北京课改版七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试课后练习题
展开京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明定向测试
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,一辆快艇从P处出发向正北航行到A处时向左转50°航行到B处,再向右转80°继续航行,此时航行方向为( )
A.西偏北50° B.北偏西50° C.东偏北30° D.北偏东30°
2、下列说法:
①和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角;
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
③同位角相等;
④经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,
其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3、下列语句中叙述正确的有( )
①画直线cm;
②连接点A与点B的线段,叫做A、B两点之间的距离;
③等角的余角相等;
④射线AB与射线BA是同一条射线.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4、下列图形中,∠1与∠2不是对顶角的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
5、如图,已知AO⊥OC,OB⊥OD,∠COD=38°,则∠AOB的度数是( )
A.30º B.145º C.150º D.142º
6、∠A的余角是30°,这个角的补角是( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
7、如图,直线a,b被直线c所截,下列条件不能判定直线a与b平行的是( )
A.∠1=∠3 B.∠2+∠3=180° C.∠1=∠4 D.∠1+∠4=180°
8、下列有关“线段与角”的知识中,不正确的是( )
A.两点之间线段最短 B.一个锐角的余角比这个角的补角小
C.互余的两个角都是锐角 D.若线段,则是线段的中点
9、如图,∠1=35°,∠AOC=90°,点B,O,D在同一条直线上,则∠2的度数为 ( )
A.125° B.115° C.105° D.95°
10、如图,一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向,如果第一次的拐角为140°,则第二次的拐角为( )
A.40° B.50° C.140° D.150°
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、 “在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行.”这个命题是 ___命题.(填“真”或“假”)
2、若与互余,且,则______.
3、若一个角的补角与这个角的余角之和为190°,则这个角的度数为_____度.
4、如图,,.则图中与互补的角是______.
5、图中∠AOB的余角大小是 _____°(精确到1°).
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、已知,在下列各图中,点O为直线AB上一点,∠AOC=60°,直角三角板的直角顶点放在点O处.
(1)如图1,三角板一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方,则∠BOC的度数为 °,∠CON的度数为 °;
(2)如图2,三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上,另一边ON在直线AB的下方,此时∠BON的度数为 °;
(3)在图2中,延长线段NO得到射线OD,如图3,则∠AOD的度数为 °;∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC ∠BON(填“>”、“=”或“<”);
(4)如图4,MN⊥AB,ON在∠AOC的内部,若另一边OM在直线AB的下方,则∠COM+∠AON的度数为 °;∠AOM﹣∠CON的度数为 °
2、已知AB∥CD,点是AB,CD之间的一点.
(1)如图1,试探索∠AEC,∠BAE,∠DCE之间的数量关系;
以下是小明同学的探索过程,请你结合图形仔细阅读,并完成填空(理由或数学式):
解:过点E作PE∥AB(过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行).
∵AB∥CD(已知),
∴PE∥CD( ),
∴∠BAE=∠1,∠DCE=∠2( ),
∴∠BAE+∠DCE= + (等式的性质).
即∠AEC,∠BAE,∠DCE之间的数量关系是 .
(2)如图2,点F是AB,CD之间的一点,AF平分∠BAE,CF平分∠DCE.
①若∠AEC=74°,求∠AFC的大小;
②若CG⊥AF,垂足为点G,CE平分∠DCG,∠AEC+∠AFC=126°,求∠BAE的大小.
3、如图所示,已知∠AOD=∠BOC,请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角.
4、如图①.点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图①中的三角板绕点O逆时针方向旋转至图②,使一边OM在∠BOC的内部,恰好平分∠BOC,问:直线ON是否平分∠AOC?请说明理由:
(2)将图中的三角板绕点O逆时针方向旋转x°,旋转一周为止,在旋转的过程中,直线ON恰好平分∠AOC,则x的值为______.
(3)将图①中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图③的位置,使ON在∠AOC的内部,则∠AOM与∠NOC之间的数量关系为______.
5、已知:如图①,AB∥CD,点F在直线AB、CD之间,点E在直线AB上,点G在直线CD上,∠EFG=90°.
(1)如图①,若∠BEF=130°,则∠FGC= 度;
(2)小明同学发现:如图②,无论∠BEF度数如何变化,∠FEB﹣∠FGC的值始终为定值,并给出了一种证明该发现的辅助线作法:过点E作EM∥FG,交CD于点M.请你根据小明同学提供的辅助线方法,补全下面的证明过程;
(3)拓展应用:如图③,如果把题干中的“∠EFG=90°”条件改为“∠EFG=110°”,其它条件不变,则∠FEB﹣∠FGC= 度.
解:如图②,过点E作EM∥FG,交CD于点M.
∵AB∥CD(已知)
∴∠BEM=∠EMC( )
又∵EM∥FG
∴∠FGC=∠EMC( )
∠EFG+∠FEM=180°( )
即∠FGC=( )(等量代换)
∴∠FEB﹣∠FGC=∠FEB﹣∠BEM=( )
又∵∠EFG=90°
∴∠FEM=90°
∴∠FEB﹣∠FGC=
即:无论∠BEF度数如何变化,∠FEB﹣∠FGC的值始终为定值.
---------参考答案-----------
一、单选题
1、D
【分析】
由,证明,再利用角的和差求解 从而可得答案.
【详解】
解:如图,标注字母, ,
∴,
此时的航行方向为北偏东30°,
故选:D.
【点睛】
本题考查的是平行线的性质,角的和差运算,掌握“两直线平行,同位角相等”是解本题的关键.
2、B
【分析】
根据举反例可判断①,根据垂线的定义可判断②,根据举反例可判断③,根据平行线的基本事实可判断④.
【详解】
解:①如图∠AOC=∠2=150°,∠BOC=∠1=30°,满足∠1+∠2=180°,射线OC是两角的共用边,但∠1与∠2不是邻补角,故①不正确;
②在同一个面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故②不正确;
③如图直线a、b被直线c所截,∠1与∠2是同位角,但∠1>∠2,故③不正确;
④经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,是基本事实,故④正确;
其中正确的有④一共1个.
故选择B.
【点睛】
本题考查基本概念的理解,掌握基本概念是解题关键.
3、B
【分析】
根据直线的性质判断①,根据两点间距离的定义判断②,根据余角的性质判断③,根据射线的表示方法判断④.
【详解】
解:因为直线是向两端无限延伸的,所以①不正确;
因为连接两点间的线段的长度,叫做这两点间的距离,所以②不正确;
③正确;
因为射线AB和射线BA的端点不同,延伸方向也不同,所以④不正确.
故选:B.
【点睛】
本题考查直线的性质,两点间的距离的定义(连接两点间的线段的长度,叫做这两点间的距离),余角的性质,射线的表示方法,熟练掌握这些知识点是解题关键.
4、C
【分析】
根据对顶角的定义:有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角,逐一判断即可.
【详解】
解:①中∠1和∠2的两边不互为反向延长线,故①符合题意;
②中∠1和∠2是对顶角,故②不符合题意;
③中∠1和∠2的两边不互为反向延长线,故③符合题意;
④中∠1和∠2没有公共点,故④符合题意.
∴∠1 和∠2 不是对顶角的有3个,
故选C.
【点睛】
此题考查的是对顶角的识别,掌握对顶角的定义是解决此题的关键.
5、D
【分析】
根据垂直的定义得到∠AOC=∠DOB=90°,由互余关系得到∠BOC=52°,然后计算∠AOC+∠BOC即可.
【详解】
解:∵AO⊥OC,OB⊥OD,
∴∠AOC=∠DOB=90°,
而∠COD=38°,
∴∠BOC=90°-∠COD=90°-38°=52°,
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°+52°=142°.
故选:D.
【点睛】
本题考查了余角的概念:若两个,角的和为90°,那么这两个角互余.
6、C
【分析】
根据一个角的补角比这个角的余角大列式计算即可得解.
【详解】
解:一个角的余角是,
这个角的补角是.
故选:C.
【点睛】
本题考查了余角和补角,解题的关键是熟记概念并理清余角和补角的关系.
7、D
【分析】
同位角相等,两直线平行,同旁内角互补,两直线平行,根据平行线的判定方法逐一分析即可.
【详解】
解:(同位角相等,两直线平行),故A不符合题意;
∠2+∠3=180°,(同旁内角互补,两直线平行)故B不符合题意;
(同位角相等,两直线平行)故C不符合题意;
∠1+∠4=180°,不是同旁内角,也不能利用等量代换转换成同旁内角,
所以不能判定 故D符合题意;
故选D
【点睛】
本题考查的是平行线的判定,对顶角相等,掌握“平行线的判定方法”是解本题的关键.
8、D
【分析】
根据线段的性质及余角补角的定义解答.
【详解】
解:两点之间线段最短,故A选项不符合题意;
一个锐角的余角比这个角的补角小,故B选项不符合题意;
互余的两个角都是锐角,故C选项不符合题意;
若线段,则不一定是线段的中点,故D选项符合题意;
故选:D.
【点睛】
此题考查线段的性质,余角与补角的定义,熟记定义及线段的性质是解题的关键.
9、A
【分析】
利用互余角的概念与邻补角的概念解答即可.
【详解】
解:∵∠1=35°,∠AOC=90°,
∴∠BOC=∠AOC−∠1=55°.
∵点B,O,D在同一条直线上,
∴∠2=180°−∠BOC=125°.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了角的和差运算,互余角的关系以及邻补角的关系.准确使用邻补角的关系是解题的关键.
10、C
【分析】
由于拐弯前、后的两条路平行,用平行线的性质求解即可.
【详解】
解:∵拐弯前、后的两条路平行,
∴(两直线平行,内错角相等).
故选:C.
【点睛】
本题考查平行线的性质,解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题,利用平行线的性质求解.
二、填空题
1、真
【分析】
根据平行线的判定即可得.
【详解】
解:“在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行.”这个命题是真命题.
故答案为:真.
【点睛】
本题考查了平行线的判定、命题,熟练掌握平行线的判定是解题关键.
2、69°
【分析】
由题意可设∠α=2x,∠β=3x,根据与互余可得关于x的方程,解方程即可求出x,然后代值计算即可;
【详解】
解:因为,
所以设∠α=2x,∠β=3x,
因为与互余,
所以2x+3x=90°,解得x=18°,
所以∠α=36°,∠β=54°,
所以;
故答案为69°.
【点睛】
本题考查了互余的概念和简单的一元一次方程的应用,属于基本题目,熟练掌握基本知识,掌握求解的方法是关键.
3、40
【分析】
首先设这个角为x°,则它的补角为(180-x)°,它的余角为(90-x)°,由题意得:这个角的补角的度数+它的余角的度数=190,根据等量关系列出方程,再解即可.
【详解】
解:设这个角为x°,则它的补角为(180-x)°,它的余角为(90-x)°,由题意得:
(180-x)+(90-x)=190,
解得:x=40,
故答案为: 40.
【点睛】
本题考查余角和补角,关键是掌握如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角.即其中一个角是另一个角的余角.补角:如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角.即其中一个角是另一个角的补角.
4、
【分析】
利用互补的定义得出与互补的角.
【详解】
解:∵,,
∴,,
∴,
即
∴与互补的角是:
故答案为:
【点睛】
本题考查了补角的概念和垂直的定义,如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角,简称“互补”,即其中一个角是另一个角的补角.
5、63
【分析】
根据余角的定义:如果两个角的度数和为90度,那么这两个角互为余角,进行求解即可.
【详解】
解:由量角器上的度数可知,∠AOB=27°,
∴∠AOB的余角的度数=90°-∠AOB=63°,
故答案为:63.
【点睛】
本题主要考查了量角器测量角的度数和求一个角的余角,熟知余角的定义是解题的关键.
三、解答题
1、(1)120;150;(2)30°;(3)30,=;(4)150;30.
【解析】
【分析】
(1)根据∠AOC=60°,利用两角互补可得∠BOC=180°﹣60°=120°,根据∠AON=90°,利用两角和∠CON=∠AOC+∠AON即可得出结论;
(2)根据OM平分∠BOC,可得出∠BOM=60°,由∠BOM+∠BON=∠MON=90°可求得∠BON的度数;
(3)根据对顶角求出∠AOD=30°,根据∠AOC=60°,可得∠DOC=∠AOC﹣∠AOD=60°﹣30°=30°=∠BON.
(4)根据垂直可得∠AON与∠MNO互余,根据∠MNO=60°(三角板里面的60°角),可求∠AON=90°﹣60°=30°,根据∠AOC=60°,求出∠CON=∠AOC﹣∠AON=60°﹣30°=30°即可.
【详解】
解:(1)∵∠AOC=60°,∠BOC与∠AOC互补,∠AON=90°,
∴∠BOC=180°﹣60°=120°,∠CON=∠AOC+∠AON=60°+90°=150°.
故答案为120;150;
(2)∵三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上,
由(1)得∠BOC=120°,
∴∠BOM=∠BOC=60°,
又∵∠MON=∠BOM+∠BON=90°,
∴∠BON=90°﹣60°=30°.
故答案为30°;
(3)∵∠AOD=∠BON(对顶角),∠BON=30°,
∴∠AOD=30°,
又∵∠AOC=60°,
∴∠DOC=∠AOC﹣∠AOD=60°﹣30°=30°=∠BON.
故答案为30,=;
(4)∵MN⊥AB,
∴∠AON与∠MNO互余,
∵∠MNO=60°(三角板里面的60°角),
∴∠AON=90°﹣60°=30°,
∵∠AOC=60°,
∴∠CON=∠AOC﹣∠AON=60°﹣30°=30°,
∴∠COM+∠AON=∠MON+2∠CON=90°+2×30°=150°,
∴∠AOM﹣∠CON=∠MON﹣2∠CON=90°﹣2×30°=30°.
故答案为150;30.
【点睛】
本题考查图中角度的计算,角平分线的定义,对顶角性质,互为余角,补角,掌握角度的和差计算,角平分线的定义,对顶角性质,互为余角,补角是解题关键.
2、(1)平行于同一条直线的两条直线平行,两直线平行,内错角相等,∠1,∠2,∠AEC=∠BAE+∠DCE;(2)①37°;②52°
【解析】
【分析】
(1)结合图形利用平行线的性质填空即可;
(2)①过F作FG∥AB,由(1)得:∠AEC=∠BAE+∠DCE,根据AB∥CD,FG∥AB,CD∥FG,得出∠AFC=∠AFG+∠GFC=∠BAF+∠DCF,根据AF平分∠BAE,CF平分∠DCE,可得∠BAF=∠BAE,∠DCF=∠DCE,根据角的和差∠AFC=∠BAF+∠DCF=∠AEC即可;
②由①得:∠AEC=2∠AFC,可求∠AFC=42°,∠AEC=82°,根据CG⊥AF,求出∠GCF=90-∠AFC=48°,根据角平分线计算得出∠GCF=3∠DCF,求出∠DCF=16°即可.
【详解】
解:(1)平行于同一条直线的两条直线平行,
两直线平行,内错角相等,
∠1,∠2,
∠AEC=∠BAE+∠DCE,
故答案为:平行于同一条直线的两条直线平行,两直线平行,内错角相等,∠1,∠2,∠AEC=∠BAE+∠DCE,
(2)①过F作FG∥AB,
由(1)得:∠AEC=∠BAE+∠DCE,
∵AB∥CD,FG∥AB,
∴CD∥FG,
∴∠BAF=∠AFG,∠DCF=∠GFC,
∴∠AFC=∠AFG+∠GFC=∠BAF+∠DCF,
∵AF平分∠BAE,CF平分∠DCE,
∴∠BAF=∠BAE,∠DCF=∠DCE,
∴∠AFC=∠BAF+∠DCF,
=∠BAE+∠DCE,
=(∠BAE+∠DCE),
=∠AEC,
=×74°,
=37°;
②由①得:∠AEC=2∠AFC,
∵∠AEC+∠AFC=126°,
∴2∠AFC+∠AFC=126°
∴3∠AFC=126°,
∴∠AFC=42°,∠AEC=84°,
∵CG⊥AF,
∴∠CGF=90°,
∴∠GCF=90-∠AFC=48°,
∵CE平分∠DCG,
∴∠GCE=∠ECD,
∵CF平分∠DCE,
∴∠DCE=2∠DCF=2∠ECF,
∴∠GCF=3∠DCF,
∴∠DCF=16°,
∴∠DCE=32°,
∴∠BAE=∠AEC﹣∠DCE=52°.
【点睛】
本题考查平行线性质,角平分线有关的计算,垂直定义,角的和差倍分,简单一元一次方程,掌握平行线性质,角平分线有关的计算,垂直定义,角的和差倍分,简单一元一次方程是解题关键.
3、∠BOC的补角有两个∠BOD和∠AOC;∠BOC的邻补角为∠AOC;∠BOC没有对顶角.
【解析】
【分析】
由题意直接根据补角,邻补角及对顶角的定义进行分析即可找出.
【详解】
解:因为∠BOC+∠AOC=180º(平角定义),
所以∠AOC是∠BOC的补角,
∠AOD=∠BOC(已知),
所以∠BOC+∠BOD=180º.
所以∠BOD是∠BOC的补角.
所以∠BOC的补角有两个:∠BOD和∠AOC.
因为∠AOC和∠BOC相邻,
所以∠BOC的邻补角为:∠AOC.
∠BOC没有对顶角.
【点睛】
本题考查补角,邻补角及对顶角的定义,熟练掌握补角,邻补角及对顶角的定义是解题的关键.
4、(1)直线ON平分∠AOC.理由见解析;(2)60或240;(3)∠AOM﹣∠NOC=30°
【解析】
【分析】
(1)由角的平分线的定义和等角的余角相等求解;
(2)由∠BOC=120°可得∠AOC=60°,则∠BON=30°,即旋转60°或240°时ON平分∠AOC,据此求解;
(3)因为∠MON=90°,∠AOC=60°,所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON,然后作差即可.
【详解】
解:(1)直线ON平分∠AOC.理由:
设ON的反向延长线为OD,
∵OM平分∠BOC,
∴∠MOC=∠MOB,
又∵OM⊥ON,
∴∠MOD=∠MON=90°,
∴∠COD=∠BON,
又∵∠AOD=∠BON(对顶角相等),
∴∠COD=∠AOD,
∴OD平分∠AOC,
即直线ON平分∠AOC.
(2)∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°,
∴∠BON=∠DOA=30°,
即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC,
由题意得,即x=60或240,
故答案为60或240;
(3)∵∠MON=90°,∠AOC=60°,
∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON,
∴∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)=30°.
故答案为:∠AOM﹣∠NOC=30°
【点睛】
此题考查了角平分线的定义和角的和差等知识,应该认真审题并仔细观察图形,找到各个量之间的关系,是解题的关键.
5、(1)40°;(2)见解析;(3)70°
【解析】
【分析】
(1)过点F作FN∥AB,由∠FEB=150°,可计算出∠EFN的度数,由∠EFG=90°,可计算出∠NFG的度数,由平行线的性质即可得出答案;
(2)根据题目补充理由和相关结论即可;
(3)类似(2)中的方法求解即可.
【详解】
解:(1)过点F作FN∥AB,
∵FN∥AB,∠FEB=130°,
∴∠EFN+∠FEB=180°,
∴∠EFN=180°﹣∠FEB=180°﹣130°=50°,
∵∠EFG=90°,
∴∠NFG=∠EFG﹣∠EFN=90°﹣50°=40°,
∵AB∥CD,
∴FN∥CD,
∴∠FGC=∠NFG=40°.
故答案为:40°;
(2)如图②,过点E作EM∥FG,交CD于点M.
∵AB∥CD(已知)
∴∠BEM=∠EMC(两直线平行,内错角相等)
又∵EM∥FG
∴∠FGC=∠EMC(两直线平行,同位角相等)
∠EFG+∠FEM=180°(两直线平行,同旁内角互补)
即∠FGC=(∠BEM)(等量代换)
∴∠FEB﹣∠FGC=∠FEB﹣∠BEM=(∠FEM)
又∵∠EFG=90°
∴∠FEM=90°
∴∠FEB﹣∠FGC=90°
故答案为:两直线平行,内错角相等,两直线平行,同位角相等,两直线平行,同旁内角互补,∠BEM,∠FEM,90°
(3)过点E作EH∥FG,交CD于点H.
∵AB∥CD
∴∠BEH=∠EHC
又∵EM∥FG
∴∠FGC=∠EHC
∠EFG+∠FEH=180°
即∠FGC=∠BEH
∴∠FEB﹣∠FGC=∠FEB﹣∠BEH=∠FEH
又∵∠EFG=110°
∴∠FEH=70°
∴∠FEB﹣∠FGC=70°
故答案为:70°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键.
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