初中数学北京课改版七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试同步练习题

京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明专项测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列语句中叙述正确的有（     ）

①画直线cm；

②连接点A与点B的线段，叫做A、B两点之间的距离；

③等角的余角相等； 

④射线AB与射线BA是同一条射线．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2、下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

3、下列命题：①平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；③垂线段最短；④同旁内角互补．其中，正确命题的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4、如图，直尺的一条边经过直角三角尺的直角顶点且平分直角，它的对边恰巧经过60°角的顶点．则∠1的大小是（　　）

A．30°  B．45°  C．60°  D．75°

5、如图，O是直线AB上一点，OE平分∠AOB，∠COD=90°，则图中互余的角有（　）对．

A．5 B．4 C．3 D．2

6、如图，有A，B，C三个地点，且∠ABC＝90°，B地在A地的北偏东43°方向，那么C地在B地的（　　）方向．

A．南偏东47° B．南偏西43° C．北偏东43° D．北偏西47°

7、下列命题中，是真命题的是（  ）

A．同位角相等 B．同角的余角相等

C．相等的角是对顶角 D．有且只有一条直线与已知直线垂直

8、如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOC＝125°，则∠BOD等于（　　）

A．55° B．125° C．115° D．65°

9、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（      ）

A．  B． 

C．  D．

10、若一个角比它的余角大30°，则这个角等于（    ）

A．30° B．60° C．105° D．120°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、（1）已知与互余，且，则________．（2）+________＝180°．（3）若与是同类项，则m+n=________．

2、如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝36°，则∠BOD的大小为 _____．

3、已知∠A的补角是142°，则∠A的余角的度数是___________．

4、如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，则直线a与b的位置关系是________．

5、一副三角板按如图方式放置，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边平行，则∠α的度数是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知：如图，直线a、b、c两两相交，且∠1＝2∠3，∠2=86°，求∠4的度数．

2、已知，在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，直角三角板的直角顶点放在点O处．

（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数为　 　°，∠CON的度数为　 　°；

（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为　 　°；

（3）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则∠AOD的度数为　 　°；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC    ∠BON（填“＞”、“＝”或“＜”）；

（4）如图4，MN⊥AB，ON在∠AOC的内部，若另一边OM在直线AB的下方，则∠COM+∠AON的度数为     °；∠AOM﹣∠CON的度数为　 　°

3、如图，已知∠1+∠AFE=180°，∠A=∠2，求证：∠A=∠C+∠AFC

证明：∵ ∠1+∠AFE=180°

∴ CD∥EF（               ，            ）

∵∠A=∠2   ∴（             ）

（                 ，              ）

∴ AB∥CD∥EF（              ，            ）

∴ ∠A=             ，∠C=          ，

（                  ，             ）

∵ ∠AFE =∠EFC+∠AFC ，∴              =           ．

4、综合与实践

【问题情境】利用旋转三角尺开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化．

【操作发现】如图①，将一个45°角的直角三角形三角板ABO的顶点O放在直线OD上的O处，斜边OA在直线OD上，延长BO至C．

（1）如图②，将图①中的三角板ABO绕着点O逆时针旋转90°后得到△O，此时∠BO=         °，OA平分∠        ；

【实践探究】

（2）如图③，将图②中的三角板绕点O逆时针继续旋转一定角度，使OD在∠内部，且∠DOC=45°，请探究：

①∠1与∠3之间的数量关系为         ．

理由如下：（请利用图中的字母和数字完成证明过程）

因为∠DOC=45°，

所以∠2+∠3=45°．

又因为∠        +∠2=45°，

所以∠2+∠       =∠        +∠2．

所以                     ．

②∠1的补角有      个，分别为                      ，

③∠2的余角为               ．

5、如图，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE比它的补角大100°，将一直角三角板AOB的直角点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为t秒．

（1）求∠COE的度数；

（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得∠BOC＝∠BOE？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；

（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒10°的速度顺时针旋转一周．从旋转开始多长时间．射线OC平分∠BOE．直接写出t的值．（本题中的角均为大0°且小180°的角）

---------参考答案-----------

一、单选题

1、B

【分析】

根据直线的性质判断①，根据两点间距离的定义判断②，根据余角的性质判断③，根据射线的表示方法判断④．

【详解】

解：因为直线是向两端无限延伸的，所以①不正确；

因为连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离，所以②不正确；

③正确；

因为射线AB和射线BA的端点不同，延伸方向也不同，所以④不正确．

故选：B．

【点睛】

本题考查直线的性质，两点间的距离的定义（连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离），余角的性质，射线的表示方法，熟练掌握这些知识点是解题关键．

2、C

【分析】

根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，逐一判断即可．

【详解】

解：①中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故①符合题意；

②中∠1和∠2是对顶角，故②不符合题意；

③中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故③符合题意；

④中∠1和∠2没有公共点，故④符合题意．

∴∠1 和∠2 不是对顶角的有3个，

故选C．

【点睛】

此题考查的是对顶角的识别，掌握对顶角的定义是解决此题的关键．

3、C

【分析】

根据平行线的性质与判定可以判断①②④，根据垂线段最短可以判断③．

【详解】

解：①平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，是真命题；

②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题；

③垂线段最短，是真命题；

④两直线平行，同旁内角互补，是假命题，

∴真命题有3个，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了判断命题真假，熟知相关知识是解题的关键．

4、D

【分析】

由AC平分∠BAD，∠BAD=90°，得到∠BAC=45°，再由BD∥AC，得到∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，由此求解即可．

【详解】

解：∵AC平分∠BAD，∠BAD=90°，

∴∠BAC=45°

∵BD∥AC，

∴∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，

∵∠CBD=∠ABD+∠ABC=45°+60°=105°，

∴∠1=75°，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．

5、B

【分析】

根据余角的定义找出互余的角即可得解．

【详解】

解：∵OE平分∠AOB，

∴∠AOE=∠BOE=90°，

∴互余的角有∠AOC和∠COE，∠AOC和∠BOD，∠COE和∠DOE，∠DOE和∠BOD共4对，

故选：B．

【点睛】

本题考查了余角的定义，从图中确定余角时要注意按照一定的顺序，防止遗漏．

6、D

【分析】

根据方向角的概念，和平行线的性质求解．

【详解】

解：如图：

∵AF∥DE，

∴∠ABE＝∠FAB＝43°，

∵AB⊥BC，

∴∠ABC＝90°，

∴∠CBD＝180°﹣90°﹣43°＝47°，

∴C地在B地的北偏西47°的方向上．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了方位角，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．

7、B

【分析】

利用平行线的性质、对顶角的性质、垂线的定义及互余的定义分别对每个选项进行判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、应该是两直线平行，同位角相等，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

B、同角的余角相等，是真命题，故本选项符合题意；

C、相等的角不一定是对顶角，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

D、应该是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的性质、垂线的定义及互补的定义等知识．

8、B

【分析】

根据对顶角相等即可求解．

【详解】

解：∵直线AB和CD相交于点O，∠AOC＝125°，

∴∠BOD等于125°．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了对顶角的性质，熟知对顶角相等的性质是解题的关键．

9、C

【分析】

根据对顶角的定义作出判断即可．

【详解】

解：根据对顶角的定义可知：只有C选项的是对顶角，其它都不是．
故选C．

【点睛】

本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

10、B

【分析】

设这个角为α，则它的余角为：90°－α，由“一个角比它的余角大30°”列方程解方程即可的解．

【详解】

解：设这个角为α，则它的余角为：90°－α，

由题意得，α－（90°－α）＝30°，

解得：α＝60°，

故选：B

【点睛】

本题考查了余角的定义和一元一次方程的应用，根据题意列出等量关系是解题的关键．

二、填空题

1、           

【分析】

（1）根据余角的定义和角度的四则运算法则进行求解即可；

（2）根据角度的四则运算法则求解即可；

（3）根据同类项的定义，先求出m、n的值，然后代值计算即可．

【详解】

解：（1）与互余，且，

∴；

故答案为：；

（2）；

故答案为：；

（3）∵与是同类项，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了求一个角的余角，角度的四则运算，同类项的定义，代数式求值，解一元一次方程，熟知相关知识是解题的关键．

2、18°度

【分析】

根据直角的定义可得∠COE＝90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠AOC＝∠AOF﹣∠COF求出∠AOC，再根据对顶角相等解答．

【详解】

解：∵∠COE是直角，

∴∠COE＝90°，

∵∠COF＝36°，

∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣36°＝54°，

∵OF平分∠AOE，

∴∠AOF＝∠EOF＝54°，

∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝54°﹣36°＝18°，

∴∠BOD＝∠AOC＝18°．

故答案为：18°．

【点睛】

本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

3、52°度

【分析】

两角互补和为180°，两角互余和为90°，先求出∠A，再用90°-∠A即可解出本题．

【详解】

解：∵∠A的补角为142°，

∴∠A=180°-142°=38°，

∴∠A的余角为90°-∠A=90°-38°=52°．

故答案为：52°．

【点睛】

本题考查了余角和补角，解题的关键是熟悉两角互余和为90°，互补和为180°．

4、平行

【分析】

根据∠2:∠3＝1:5，求出的度数，然后根据同位角相等两直线平行进行解答即可．

【详解】

解：∵∠2:∠3＝1:5，

∴∠2＝30°，

∴∠1＝∠2，

∴a∥b，

故答案为：平行．

【点睛】

本题考查了角的和差倍分求角度以及平行的判定，根据题意求出∠2＝30°是解本题的关键．

5、15°

【分析】

根据平行线的性质和三角板的特殊角的度数解答即可．

【详解】

解：如图：

∵ABCD，

∴∠BAD＝∠D＝30°，

∵∠BAE＝45°，

∴∠α＝45°﹣30°＝15°，

故答案为：15°．

【点睛】

此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等．

三、解答题

1、43°

【解析】

【分析】

根据对顶角相等可得,结合已知条件即可求得∠4的度数．

【详解】

解：根据对顶角相等，

∴∠1＝∠2＝86°.

又∵∠1＝2∠3，∴86°＝2∠3，∴∠3＝43°，

又∠3与∠4对顶角，

所以∠3=∠4＝43°.

【点睛】

本题考查了对顶角相等，角度的计算，根据对顶角相等找出图中相等的角是解题的关键．

2、（1）120；150；（2）30°；（3）30，=；（4）150；30．

【解析】

【分析】

（1）根据∠AOC=60°，利用两角互补可得∠BOC=180°﹣60°=120°，根据∠AON=90°，利用两角和∠CON=∠AOC+∠AON即可得出结论；

（2）根据OM平分∠BOC，可得出∠BOM=60°，由∠BOM+∠BON=∠MON=90°可求得∠BON的度数；

（3）根据对顶角求出∠AOD=30°，根据∠AOC=60°，可得∠DOC=∠AOC﹣∠AOD=60°﹣30°=30°=∠BON．

（4）根据垂直可得∠AON与∠MNO互余，根据∠MNO=60°（三角板里面的60°角），可求∠AON=90°﹣60°=30°，根据∠AOC=60°，求出∠CON=∠AOC﹣∠AON=60°﹣30°=30°即可．

【详解】

解：（1）∵∠AOC=60°，∠BOC与∠AOC互补，∠AON=90°，

∴∠BOC=180°﹣60°=120°，∠CON=∠AOC+∠AON=60°+90°=150°．

故答案为120；150；

（2）∵三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，

由（1）得∠BOC=120°，

∴∠BOM=∠BOC=60°，

又∵∠MON=∠BOM+∠BON=90°，

∴∠BON=90°﹣60°=30°．

故答案为30°；

（3）∵∠AOD=∠BON（对顶角），∠BON=30°，

∴∠AOD=30°，

又∵∠AOC=60°，

∴∠DOC=∠AOC﹣∠AOD=60°﹣30°=30°=∠BON．

故答案为30，=；

（4）∵MN⊥AB，

∴∠AON与∠MNO互余，

∵∠MNO=60°（三角板里面的60°角），

∴∠AON=90°﹣60°=30°，

∵∠AOC=60°，

∴∠CON=∠AOC﹣∠AON=60°﹣30°=30°，

∴∠COM+∠AON=∠MON+2∠CON=90°+2×30°=150°，

∴∠AOM﹣∠CON=∠MON﹣2∠CON=90°﹣2×30°=30°．

故答案为150；30．

【点睛】

本题考查图中角度的计算，角平分线的定义，对顶角性质，互为余角，补角，掌握角度的和差计算，角平分线的定义，对顶角性质，互为余角，补角是解题关键．

3、同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠A，∠C+∠AFC ．

【解析】

【分析】

根据同旁内角互补，两直线平行可得 CD∥EF，根据∠A=∠2利用同位角相等，两直线平行，AB∥CD，根据平行同一直线的两条直线平行可得AB∥CD∥EF根据平行线的性质可得∠A=∠AFE   ，∠C=∠EFC，根据角的和可得 ∠AFE =∠EFC+∠AFC 即可．

【详解】

证明：∵ ∠1+∠AFE=180°

∴ CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），

∵∠A=∠2 ，

∴（ AB∥CD   ） （同位角相等，两直线平行），

∴ AB∥CD∥EF（两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行）

∴ ∠A=  ∠AFE  ，∠C=  ∠EFC，（两直线平行，内错角相等）

∵ ∠AFE =∠EFC+∠AFC ，

∴   ∠A   =   ∠C+∠AFC ．

故答案为同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠A，∠C+∠AFC ．

【点睛】

本题考查平行线的性质与判定，角的和差，掌握平行线的性质与判定是解题关键．

4、（1）90，BO；（2）①∠1=∠3，1，3，1，∠1=∠3；②2，∠AOA'、∠BOB'；③∠

【解析】

【分析】

（1）图中三角板ABO绕着点O逆时针旋转90°后得到△O，可知∠BO即为旋转角度，即∠BO=90°；已知∠AOB=45°，可知∠AO=45°，即OA平分∠BO；

（2）①根据所给出的证明过程进行填空即可；

②由①可知，∠1=∠3，∠1+∠AOA＇=180°，∠3+∠BOB=180°，可知∠1的补角有2个，分别为∠AOA＇、∠BOB；

③根据图形进行转化即可得出∠2的余角．

【详解】

解：（1）此时∠BO=  90  °，OA平分∠ BO  ；

（2）①∠1=∠2（相等）

理由如下：因为∠DOC=45°，

所以∠2+∠3=45°．

又因为∠  1   +∠2=45°

所以∠2+∠  3   =∠  1   +∠2

所以∠1=∠3

②由图可知，∠1+∠AOA＇=180°，∠3+∠BOB=180°，

∵∠1=∠3，

∴∠1的补角有2个，分别为∠AOA'、∠BOB' ，

③由图可知，∠2+∠1=45°，

∴∠2=45°-∠1，

即∠2的余角为：90°-（45°-∠1）=45°+∠1=45°+∠3=∠，

故：∠2的余角为∠．

【点睛】

本题主要考查的是角度中的基础定义，熟练掌握其中的定义是解本题的关键．

5、（1）140゜（2）存在，t=2秒或20秒；（3）秒

【解析】

【分析】

（1）设∠COE=x度，则其补角为(180−x)度，根据∠COE比它的补角大100°列方程即可求得结果；

（2）存在两种情况：当OC在直线DE上方时；当OC在直线DE下方时；就这两种情况考虑即可；

（3）画出图形，结合图形表示出∠COE与∠COB，根据角平分线的性质建立方程即可求得t值．

【详解】

（1）设∠COE=x度，则其补角为(180−x)度，由题意得：x−(180−x)=100

解得：x=140

即∠COE=140゜

（2）存在

当OC在直线DE上方时，此时OB平分∠BOC

∵∠COE=140゜

∴

当OB没有旋转时，∠BOC=50゜

所以OB旋转了70゜−50゜=20゜

则旋转的时间为：t=20÷10=2（秒）

当OC在直线DE下方时，如图

由图知：∠BOE+∠BOC+∠COE=360゜即：2∠BOE+∠COE=360゜

∵OB旋转了10t度

∴∠BOE=(10t−90)度

∴2(10t−90)+140=360

解得：t=20

综上所述，当t=2秒或20秒时，∠BOC=∠BOE

（3）OB、OC同时旋转10t度

如图所示，∠COE=(180゜+40゜)−(10t)゜=(220−10t)゜

∵2×(10t)゜−∠COB+50゜=360゜

∴∠COB=2× (10t)゜−310゜

∵∠COB=∠COE

∴2× 10t−310=220-10t

解得：

即当t的值为秒时，满足条件．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，角的和差运算，补角的概念，解一元一次方程等知识，注意数形结合及分类讨论．