北京课改版七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试练习

京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明同步测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、嘉淇在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下推理过程：

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴∠1＝∠5”和“∴b∥c”之间作补充，下列说法正确的是（　　）

A．嘉淇的推理严谨，不需要补充

B．应补充∠2＝∠5

C．应补充∠3+∠5＝180°

D．应补充∠4＝∠5

2、下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

3、∠A的余角是30°，这个角的补角是（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

4、若一个角比它的余角大30°，则这个角等于（    ）

A．30° B．60° C．105° D．120°

5、如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为150°，则第二次的拐角为（　　）

A．40° B．50° C．140° D．150°

6、如所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（    ）

A．  B． 

C． D．

7、如图，将一副三角尺按不同位置摆放，下列选项的摆放方式中∠1与∠2互余的是（　　）

A． B．

C． D．

8、将一副三角板按如图所示位置摆放，已知∠α＝30°14′，则∠β的度数为（　　）

A．75°14′ B．59°86′ C．59°46′ D．14°46′

9、若的余角为，则的补角为（    ）

A． B． C． D．

10、如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOC＝125°，则∠BOD等于（　　）

A．55° B．125° C．115° D．65°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如果∠α是直角的，则∠α的补角是______度．

2、如图，AB是一条直线，如果∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，则∠3＝_________度．

3、判断正误：

（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角（    ）

（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（    ）

（3）有一条公共边的两个角是邻补角（    ）

（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补（    ）

（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角（    ）

4、已知：如图，直线AB、CD被直线GH所截，，求证： ABCD．完成下面的证明：

证明：∵AB被直线GH所截，

∴_____

∵

∴______

∴______________（________）（填推理的依据）．

5、如图，直线AB和CD交于O点，OD平分∠BOF，OE ⊥CD于点O，∠AOC=40，则∠EOF=_______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、完成下列证明：已知，，垂足分别为、，且，求证．

证明：，（已知），

（        ）

（        ）

（        ）

又（已知）

（        ）

（        ）

2、如图①，已知∠AOD为直角，OB平分∠AOC，OD平分∠COE．

（1）将∠AOC，∠AOE，∠AOB，∠AOD按从小到大的顺序用“＜”号连接．

（2）与∠BOC相等的角为_____________，与∠BOC互余的角为______________．

（3）若∠DOE=24°，求∠AOC和∠AOB的度数．

（4）反向延长射线OA到F，如图②，∠EOF与∠AOC是否相等？____________（直接填“相等”或“不相等”或“不一定相等”）．

3、已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．

【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A＋∠D．（完成图中的填空部分）．

证明：过点G作直线MN∥AB，

又∵AB∥CD，

∴MN∥CD（ 　     　）

∵MN∥AB，

∴∠A＝（ 　     　）（ 　     　）

∵MN∥CD，

∴∠D＝ 　   　（ 　     　）

∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．

【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，直接写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系．

【应用拓展】如图3，AH平分∠GAB，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数．

4、如图，，OB是的角平分线．

（1）当时，求的度数．

（2）的余角是多少度？

5、如图，已知点，，三点共线，．作，平分．

（1）当时，

①补全图形；

②求的度数；

（2）请用等式表示与之间的数量关系，并呈现你的运算过程．

---------参考答案-----------

一、单选题

1、D

【分析】

根据平行线的性质与判定、平行公理及推论解决此题．

【详解】

解：证明：作直线DF交直线a、b、c分别于点D、E、F，

∵a∥b，

∴∠1=∠4，

又∵a∥c，

∴∠1=∠5，

∴∠4=∠5．

∴b∥c．

∴应补充∠4=∠5．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质与判定、平行公理及推论，熟练掌握平行线的性质与判定、平行公理及推论是解决本题的关键．

2、C

【分析】

根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，逐一判断即可．

【详解】

解：①中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故①符合题意；

②中∠1和∠2是对顶角，故②不符合题意；

③中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故③符合题意；

④中∠1和∠2没有公共点，故④符合题意．

∴∠1 和∠2 不是对顶角的有3个，

故选C．

【点睛】

此题考查的是对顶角的识别，掌握对顶角的定义是解决此题的关键．

3、C

【分析】

根据一个角的补角比这个角的余角大列式计算即可得解．

【详解】

解：一个角的余角是，

这个角的补角是．

故选：C．

【点睛】

本题考查了余角和补角，解题的关键是熟记概念并理清余角和补角的关系．

4、B

【分析】

设这个角为α，则它的余角为：90°－α，由“一个角比它的余角大30°”列方程解方程即可的解．

【详解】

解：设这个角为α，则它的余角为：90°－α，

由题意得，α－（90°－α）＝30°，

解得：α＝60°，

故选：B

【点睛】

本题考查了余角的定义和一元一次方程的应用，根据题意列出等量关系是解题的关键．

5、D

【分析】

由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答．

【详解】

解：∵拐弯前、后的两条路平行，

∴∠B=∠C=150°（两直线平行，内错角相等）．
故选：D．

【点睛】

本题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．

6、B

【分析】

根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

【详解】

解：A．∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角；

B．∠1与∠2有公共顶点，并且两边互为反向延长线，是对顶角；

C．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角；

D．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的定义是解题的关键．

7、D

【分析】

由题意直接根据三角板的几何特征以及余角的定义进行分析计算判断即可．

【详解】

解：A．∵∠1+∠2度数不确定，
∴∠1与∠2不互为余角，故错误；
B．∵∠1+45°+∠2+45°=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2=270°，
即∠1与∠2不互为余角，故错误；
C．∵∠1+∠2=180°，
∴∠1与∠2不互为余角，故错误；
D．∵∠1+∠2+90°=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即∠1与∠2互为余角，故正确．
故选：D．

【点睛】

本题主要考查余角和补角，熟练掌握余角的定义即若两个角的和为90°，则这两个角互为余角是解题的关键．

8、C

【分析】

观察图形可知，∠β=180°-90°-∠α，代入数据计算即可求解．

【详解】

解：∠β＝180°﹣90°﹣∠α

＝90°﹣30°14′

＝59°46′．

故选：C．

【点睛】

本题考查了余角和补角，准确识图，得到∠β=180°-90°-∠α是解题的关键．

9、C

【分析】

根据余角和补角的定义，先求出，再求出它的补角即可．

【详解】

解：∵的余角为，

∴，

的补角为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了余角和补角的运算，解题关键是明确两个角的和为90度，这两个角互为余角，两个角的和为180度，这两个角互为补角．

10、B

【分析】

根据对顶角相等即可求解．

【详解】

解：∵直线AB和CD相交于点O，∠AOC＝125°，

∴∠BOD等于125°．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了对顶角的性质，熟知对顶角相等的性质是解题的关键．

二、填空题

1、157.5

【分析】

先根据直角的求出∠α，然后根据补角的定义求解即可．

【详解】

解：由题意知：∠α＝90°×＝22.5°，

则∠α的补角＝180°－22.5°＝157.5°

故答案为：157.5

【点睛】

本题考查了角的和倍差的计算和补角的定义，熟练掌握计算方法是解题的关键．

2、36.25

【分析】

根据度、分、秒之间的加减运算直接计算65°15′+78°30′即可得到∠1+∠2；观察图形可知∠1+∠2+∠3的和为平角，由此分析求解∠3的度数．

【详解】

解：∵∠1=65°15′，∠2=78°30′，

∴∠3=180°﹣（∠1+∠2）

=180°﹣（65°15′+78°30′）

=36°15′

=36.25°．

故答案为：36.25．

【点睛】

本题主要考查角加减的计算，角的单位与角度制，结合图形找出各角的数量关系是解决此题的关键．

3、（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×

【分析】

根据对顶角与邻补角的定义与性质分析判断即可求解．

【详解】

（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角，错误；

（2）如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，错误；

（3）有一条公共边的两个角不一定是邻补角，错误；

（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补，正确；

（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角不一定是邻补角，错误；

故答案为：（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×．

【点睛】

本题主要考查了对顶角的与邻补角的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角．

4、3    180°    AB    CD    同旁内角互补，两直线平行   

【分析】

先根据对顶角相等求得∠3的度数，进而得到∠2+∠3=180°，即可判定AB∥CD．

【详解】

证明：∵AB被直线GH所截，∠1=112°，

∴∠1=∠3=112°

∵∠2=68°，

∴∠2+∠3=180°，

∴AB∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）

故答案为∠3，180°，AB，CD，同旁内角互补，两直线平行．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

5、130°

【分析】

根据对顶角性质可得∠BOD=∠AOC=40°．根据OD平分∠BOF，可得∠DOF=∠BOD=40°，根据OE⊥CD，得出∠EOD=90°，利用两角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°即可．

【详解】

解：∵AB、CD相交于点O，

∴∠BOD=∠AOC=40°．

∵OD平分∠BOF，

∴∠DOF=∠BOD=40°，

∵OE⊥CD，

∴∠EOD=90°，

∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°．

故答案为130°．

【点睛】

本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．

三、解答题

1、见详解

【解析】

【分析】

根据垂直的定义及平行线的性质与判定可直接进行求解．

【详解】

证明：，（已知），

（垂直的定义）

（同位角相等，两直线平行）

（两直线平行，同位角相等）

又（已知）

（等量代换）

（内错角相等，两直线平行）．

【点睛】

本题主要考查垂直的定义及平行线的性质与判定，熟练掌握垂直的定义及平行线的性质与判定是解题的关键．

2、（1）∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE；（2）∠AOB，∠BOD；（3）66°，33°；（4）相等

【解析】

【分析】

（1）由图象可知，开合幅度越大，角越大，故∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE

（2）OB平分∠AOC，故∠BOC=∠AOB．互余的定义为两角相加为90°，∠AOB+∠BOD=90°，故∠BOC+∠BOD =90°．

（3）因为OD平分∠COE，所以∠COD=∠DOE=24°，在∠AOD中∠AOD=∠AOC+∠DOE，故∠AOC=66°，OB平分∠AOC，故∠BOC=∠AOB=∠AOC=33°．

（4）射线OA延长到F，即说明∠AOF为平角，则∠DOF=∠AOD=90°，又因为∠COD=∠DOE，所以∠DOF-∠DOE=∠AOD-∠COD，故∠EOF=∠AOC．

【详解】

解：（1）∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE ．  

（2）已知∠AOD为直角，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，

∴∠BOC=∠AOB，∠DOC=∠EOD，

又∵∠AOD=90°且∠AOD=∠BOC+∠AOB+∠COD，

∠BOC+∠BOD=90°．           

（3）∵∠AOD为直角，

∴∠AOD=90°．

∵OD平分∠COE，∠DOE=24°，

∴∠COD=∠DOE=24°．

∴∠AOC=∠AOD-∠DOE=90°-24°=66°．

∵OB平分∠AOC，

∴∠AOB= ∠AOC= 66°=33°．

（4）∵∠AOF为平角

∴∠DOF=180°-∠AOD

∴∠DOF=180°-90°=90°

∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=∠AOD-∠COD=∠AOC

故∠EOF和∠AOC相等．

【点睛】

本题考查了几何图形中角度计算问题，熟练运用角平分线、补角、余角等性质是解题的关键．

3、基础问题：平行于同一条直线的两条直线平行；∠AGM；两直线平行，内错角相等；∠DGM，两直线平行，内错角相等；类比探究：∠AGD＝∠A-∠D；应用拓展：42°．

【解析】

【分析】

基础问题：由MN∥AB，可得∠A＝∠AGM，由MN∥CD，可得∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D；

类比探究：如图所示，过点G作直线MN∥AB，同理可得∠A＝∠AGM，∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．

应用拓展：如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，由MN∥AB，PQ∥AB，得到∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，由MN∥CD，PQ∥CD，得到∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，再由∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，可得∠GDH=44°，∠DHP=22°，则∠CDG=66°，∠AHP=54°，∠DGM=66°，∠BAH=54°，再由AH平分∠BAG，即可得到∠AGM=108°，则∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．

【详解】

解：基础问题：过点G作直线MN∥AB，

又∵AB∥CD，

∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），

∵MN∥AB，

∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），

∵MN∥CD，

∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），

∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；∠AGM；两直线平行，内错角相等；∠DGM，两直线平行，内错角相等；

类比探究：如图所示，过点G作直线MN∥AB，

又∵AB∥CD，

∴MN∥CD，

∵MN∥AB，

∴∠A＝∠AGM，

∵MN∥CD，

∴∠D＝∠DGM，

∴∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．

应用拓展：如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，

又∵AB∥CD，

∴MN∥CD，PQ∥CD

∵MN∥AB，PQ∥AB，

∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，

∵MN∥CD，PQ∥CD，

∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，

∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，

∴∠GDH=44°，∠DHP=22°，

∴∠CDG=66°，∠AHP=54°，

∴∠DGM=66°，∠BAH=54°，

∵AH平分∠BAG，

∴∠BAG=2∠BAH=108°，

∴∠AGM=108°，

∴∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．

4、（1）的度数．（2）的余角是．

【解析】

【分析】

（1）利用角平分线的性质，求得的度数，然后利用，即可求解的度数．

（2）利用题（1）中的度数以及余角的概念，直接求解即可．

【详解】

（1）解： OB是的角平分线．

，

，

，

，

．

（2）解：由（1）得，

故的余角．

【点睛】

本题主要是考查了角平分线以及余角的相关概念及性质和角的计算，熟练利用角平分线的性质求解角度，找到所要求的角与已知角的关系，是解决该题的关键．

5、（1）①见详解，②20°；（2），过程见解析

【解析】

【分析】

（1）①根据角平分线的定义作图即可；②由补角的定义求得∠AOC的度数，根据角平分线的定义求得∠AOD 的度数，用∠AOD－∠AOE即可得出结果；

（2）根据（1）的方法，分别讨论时，时，当时，

即可得出与之间的数量关系．

【详解】

解：（1）①补全图形如图所示：

②∵，

∴，

∵平分，

∴，

∵，即，

∴

∴

（2），理由如下：

∵，

∴当时，

∴，

∵平分．

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

当时，

∴，

∵平分．

∴，

∵，

∴此时点A与点E重合，∴，

∴

当时，

∴

∵平分．

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

综上所述，

【点睛】

本题考查了余角和补角的计算，角平分线的定义以及分类讨论的思想，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．