正确；

因为射线AB和射线BA的端点不同，延伸方向也不同，所以④不正确．

故选：B．

【点睛】

本题考查直线的性质，两点间的距离的定义（连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离），余角的性质，射线的表示方法，熟练掌握这些知识点是解题关键．

3、D

【分析】

根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．

【详解】

解：∵BC⊥l3交l1于点B，

∴∠ACB＝90°，

∵∠2＝30°，

∴∠CAB＝180°−90°−30°＝60°，

∵l1l2，

∴∠1＝∠CAB＝60°．

故选：D．

【点睛】

此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．

4、A

【分析】

根据平行线的判定条件：同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等，两直线平行，进行逐一判断即可．

【详解】

解：A选项：当∠1=∠A时，可知是DE和AC被AB所截得到的同位角，可得到DE∥AC，而不是AB∥DF，故符合题意；

B选项：当∠A=∠3时，可知是AB、DF被AC所截得到的同位角，可得AB∥DF，故不符合题意；

C选项：当∠1=∠4时，可知是AB、DF被DE所截得到的内错角，可得AB∥DF，故不符合题意；

D选项：当∠2+∠A=180°时，是一对同旁内角，可得AB∥DF；故不符合题意；

故选A．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．

5、B

【分析】

根据余角的定义找出互余的角即可得解．

【详解】

解：∵OE平分∠AOB，

∴∠AOE=∠BOE=90°，

∴互余的角有∠AOC和∠COE，∠AOC和∠BOD，∠COE和∠DOE，∠DOE和∠BOD共4对，

故选：B．

【点睛】

本题考查了余角的定义，从图中确定余角时要注意按照一定的顺序，防止遗漏．

6、C

【分析】

由余角的定义得出的度数，由两直线平行内错角相等即可得出结论．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴，

故选：C

【点睛】

本题考查了平行线的性质和余角，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

7、B

【分析】

根据平行线的性质与判定，点到直线的距离的定义逐项分析判断即可

【详解】

①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故①是真命题；

②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故②是真命题；

③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故③不是真命题，

④点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度，故④不是真命题，

故真命题是①②，

故选B

【点睛】

本题考查了判断真假命题，平行线的性质与判定，点到直线的距离的定义，掌握相关性质定理是解题的关键．

8、A

【分析】

根据两个角互为补角，它们的和为180°，即可解答．

【详解】

解：∵∠A与∠B互为补角，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠A＝28°，

∴∠B＝152°．

故选：A

【点睛】

本题考查了补角，解决本题的关键是熟记补角的定义．

9、D

【分析】

根据平行线的判定与性质、对顶角相等逐项判断即可．

【详解】

解：∵∠1=∠2，

∴AB∥CD，故A正确，不符合题意；

∴∠4=∠5，故C正确，不符合题意；

∵∠EFB与∠3是对顶角，

∴∠EFB=∠3，故B正确，

无法判断∠3=∠5，故D错误，符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题考查平行线的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．

10、A

【分析】

本题首先根据∠BGD′＝26°，可以得出∠AEG=∠BGD′＝26°,由折叠可知∠α=∠FED，由此即可求出∠α=77°．

【详解】

解：由图可知： AD∥BC

∴∠AEG=∠BGD′＝26°,

即：∠GED=154°，

由折叠可知: ∠α=∠FED，

∴∠α==77°

故选：A．

【点睛】

本题主要考察的是根据平行得性质进行角度的转化．

二、填空题

1、

【分析】

直接利用互余两角的关系，结合度分秒的换算得出答案．

【详解】

∵，
∴的余角为：．
故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了余角的定义和分秒的转换，正确把握相关定义是解题关键．

2、

【分析】

设这个角为 则这个角的补角为： 这个角的余角为： 根据等量关系一个角的补角是这个角的余角的3倍，列方程，解方程可得．

【详解】

解：设这个角为 则这个角的补角为： 这个角的余角为：

，

，

，

，

答：这个角为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是余角与补角的含义，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．

3、38°6′

【分析】

根据余角的和等于90°列式计算即可求解．

【详解】

解：∵α＝25°57′，

∴2α＝51°54′，

∴2α的余角＝90°﹣51°54′＝38°6′．

故答案为：38°6′．

【点睛】

此题主要考查角度的计算，解题的关键是熟知余角的性质．

4、

【分析】

根据两直线平行内错角相等可得，，再根据角之间的关系即可求出的度数．

【详解】

解：∵∥，，

∴，

∴

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了平行线的相关知识，熟练运用两直线平行内错角相等是解答此题的关键．

5、110

【分析】

根据补角定义可得∠AOB+∠BOC=180°，再根据角平分线定义可得∠BOC的度数，然后可得∠AOB的度数．

【详解】

解：∵∠AOB与∠BOC互补，

∴∠AOB+∠BOC=180°，

∵OM平分∠BOC，

∴∠BOC=2∠BOM=70°，

∴∠AOB=110°，

故答案为：110．

【点睛】

此题主要考查了补角和角平分线，关键是掌握两个角和为180°，这两个角称为互为补角．

三、解答题

1、（1）平行，理由见解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析；（3）∠BAC=∠PQC+∠QPC，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC可得∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180，根据平行线的判定定理即可得出结论；

（2）如图，过E作EF∥AB，由AB//CD可得EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，可得∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出结论；

（3）如图，过点C作CM//PQ，可得∠PQC=∠MCN，∠QPC=∠PCM，根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，根据∠PCQ+∠PCM+∠MCN=180°，可得∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，即可得出∠BAC=∠PQC+∠QPC．

【详解】

（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，

∵∠EAC+∠ACE=90°，

∴∠BAC+∠ACD=180°，

∴AB∥CD

（2）∠BAE+∠MCD=90°；理由如下：

如图，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，

∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°，

∴∠BAE+∠ECD=90°，

∵∠MCE=∠ECD=∠MCD，

∴∠BAE+∠MCD=90°．

（3）如图，过点C作CM//PQ，

∴∠PQC=∠MCN，∠QPC=∠PCM，

∵AB∥CD，

∴∠BAC+∠ACD=180°，

∵∠PCQ+∠PCM+∠MCN=180°，

∴∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，

∴∠BAC=∠PQC+∠QPC．

【点睛】

本题考查平行线的判定与性质及角平分线的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．

2、（1）80°；（2）①110°；②正确， 50°

【解析】

【分析】

（1）根据补角定义求解即可和已知条件直接求解即可；

（2）①根据角平分线的定义求得∠AOD，进而求得∠BOD，根据∠DOE=∠BOD+∠BOE即可求得∠DOE；②根据题意作出图形，进而结合图形可知∠DOE=∠BOD-∠BOE即可求得∠DOE；

【详解】

解：（1）因为∠AOB=120°，

所以∠AOB的补角为180°-∠AOB=60°.

因为∠AOC=∠AOB，

所以∠AOC=×120°=80°；

（2）①因为OD平分∠AOC，∠AOC=80°，

所以∠AOD=∠AOC=40°，

所以∠BOD=∠AOB-∠AOD=80°，

所以∠DOE=∠BOD+∠BOE=110°；

②正确；如图，

射线OE还可能在∠BOC的内部，

所以∠DOE=∠BOD-∠BOE=

【点睛】

本题考查了求一个角的补角，角平分线的定义，角度的计算，数形结合是解题的关键．

3、同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠A，∠C+∠AFC ．

【解析】

【分析】

根据同旁内角互补，两直线平行可得 CD∥EF，根据∠A=∠2利用同位角相等，两直线平行，AB∥CD，根据平行同一直线的两条直线平行可得AB∥CD∥EF根据平行线的性质可得∠A=∠AFE   ，∠C=∠EFC，根据角的和可得 ∠AFE =∠EFC+∠AFC 即可．

【详解】

证明：∵ ∠1+∠AFE=180°

∴ CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），

∵∠A=∠2 ，

∴（ AB∥CD   ） （同位角相等，两直线平行），

∴ AB∥CD∥EF（两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行）

∴ ∠A=  ∠AFE  ，∠C=  ∠EFC，（两直线平行，内错角相等）

∵ ∠AFE =∠EFC+∠AFC ，

∴   ∠A   =   ∠C+∠AFC ．

故答案为同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠A，∠C+∠AFC ．

【点睛】

本题考查平行线的性质与判定，角的和差，掌握平行线的性质与判定是解题关键．

4、见详解

【解析】

【分析】

根据垂直的定义及平行线的性质与判定可直接进行求解．

【详解】

证明：，（已知），

（垂直的定义）

（同位角相等，两直线平行）

（两直线平行，同位角相等）

又（已知）

（等量代换）

（内错角相等，两直线平行）．

【点睛】

本题主要考查垂直的定义及平行线的性质与判定，熟练掌握垂直的定义及平行线的性质与判定是解题的关键．

5、垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BAD；两直线平行，同旁内角互补

【解析】

【分析】

先由垂直的定义得出两个90°的同位角，根据同位角相等判定两直线平行，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据等量代换得出，根据内错角相等，两直线平行，最后根据两直线平行，同旁内角互补即可判定．

【详解】

解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），

∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（垂直的定义），

∴∠EFB＝∠ADB（等量代换），

∴EFAD（同位角相等，两直线平行），

∴∠1＝∠BAD（两直线平行，同位角相等），

又∵∠1＝∠2（已知），

∴∠2＝∠BAD（等量代换），

∴DGBA（内错角相等，两直线平行），

∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BAD；两直线平行，同旁内角互补

【点睛】

本题考查的是平行线的性质及判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是关键．