2021学年第七章 观察、猜想与证明综合与测试练习题

京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明综合测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，直尺的一条边经过直角三角尺的直角顶点且平分直角，它的对边恰巧经过60°角的顶点．则∠1的大小是（　　）

A．30°  B．45°  C．60°  D．75°

2、若∠α＝73°30'，则∠α的补角的度数是（　　）

A．16°30' B．17°30' C．106°30' D．107°30'

3、用反证法证明命题“在同一平面内，若 ，则 a∥c”时，首先应假设（  ）

A．a∥b B．b∥c C．a 与 c 相交 D．a 与 b

4、如图，下列条件能判断直线l1//l2的有（   ）

①；②；③；④；⑤

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5、下列说法中，假命题的个数为（　　）

①两条直线被第三条直线所截，同位角相等

②如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行

③过一点有且只有一条直线与这条直线平行

④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6、如图所示，直线l1l2，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝52°，那么∠2＝（　　）

A．138° B．128° C．52° D．152°

7、如图，直线AB，CD相交于点O，AOC30，OE⊥AB，OF是AOD的角平分线．若射线OE，OF分C别以18/s，3/s的速度同时绕点O顺时针转动，当射线OE，OF重合时，至少需要的时间是（    ）

A．8s B．11s C．s D．13s

8、如图，若要使与平行，则绕点至少旋转的度数是（    ）

A． B． C． D．

9、如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（    ）

A．77° B．64° C．26° D．87°

10、若的补角是150°，则的余角是（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，直线AB和直线CD相交于点O，且∠AOC＝2∠BOC，则∠AOD的度数为____________．

2、两个角和的两边互相平行，且角比角的2倍少30°，则这个角是____________度．

3、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝40°，则∠DAC的度数为____．

4、如图，直线AB、CD相交于O，∠COE是直角，∠1＝57°，则∠2＝_____．

5、如图，已知，CE平分，，则______°．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，直线AB，CD相交于点O，，OF平分．

（1）写出图中所有与互补的角；

（2）若，求的度数．

2、如图，点A、B、C在8×5网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形．请按要求画图，并回答问题：

（1）延长线段AB到点D，使BD＝AB；

（2）过点C画CE⊥AB，垂足为E；

（3）点C到直线AB的距离是 　   　个单位长度；

（4）通过测量 　   　＝　   　，并由此结论可猜想直线BC与AF的位置关系是 　   　．

3、已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．

（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．

（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？

（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．

4、如图，已知∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=38°19′，求∠AOD的度数．

5、完成下面的证明

如图，点B在AG上，AGCD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．

求证：∠F＝90°．

证明：∵AGCD（已知）

∴∠ABC＝∠BCD（____）

∵∠ABE＝∠FCB（已知）

∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB

即∠EBC＝∠FCD

∵CF平分∠BCD（已知）

∴∠BCF＝∠FCD（____）

∴____＝∠BCF（等量代换）

∴BECF（____）

∴____＝∠F（____）

∵BE⊥AF（已知）

∴____＝90°（____）

∴∠F＝90°．

---------参考答案-----------

一、单选题

1、D

【分析】

由AC平分∠BAD，∠BAD=90°，得到∠BAC=45°，再由BD∥AC，得到∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，由此求解即可．

【详解】

解：∵AC平分∠BAD，∠BAD=90°，

∴∠BAC=45°

∵BD∥AC，

∴∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，

∵∠CBD=∠ABD+∠ABC=45°+60°=105°，

∴∠1=75°，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．

2、C

【分析】

根据补角的定义可知，用180°﹣73°30'即可，

【详解】

解：∠α的补角的度数是180°﹣73°30'＝106°30′．

故选：C．

【点睛】

本题考查角的度量及补角的定义，解题关键是掌握补角的定义．

3、C

【分析】

用反证法解题时，要假设结论不成立，即假设a与c不平行（或a与c相交）．

【详解】

解：原命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”，

用反证法时应假设结论不成立，

即假设a与c不平行（或a与c相交）．

故答案为：C．

【点睛】

此题考查了反证法证明的步骤：（1）假设原命题结论不成立；（2）根据假设进行推理，得出矛盾，说明假设不成立；（3）原命题正确．

4、D

【分析】

根据平行线的判定定理进行依次判断即可．

【详解】

①∵∠1，∠3互为内错角，∠1=∠3，∴； 

②∵∠2，∠4互为同旁内角，∠2+∠4=180° ，∴；

③∠4，∠5互为同位角，∠4=∠5，∴； 

④∠2，∠3没有位置关系，故不能证明 ，

⑤，，

∴∠1=∠3，

∴，

故选D．

【点睛】

此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知平行线的判定定理．

5、C

【分析】

根据平行线的判定与性质、垂直的性质逐个判断即可得．

【详解】

解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，则原说法错误，是假命题；

②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，则原说法错误，是假命题；

③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，则原说法错误，是假命题；

④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则原说法正确，是真命题；

综上，假命题的个数是3个，

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质、垂直的性质，熟练掌握各性质是解题关键．

6、B

【分析】

根据两直线平行同位角相等，得出∠1＝∠3＝52°．再由∠2与∠3是邻补角，得∠2＝180°﹣∠3＝128°．

【详解】

解：如图．

∵l1//l2，

∴∠1＝∠3＝52°．

∵∠2与∠3是邻补角，

∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣52°＝128°．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质、邻补角的定义是解决本题的关键．

7、D

【分析】

设首次重合需要的时间为t秒，则OE比OF要多旋转120゜+75゜，由此可得方程，解方程即可．

【详解】

∵∠BOD=∠AOC=30゜，OE⊥AB

∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=90゜+30゜=120゜，∠AOD=180゜ - ∠AOC=150゜

∵OF平分∠AOD

∴

∴∠EOD+∠DOF=120゜+75゜

设OE、OF首次重合需要的时间为t秒，则由题意得：18t−3t=120+75

解得：t=13

即射线OE，OF重合时，至少需要的时间是13秒

故选：D

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，补角的含义，垂直的定义，角的和差运算，运用了方程思想来解决，本题的实质是行程问题中的追及问题．

8、A

【分析】

根据“两直线平行，内错角相等”进行计算．

【详解】

解：如图，

∵l1∥l2，

∴∠AOB=∠OBC=42°，

∴80°-42°=38°，

即l1绕点O至少旋转38度才能与l2平行．

故选：A．

【点睛】

考查了旋转的性质和平行线的性质，根据平行线的性质得到∠AOB=∠OBC=42°是解题的关键，难度不大．

9、A

【分析】

本题首先根据∠BGD′＝26°，可以得出∠AEG=∠BGD′＝26°,由折叠可知∠α=∠FED，由此即可求出∠α=77°．

【详解】

解：由图可知： AD∥BC

∴∠AEG=∠BGD′＝26°,

即：∠GED=154°，

由折叠可知: ∠α=∠FED，

∴∠α==77°

故选：A．

【点睛】

本题主要考察的是根据平行得性质进行角度的转化．

10、B

【分析】

根据补角、余角的定义即可求解．

【详解】

∵的补角是150°

∴=180°-150°=30°

∴的余角是90°-30°=60°

故选B．

【点睛】

此题主要考查余角、补角的求解，解题的关键是熟知如果两个角的和为90度，这两个角就互为余角；补角是指如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角

二、填空题

1、

【分析】

根据，可得，再根据对顶角相等即可求出的度数．

【详解】

解：∵，

∴

∴

∵

∴

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了邻补角、对顶角的相关知识，熟练运用邻补角、对顶角的相关知识是解答此题的关键．

2、或

【分析】

设为∠1和为∠2，根据图形可证得两角相等或互补，再利用方程建立等量关系求解即可．

【详解】

解：设的度数为，则的度数为，

如图1，和互相平行，可得：∠2＝∠3，

同理：∠1＝∠3，

∴∠2＝∠1，

∴当两角相等时：，

解得：，

如图2，和互相平行，可得：∠2＋∠3＝，

而和互相平行，得∠1＝∠3，

∴∠2＋∠1＝，

∴当两角互补时：，

解得：，

，

故填：或．

【点睛】

本题考查平行线的性质和方程的应用，分类讨论思想是关键.

3、40°

【分析】

根据平行线的性质可得∠EAD=∠B，根据角平分线的定义可得∠DAC=∠EAD，即可得答案．

【详解】

∵AD∥BC，∠B＝40°，

∴∠EAD=∠B=40°，

∵AD是∠EAC的平分线，

∴∠DAC=∠EAD=40°，

故答案为：40°

【点睛】

本题考查平行线的性质及角平分线的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．

4、33°

【分析】

由题意直接根据∠2＝180°﹣∠COE﹣∠1，进行计算即可得出答案．

【详解】

解：由题意得：∠2＝180°﹣∠COE﹣∠1＝180°﹣90°﹣57°＝33°．

故答案为：33°．

【点睛】

本题考查余角和补角的知识，属于基础题，注意数形结合思维分析的运用．

5、65

【分析】

由平行线的性质先求解再利用角平分线的定义可得答案.

【详解】

解： ， ，

CE平分，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，掌握“两直线平行，同旁内角互补”是解本题的关键.

三、解答题

1、（1），，；（2）30°

【解析】

【分析】

（1）根据邻补角的定义确定出∠AOC和∠BOD，再根据角平分线的定义可得∠AOF＝∠EOF，根据垂直的定义可得∠COF＝∠DOF＝90°，然后根据等角的余角相等求出∠DOE＝∠AOC，从而最后得解；

（2）根据角平分线的定义求出∠AOF，再根据余角的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等解答．

【详解】

解：（1）因为直线AB，CD相交于点O，

所以和与互补．

因为OF平分，所以．

因为，所以．

因为，

，

所以，

所以与互补的角有，，．

（2）因为OF平分，所以，

由（1）知，，

所以，

由（1）知，和与互补，

所以（同角的补角相等）．

【点睛】

本题考查了余角和补角，对顶角相等的性质，角平分线的定义，难点在于（1）根据等角的余角相等确定出与∠AOD互补的第三个角．

2、（1）见解析；（2）见解析；（3）2；（4），平行

【解析】

【分析】

（1）根据网格的特点和题意，延长到，使；

（2）根据网格是正方形，垂线的定义，画出，垂足为，点在线段的延长线上，

（3）点C到直线AB的距离即的长，网格的特点即可数出的长；

（4）根据同位角相等，两直线平行，或内错角相等，两直线平行即可得，即可知测量的角度

【详解】

解：（1）（2）如图所示，

（3）由网格可知

即点C到直线AB的距离是个单位长度

故答案为：2

（4）通过测量，可知

故答案为：，平行

【点睛】

本题考查了画线段，画垂线，平行线的性质与判定，点到直线的距离，掌握以上知识是解题的关键．

3、（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30

【解析】

【分析】

（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．

（2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可；

（3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间．

【详解】

解：（1）∵∠BOE=90°，

∴∠AOE=90°，

∵∠AOC=α＝30°，

∴∠EOC=90°-30°=60°，

∠AOD=180°-30°=150°，

∵OF平分∠AOD，

∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；

故答案为：60，75；

（2）当，．

设当射线与射线重合时至少需要t秒，

可得，解得：；

答：当射线与射线重合时至少需要秒；

（3）设射线转动的时间为t秒，

由题意得：或或或，

解得：或12或21或30．

答：射线转动的时间为3或12或21或30秒．

【点睛】

本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论．

4、141°41′

【解析】

【分析】

利用角的和差关系计算，先求得∠COD=51°41′，再由∠AOD=∠AOC+∠COD即可求解．

【详解】

解：∵∠BOD=90°，∠BOC=38°19′

∴∠COD=∠BOD-∠BOC=51°41′

∵∠AOC=90°

∴∠AOD=∠AOC+∠COD=141°41′

答：∠AOD的度数为141°41′．

【点睛】

本题主要考查了余角，正确得出∠COD的度数是解题关键．

5、两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠EBC；内错角相等，两直线平行；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；垂直的定义

【解析】

【分析】

根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCD，再根据角平分线的定义进而得到∠EBC＝∠BCF，即可判定BE∥CF，根据平行线的性质得出∠BEF＝∠F，再根据垂直的定义即可得解．

【详解】

证明：∵AG∥CD（已知），

∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），

∵∠ABE＝∠FCB（已知），

∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB，

即∠EBC＝∠FCD，

∵CF平分∠BCD（已知），

∴∠BCF＝∠FCD（角平分线的定义），

∴∠EBC＝∠BCF（等量代换），

∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），

∴∠BEF＝∠F（两直线平行，内错角相等），

∵BE⊥AF（已知），

∴∠BEF＝90°（垂直的定义），

∴∠F＝90°．

故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠EBC；内错角相等，两直线平行；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；垂直的定义．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．